不等式中的“变”与“不变”

文／陈 缓

方程和不等式是刻画数量关系的重要模型，包含方程与方程组、不等式与不等式组两个方面，也是中考的必考知识。总体而言，主要有三种考查方式：一是概念，二是解法，三是应用。下面我们以不等式为例，从教材例题出发，结合中考题，对解题方法与技巧进行剖析，以不变应万变，在不等式的世界中乘风破浪。

例（苏科版数学教材七年级下册第136页）解不等式组

【分析】根据一元一次不等式的解法，由①，得x≥1，由②，得x＞2。再利用数轴的数形结合或口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”来确定不等式组的解集。

解：解不等式①，得x≥1。

解不等式②，得x＞2。

所以，不等式组的解集是x＞2。

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式解集的确定方法，确定两个不等式解集的公共部分。

变式1（2021·江苏南通）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）。

A.7＜a＜8 B.7＜a≤8

C.7≤a＜8 D.7≤a≤8

【分析】首先确定一元一次不等式组的解集为4.5＜x≤a，然后根据整数解的个数，来确定a的取值范围。

解：解不等式2x+3＞12，得x＞4.5，解不等式x-a≤0，得x≤a。由于原不等式组恰有3个整数解，所以，不等式组的解集是4.5＜x≤a，且整数解为5，6，7。所以，实数a的取值范围是7≤a＜8。故选C。

【点评】本题重在考查不等式组的解法，同学们要准确地得到不等式组的整数解和a的取值范围，一定要仔细判断是否取端点值。悄悄告诉你，将端点值代入检验是避免错误的好方法！

变式2（2020·山东滨州）若关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是____。

【分析】首先求出每个不等式的解集，x＞2a和x≤2，利用数轴或口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”得到a≥1。

解：解不等式x-a＞0，得x＞2a；解不等式4-2x≥0，得x≤2。因为不等式组无解，所以2a≥2，即a≥1。

【点评】此题是探究一元一次不等式组无解的问题。正确求出每个不等式的解集是基础。结合数轴利用数形结合思想或口诀解答此题是关键，也是同学们在解一元一次不等式组时应具备的基本技能，大家要牢牢掌握。

变式3（2021·江苏无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品。现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3。当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件。

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，根据数量=总价÷单价，可得到关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出x的值，再将其代入4x、3x中便可求出单价；（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，利用总价=单价×数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数且4≤m≤10，即可得出购买方案。

解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元。根据题意，得

解这个方程，得x=15，

经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，

∴4x=60，3x=45。

答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元。

（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件。

根据题意，得60m+45n=1275，

∵m、n均为正整数，且4≤m≤10，

∴共有3种购买方案。

答：共有3种购买方案。方案一：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；方案二：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；方案三：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品。

【点评】本题考查了分式方程、二元一次方程、一元一次不等式的综合应用。解题的关键在于找准问题中的等量关系，正确列出分式方程和二元一次方程，找出符合条件的整数解。此外，同学们要注意把握细节，对于分式方程的解，要记得检验。