湍流边界层大尺度相干运动的阵列TRPIV测量

王 轩，范子椰，唐湛棋，2，姜 楠，2，*

(1. 天津大学 机械工程学院，天津 300354；2. 天津市现代工程力学重点实验室，天津 300354)

0 引 言

湍流大尺度运动的研究一直是湍流研究的热点之一。Kim和Adrian[1]在充分发展的圆管湍流流向脉动速度的前乘波谱中，发现其具有两个峰值—与小尺度运动相关的高波数模态和与超大尺度相关的低波数模态。Guala 和Adrian等[2]在充分发展的圆管湍流外区中使用热膜测量流向瞬时速度序列，得到超大尺度运动存在于对数律区，且波长可达1 6R（R为圆管半径），而大尺度运动存在于整个边界层，波长约为2R～3R。Bailey和Smits[3]对圆管流动进行了热线的多点测量，发现超大尺度运动的径向尺度更大，与壁面的夹角更小，同时认为只有在外层与涡分离了的大尺度运动才会形成超大尺度运动。王晋军等[4]通过大视场平板PIV实验，研究了大尺度运动在能量传递中的作用，发现大尺度运动的曲折形态可能在能量转移中起重要作用。

关于大尺度运动对于湍流能量的贡献，Balakumar和Adrian[5]在零压力梯度的湍流边界层和槽道流中以0.1πδ、πδ（δ为边界层厚度、槽道半高）作为主要湍流运动、大尺度运动和超大尺度运动的分界线，计算出超大尺度运动对湍动能贡献在40%～65%，对雷诺切应力贡献在30%～50%。Lee[6]等通过湍流边界层直接数值模拟，在对数律区得到尺度超过3δ～4δ的超大尺度运动，其对雷诺切应力贡献约45%。在高雷诺数下，大尺度运动和超大尺度运动对湍流贡献很大，研究大尺度运动的规律很有必要。郑晓静等[7]在高雷诺数的大气边界层（Reτ～106）中确认了超大尺度运动的存在，计算出超大尺度运动对湍动能的贡献在60%左右，最近还通过大气边界层的数据总结出了大尺度结构的三维模型[8]。在高雷诺数下，大尺度运动、超大尺度运动在湍流中扮演着很重要的角色，如何测量、提取大尺度和超大尺度运动是个重要问题。

湍流实验测量常用方法有基于单点的热线测量[9]、激光多普勒测量[10]、基于场测量的PIV方法[11-12]。通过热线测量和激光多普勒测量得到单点瞬时速度序列，并使用傅里叶变换、小波变换、希尔伯特–黄变换等，将时间信息变为不同频率信息（波长），利用泰勒冻结假设[13]：空间点定义为x=(x1,x2,x3)，在时间t时刻的流向速度为u(x,t)，其下游位置的坐标可以写成x+r=(x1+r,x2,x3)， 滞后时间为t+τ，则其流向速度可表示为：

其中U=(U,0,0)是当地平均速度。通过此操作，时间尺度 τ就可以转化为空间尺度r。通过给定特定的阈值，可以得到不同空间尺度分量相干结构的分布状况，反映出不同尺度湍流相干运动的特征。

泰勒冻结假设一般适用于迁移速度为常数的均匀各向同性湍流。而对于剪切湍流，由于湍流结构非各向同性，时间尺度转化为空间尺度可能由于相关性变弱等原因，造成相干运动的失真，因此用泰勒冻结假设测出的相干运动空间尺度要比真实相干运动的空间尺度要小。

单点数据常用的尺度分析方法有傅里叶变换、小波分解[14-16]、希尔伯特–黄变换[17-18]等。傅里叶变换得到的是频谱信息，对于非稳态或非周期性信号，其结果不能反映局部突变信息。而小波变换既可得到频域信息，又可得到时域信息。基于PIV图像的分析方法有本征正交分解（POD）[19-23]、动力学模态分解（DMD）[24]、线性随机估计等。这些方法虽然可以同时得到时空信息，但很难将相邻尺度的运动区分开来。

本文使用高时间分辨率粒子图像测速技术，通过拼接4个高速相机得到足够大视场的速度场时间序列。从同一流向位置不同法向高度的脉动速度时间序列提取的大尺度结构，使用小波变换将其重构到空间结构，并与从空间直接提取的对应空间大尺度结构进行对比，分析两者差异。

1 实验设置

1.1 实验设备

实验在天津大学流体力学实验室重力溢流式低湍流度循环水洞中进行。水洞实验段长度 4200mm，横截面 600mm×700mm， 最高流速约为 0.5m/s。水洞实验段放置有机玻璃平板长度 4000mm，宽度550mm， 厚度 20mm。平板带有1∶8半椭圆形前缘，在距离前缘约 200mm的 位置放置直径 1.5mm的绊线以加速流动转捩。实验使用的激光为Litron Lasers：LDY 300 Series，激 光 厚 度 为 1mm，扩 散角30°。为解决激光照亮区域偏小的问题，选择使用反射镜增加激光光程。激光在拍摄区域有效照射宽度约为 400mm。相机分辨率1280 pixel × 800 pixel，最高采样频率1000 Hz。示踪粒子为直径约20 μm的空心玻璃微珠。在距平板前端2800 mm的位置依次沿流向放置四个高速相机（如图1所示），每个相机配置一组升降台和云台，保证4个相机法向高度和拍摄距离一致，相邻相机拍摄区域在流向略有重叠。设计一个400 mm × 160 mm的标定靶，既可以确定不同相机的拍摄区域的相对位置，也可以用来标定粒子图像和纠正镜头的畸变。通过同步器控制4台相机进行流场的同步拍摄，在每台相机拍摄到各自位置处的流场照片后，将每个时刻下的流场照片按照从上游到下游的顺序依次进行拼接，然后对拼接后的流场照片进行矢量场的计算，拼接后相机的实际拍摄区域大小约(6～7)δ×(1.1～1.2)δ，δ为边界层名义厚度。每次实验拍摄获取样本量8216张，重复6次。实验的放大系数0.0189，计算流场时查询窗口的大小为24 pixel×24 pixel，窗口重叠率50%。实验参数如表1所示。其中u∞、f、δ、uτ和 SR分别代表自由来流速度、采样频率、边界层厚度、壁面摩擦速度和空间分辨率。

图1 实验示意图Fig. 1 Schematic of the experiment setup

表1 实验参数Table 1 Experiment parameters

1.2 小波变换

小波变换最早由法国科学家Morlet 于1980年分析地震数据时首创。与傅里叶变换相比，小波变换能保持信号中的局域性特征。就湍流情况而言，连续小波变换通过空间和尺度提供连续的和冗余的开折，因此我们能够跟踪相干结构的动力学情况并测量其对能谱的贡献[16]。在湍流边界层中使用小波变换的方法辨识相干结构已有丰富研究[14，25-27]。

本文使用“db3”小波函数，将脉动速度分解为不同尺度部分（如图2所示），红色实线为尺度函数（父小波），绿色实线为小波母函数（母小波）。

图2 “db3”小波形状Fig. 2 Wavelet shape of ‘db3’

2 实验结果

壁面摩擦速度是湍流边界层的一个重要参数，是衡量流动控制效果的常用指标，也是进行湍流分析的重要物理量。然而这个量在水洞中很难直接测得，也难以测得准确，因此本文使用间接测量方法来得到壁面摩擦阻力。Spalding[28]提出了可以同时使用黏性底层和对数律区的平均速度剖面来计算壁面摩擦速度的方法，计算公式如式（2）。同时对得到的粒子图像进行标定、拼接、去噪并计算出速度场，然后对速度场进行沿时间和流向的平均可以得到平均速度剖面。根据Spalding给出的黏性底层和对数律区的平均速度与法向位置的关系，使用最小二乘方法拟合壁面摩擦速度。

式（2）中，内尺度无量纲化后的壁面法向高度y+=(y−y0)uτ/v，内 尺 度 无 量 纲 后 的 流 向 速 度u+=U/uτ，卡门常数 κ =0.41， 积分常数B=5.0。

2.1 基本统计量

在获得壁面摩擦速度后，可以衡量流场的基本量在湍流边界层内的分布。图3与图4分别为内尺度无量纲化后的平均速度剖面与二阶量剖面，其中+=/uτ， +=/uτ，+=/u2τ。urms、vrms分别为流向和法向 脉动速度的均方根值， <>代 表系综平均， <>+为无量纲化后的系综平均，uτ为壁面摩擦速度。为了验证数据的可靠性，将实验得到的平均速度剖面和二阶量剖面与相近雷诺数的DNS结果进行对比，其中DNS数据由KTH数据库提供[29]。从图3和图4中可以看出，不论是平均速度剖面还是二阶量剖面，实验数据均与DNS结果的吻合程度较高，这进一步说明了实验数据的可靠性。

图3 平均速度剖面Fig. 3 Profiles of the mean velocity

图4 雷诺应力剖面Fig. 4 Profiles of the Reynold stress

2.2 能量最大尺度

湍流可以分解为平均速度、相干部分和完全随机部分。相干结构是湍流的主要特征。Marusic[30]将主要的湍流结构分为三类：与近壁循环相关的展向尺度约为100个黏性尺度的条带；尺度为边界层厚度量级的大尺度运动；尺度为10倍边界层厚度量级的超大尺度运动。随着雷诺数变化，不同尺度湍流结构所起的作用也发生变化，因此本文将使用小波分解的方法计算不同尺度结构占湍动能的比例。

利用沿流向的空间小波分解方法得到不同空间尺度所包含的脉动速度，并由此计算出流场的总湍动能以及每个空间尺度所包含的湍动能，进而得到不同尺度对湍动能贡献的比例。将每一法向层不同流向尺度携带的湍动能占比按照顺序排列，可以得到不同流向尺度湍动能占比随法向位置变化的云图（图5），其中ue为流向脉动速度所携带湍动能的占比。云图的等值线中可以明显观察到一个峰值，此峰值即为流向能量最大尺度，位置大约在1 δ左右。此外，从云图中可以看出湍动能占比较大的区域（图中红色区域），包含了数倍边界层厚度量级（0.5～5.0）δ，这一范围也达到了大尺度运动的范围。同时根据图6所示，在y+=88.41处其湍动能占比可达22%左右。

图5 不同尺度所占湍动能比例Fig. 5 Turbulent kinetic energy fraction for different scales

图6 峰值附近不同尺度所占湍动能比例Fig. 6 Turbulent kinetic energy fraction in different scales near the peak location

3 大尺度相干运动检测

相干运动在湍流边界层中起到了决定性的作用，而大尺度相干运动在中高雷诺数的情况下对流向雷诺正应力和雷诺切应力的贡献占所有相干运动贡献的一半以上。当前，关于如何检测湍流边界层中的大尺度相干运动是一个基础内容。在有关湍流边界层的实验研究中，常用的测量手段有单点测量的热线方法和多点测量的PIV方法。热线可以得到单点时间序列，而 PIV方法，特别是具有高时间分辨率的TRPIV方法，可以得到全场多点的时间序列。对于热线测量，通过检测时间序列中的相干结构，并使用泰勒冻结假设可以得到相干结构的空间结构。而对于PIV结果，则可以对流场内每个点的时间序列进行尺度分解以提取流场内的空间结构。本文采用连续小波变换的方法来进行尺度分解，其中小波基函数为“amor”。通过以1 δ为界将小波分解得到的不同尺度结果分为两部分，如图7和图8所示，其中u′代表流向脉动速度，L代表流向脉动速度的尺度。这两部分即大尺度运动和主要湍流运动，而本文主要分析大尺度运动，由于大尺度相干运动是以 δ为量级，因此使用外尺度无量纲可以更加直观地体现大尺度结构在空间中的尺度大小。

图7 单点原始流向脉动速度与尺度分解后大小尺度分量的时间序列Fig. 7 One-point time series of the original, large-scale and small-scale streamwise velocity fluctuations

图8 原始流向脉动速度和尺度分解后大小尺度分量云图Fig. 8 Contours of the origin, large-scale and small-scale streamwise velocity fluctuations

3.1 Mu-level法检测大尺度运动

由小波分解重构得到的是大、小尺度分开的脉动速度场的时间序列，可以将这些速度场看作由排列在流向-法向平面的二维热线探针阵列得到的脉动速度时间序列。取其中一点的大尺度脉动速度序列，使用传统的Mu-level方法提取大尺度结构。Mulevel方法是检测猝发事件的经典方法之一。由于流向脉动速度与猝发事件的相关程度更大，因此其主要通过流向脉动速度与其均方根的比值来判断是否发生猝发事件，只有当比值达到给定的门限值时才会认为发生了猝发事件。其中喷射事件检测准则如下：

式中，Lm为门限值，在本文中取0.6；uL为流向脉动速度的大尺度分量；D(t)表示某一点在当前时刻的检测结果；D(t−1)表示上一时刻、同一位置处的检测结果。检测到的结构为大尺度运动在时间上的分布。使用泰勒冻结假设，将一维时间检测结果转换为一维流向空间区域，然后将所有空间位置的数据合并一起，得到相干运动在流法向平面的二维投影区域，如图9所示，其中红色代表检测值为1（即扫掠事件），蓝色代表检测值为–1（即喷射事件）。

图9 时间序列重构出的相干结构Fig. 9 Coherent structures reconstructed from the time series of signals

可以看到，时间序列重构得到的猝发事件与速度矢量场的符合程度较高。此外，在空间中会存在一个与通过时间序列重构出的脉动速度场相对应的原始速度场，对空间上的脉动速度场使用象限分裂的方法可以直接提取大尺度相干运动。根据流向和法向脉动速度的符号可以将其分为四个象 限，Ⅰ：u′＞0，v′＞0 ；Ⅱ：u′＜0，v′＞0 ；Ⅲ：u′＜0，v′＜0 ；Ⅳ：u′＞0，v′＜0。其中喷射事件的检测条件如下：

式中，D(x−1)表示上一流向位置处的检测结果。通过检测得到的空间上的相干结构如图10所示。图中蓝色区域为时间序列重构出的喷射事件，红色区域代表扫掠事件，而矢量场代表空间脉动速度场。

图10 空间提取的相干结构Fig. 10 Coherent structure extracted from the spatial domain

为了验证从时间检测出的相干结构的可靠性，将时间和空间中检测出的相干结构进行对比（图11），其中黑色实线标出的为从空间上提取的相干结构，而有颜色的区域代表从时间中提取出的相干结构。可以看出，时间重构检测出的结构基本上与空间矢量场一致，不过在剪切层和展向涡附近会出现偏差，同时从时间上得到的相干结构比空间结构要小些。检测结果的对比，证明了从时间上提取相干运动的可靠性。

图11 从时间和空间提取的喷射和扫掠事件对比Fig. 11 Comparison of the ejection and sweep events between the temporal and spatial extraction

3.2 空间拓扑平均

空间条件相位平均是提取相干结构空间拓扑形态的经典方法。从时间和空间中提取的相干结构的结果对比可以说明，时间重构的相干结构与直接检测原始空间速度场相干结构的统计特性存在差异。

为了研究这一差异，以 0 .2δ为参考法向高度，并以检测到的流向脉动速度极大值和极小值作为条件相位中心，分别从时间和空间序列中提取猝发和扫掠事件，最后通过平均得到从时间或空间角度上提取出的猝发事件空间拓扑形态，如图12的流向脉动速度提取结果所示，其中猝发事件在流场内的尺度范围已用黑色实线标出。由图可见，由空间提取的猝发事件更强，尺度范围更大，结构的整体性更明显。与扫掠事件相比，喷射事件从空间和时间提取的结构更相近。

图12 从时间和空间提取的猝发事件Fig. 12 Burst events extracted from the temporal and spatial domains

通过对时间和空间提取的猝发事件给定阈值（扫掠事件给定流向脉动速度最大值的0.25倍，喷射事件给定值与扫掠事件给定值的符号相反），并使用椭圆拟合的方法找到流向间距最大的两点坐标，以分别提取猝发事件的流向尺度。如图13和图14所示，可以看出在0.2δ～0.6δ的法向区域内，猝发事件的尺度基本是不变的。计算不同法向位置，时间猝发事件与空间猝发事件的流向尺度比例，可以看出，时间和空间提取的喷射事件流向尺度比例在0.9～1.0，扫掠事件比例在0.75～0.85。可以说明，时间提取猝发事件尺度要小于空间提取的猝发事件，喷射事件两者更接近，扫掠事件相差更大。这种不一致是喷射和扫掠事件的时空相关强度不同或者迁移速度差异造成的。

图13 从时间和空间中提取的不同法向位置猝发事件流向长度尺度Fig. 13 Streamwise length scales of the burst events extracted from the temporal and spatial domains along different wall-normal locations

图14 从时间、空间提取的不同法向位置猝发事件流向长度比值Fig. 14 Ratio of the streamwise lengths of burst events extracted from the temporal and spatial domains along different wall-normal locations

4 结 论

使用相机阵列在湍流边界层中得到流法向尺度大小为 6.7δ×1.2δ的PIV速度场，使用小波分解的方法得到流向湍动能在空间尺度分布，并使用Mu-level方法和象限分裂法，分别从时间和空间提取并比较了猝发事件，得到以下结论：

1）通过小波变换将大范围流场按照所含湍动能的占比划分为不同尺度，发现在湍流边界层中存在流向能量最大尺度，其峰值位置对应的尺度约为1倍边界层厚度。

2）利用泰勒冻结假设在时间维度上提取出的相干结构重构到原流场，可以找到与之对应的真实空间结构，且两种不同方法提取的结构基本一致。

3）从时间维度提取的高速条带（扫掠事件）尺度要小于空间提取的高速条带尺度，在 0.2δ～0.6δ法向范围内，时间尺度约为空间尺度的0.8倍。