人体冠状面轮廓曲线数学模型构建与量化分析

倪世明 白云龙 蒋益群

摘要：   冠状面轮廓曲线可以表现人体纵向体表形态，是体型研究和原型设计的关键。首先，通过三维人体测量，获取人体点云数据，利用逆向工程技术降维处理，采集冠状面轮廓点云;其次，用最小二乘法、三次样条函数、径向基函数（Radical Basis Function，RBF）神经网络分别进行曲线拟合，比较三个模型的均方根误差 RMSE 、决定系数 R 2 等参数，得出RBF神经网络拟合效果最优;然后，通过计算拟合曲线的曲率和二阶导数，量化分析冠状面轮廓曲线形态;最后，在大规模人群测量中进行验证，得到3类典型的冠状面曲线。实验结果显示，采用RBF神经网络构建二维曲线表征三维人体特征空间的数学模型拟合精度高、泛化能力强，能有效表征人体纵向体表特征。

关键词：  冠状面轮廓曲线;逆向工程;RBF神经网络;数学模型;量化分析

中图分类号： TS941.17

文献标志码： A

文章编号： 1001 7003（2022）03 0020 08

引用页码： 031103

DOI： 10.3969/j.issn.1001-7003.2022.03.003 （篇序）

人体体型由高矮（长度）、胖瘦（宽度和厚度）、体表形态（曲线和角度）等决定，存在巨大的个体差异。中国现行的服装号型GB/T 1335.2—2008按胸腰差进行体型分类，缺乏对体表形态的描述，导致体型划分不够精细化。近几年，有不少学者基于人体体表形态进行体型分析。金娟凤等  [1] 提取了青年男性肩部横截面曲线，定性分析曲线特征，细化男性肩部体型;夏岩等  [2] 对臀部横截面曲线进行聚类，获得4类不同臀沟曲线形态;LEE Hyun-young等  [3] 提取了女性乳房的乳底轮廓线，分析特征点曲率半径，细化乳房形态;谷林等  [4] 针对人体胸、腰、臀部位的截面曲线差异，根据各特征部位指标进行组合分类;王祺明  [5] 获取人体胸、腰、臀三围截面曲线，定量分析水平截面形态。以上体表截面曲线的研究，主要集中在肩部、胸部、腰部、臀部等特征截面，关于人体纵截面特征曲线研究较少。人体有矢状、冠状和横断三个切面方向的截面  [6] ，如图1所示。冠状面亦称额状面，是指按左右方向将人体纵切为前、后两部分的所有断面。冠状面属于人体的纵截面，冠状面曲线形态包含颈肩部、体侧部信息，与服装结构关系密切，能为服装结构设计中的肩斜线、侧缝线等提供定量依据。

人体的截面曲线形态不规则，较难定性描述，需要构建数学模型，对人体曲线形态特征差异性进行量化描述。贺莉文  [7] 采用最小二乘法中的三次多项式和五次多项式分别对前后肩曲线进行数学建模，提取特征参数，细化弓背体分类;赵苏庆  [8] 采用三次样条函数拟合人台和服装的胸围、腰围的横截面，从而计算服装和人台之间的空隙;王竹君等  [9] 采用最小二乘法和径向基函数（Radical Basis Function，RBF）神经网络两种曲线拟合方法构建袖窿周长和袖山周长的估算模型，模型性能较好;李宝顺等  [10] 提出了一种基于最小二乘法的鼻子轮廓提取算法;夏明等  [11] 采用椭圆傅里叶方法对人体封闭的胸围水平断面曲线进行研究。最小二乘法、三次样条函数、RBF神经网络等方法在曲线拟合中较为常用，但对于人体冠状面轮廓曲线的最优拟合方法，有待进一步研究。

冠状面轮廓曲线模型构建是一个高维点云数据降维优化后再次拟合的过程，本文旨在构建一个拟合精度高、泛化能力强的数学模型，然后对其量化分析，更好地表征人体体表特征。因冠状面轮廓曲线是非封闭的曲线，故本文选取最小二乘法、三次样条函数、RBF神经网络三种方法分别构建冠状面曲线模型，比较其拟合效果，然后对曲线形态进行量化分析，并在大规模人群测量中进行验证，得到不同类型的冠状面曲线，为人体体型研究和结构设计提供数据支撑和技术支持。

1 实 验

1.1 对象与仪器

为了使冠状面轮廓曲线研究更有针对性，本文以631名年龄在18～25岁在校女大学生为实验对象，身高150～180 cm， 体重40～69 kg。

实验仪器采用[TC] 2三维人体测量仪（美国[TC] 2）、人体测高仪（日本Martin）及体重计（江苏苏宏医疗器械有限公司）。测量环境温度为（27±3） ℃，相对湿度为60 % ±10 % ，符合裸体测量的环境标准。测量时按照GB/T 23698—2009《三维扫描人体测量方法的一般要求》进行人体测量。

1.2 冠状面轮廓曲线点云提取

在选择实验样本时，为了使构建的人体冠状面轮廓曲线数学模型更具普适性，在样本中选择一位与国标160/84A女性体型尺寸最为接近的实验样本，主要体型信息：身高159.8 cm， 胸围84.2 cm，腰围68.5 cm，臀围90.9 cm，年龄22岁，未婚未孕，体重52.1 kg，BMI为20.4 kg/m 2，身体健康状况良好。

通过三维人体扫描，获取样本三维点云数据，坐标原点由[TC] 2扫描系统生成，X轴表示人体厚度方向，Y轴表示人体宽度方向，Z轴表示人体高度方向，存储为.wrl格式。将躯干部位文件导入Imageware13.0软件（图2），对原始点云数据进行精简及平滑处理。使用“点云投影到平面”工具来提取冠状面轮廓线点云，将点云投影到指定的YOZ平面，然后抽取轮廓点云，进一步精简点云，获取冠状面轮廓线点云。通常而言，人体近似左右对称，但是由于扫描時站姿和呼吸等影响，使得冠状面左右两边的轮廓点云不对称，这会影响到冠状面曲线形态分析。因此，本文参考夏明等  [11] 对胸围断面形状对称处理的方法，借助Imageware13.0软件对冠状面轮廓点云作对称处理。首先，将左侧冠状面点云镜像对称到右侧，得到左侧镜像点云数据;其次，取左侧镜像点云数据与右侧原点云数据的均值; 最后，将均值再次镜像对称，得到较为对称的轮廓点云（图3）。该方法保留了原始冠状面轮廓曲线特征，然后利用AutoCAD调出冠状面轮廓点云的数据坐标，以便后续研究。

1.3 曲线拟合的理论基础

曲线拟合是一种函数逼近的方法，构造函数 φ（x） 去逼近未知函数 f（x） ，使得误差在某种意义上达到最小。最小二乘法（最小平方法）是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。采用最小二乘法建立曲线拟合方程，如下式所示：

∑  m i=1 [φ *（x i）-y i] 2=  min   φ（x）∈φ  ∑  m i=1 [φ（x i）-y i] 2   （1）

式中： φ（x） 是函数 Φ 中任意函数。

满足式（1）的函数 φ *（x） 称为上述最小二乘问题的最小二乘解。最小二乘法能将复杂问题简单化，函数形式简单、表达能力强、计算方便，经常被用于曲线拟合，关键是确定函数 φ（x）   [12] 。

三次样条函数是根据一组已知数据点，对于每相邻样点对，用三次多项式去拟合样点之间的曲线。

人工神经网络是一系列受生物学、神经科学启发的数学模型，模拟生物神经网络，广泛应用于机器学习领域  [13] 。RBF神经网络结构简单，训练简洁，学习收敛速度快，能逼近任意非线性函数，在曲线拟合中应用较多。把采集到的离散的冠状面轮廓数据点通过训练，得到模型模拟相应的非线性系统，从而得到较好的逼近函数  [14] 。

2 冠状面轮廓曲线的数学模型构建

本文采用Matlab软件，对1.2节中提取的青年女性冠状面轮廓点云数据，运用最小二乘法、三次样条函数、RBF神经网络分别构建冠状面轮廓曲线的数学模型，比较其拟合效果，得出最佳的数学模型。

2.1 最小二乘法模型

本文采用Matlab软件进行分析，使用多项式插值的方法对青年女性冠状面轮廓数据点进行曲线拟合，求解曲线方程系数及拟合精度评估系数。在保证冠状面轮廓曲线拟合精度的前提下，为了增强拟合模型的稳定性，应尽量选取小的拟合阶数。

插值多项式的表达式如下式所示：

f（x）=p 1x n+p 2x  n-1 +…+p  n-1 x 2+p nx 1+p  n+1    （2）

式中：对数据点进行插值，其含义为 f（x i）=y i，i∈{0，1，…，n} 。

代入等式就得到系数为 P k 的线性方程系统，用矩阵向量形式表示为：

x n 0 x  n-1  0 x  n-2  0 … x 0 1 x n 1 x  n-1  1 x  n-2  1 … x 1 1 x n n x  n-1  n x  n-2  n … x n 1    p 1 p 2p  n+1   =  y 0 y 1y n     （3）

式中：为了构建插值多项式 f（x） 主要是计算系数 P k 。通过计算得到青年女性冠状面的拟合曲线模型，在Matlab曲线拟合工具箱里实现这一过程。

Matlab调用格式 p =polyfit（ x，y，n ），其中 x，y 为点云坐标数据点， n 为多项式阶数， p 为幂次从高到低的多项式系数向量。用最小二乘法对数据进行拟合，返回 n 次多项式的系数，并用降序排列的向量表示，长度为 n+1 。利用函数 y =polyval （p，x） 进行多项式曲线拟合评价，返回 n 阶多项式在 x 处的拟合值。最后使用plot工具画出原始点云数据点、拟合曲线。在实验的过程中发现，随着多项式拟合次数的增加，返回的高次项拟合系数越来越小，拟合方程出现震荡不稳定的现象。考虑到最小二乘法模型的拟合精度和稳定性，最后选用五次多项式对冠状面轮廓曲线进行数学建模。本文分别对颈肩部、体侧部冠状面轮廓曲线进行最小二乘法建模，如图4 所示。

2.2 三次样条函数模型

三次样条函数广泛应用于数据拟合、图形处理、计算机视觉等领域，函数定义  [15] 如下：

对 y=f（x） 在区间 [a，b] 上给定一组节点 a=x 0

Matlab调用格式 y i =spline （x，y，x i） ，其中 x、y 为点云坐标数据点， x i 是插值数据的横坐标，返回对原始数据三次样条插值的纵坐标，最后使用plot工具画出原始点云数据点、拟合曲线。本文分别对颈肩部、體侧部冠状面轮廓曲线进行三次样条函数建模，如图5所示。

2.3 RBF神经网络

RBF神经网络是一种三层前向神经网络，由输入层、隐藏层和输出层构成  [16] ，如图6所示。

RBF神经网络常用的径向基函数是高斯函数，隐藏层中的激活函数可表示为：

R（x p-c i）= exp  - 1 2σ 2  x p-c i  2    （4）

式中：  x p-c i  为欧式范数; c i 为高斯函数的中心; σ 为高斯函数的方差。

由RBF神经网络结构可得到网络的输出为：

y j= ∑  h i=1 w  ij  exp  - 1 2σ 2  x p-c i  2 j=1，2，…，n   （5）

式中： x p=（x p 1，x p 2，…，x p m） T 为第 p 个输入样本， p=1，2，…，P;P 为样本总数， c i 为网络隐藏层节点的中心; w  ij  为隐藏层到输出层的连接权值; i=1，2，…，h 为隐藏层节点数; y j 为与输入样本对应网络的第 j 个输出节点的实际输出。

冠状面轮廓曲线RBF神经网络模型流程如图7所示。

运用newrb函数设计一个近似径向基网络，建立单输入单输出的RBF神经网络。Matlab调用格式[net，tr]=newrb[P，T，GOAL，SPREAD，MN，DF]，其中输入向量 P 为冠状面轮廓点云宽度方向坐标，目标输出 T 为冠状面轮廓点云高度方向坐标;GOAL为均方误差目标，设定为10  -4 ;SPREAD为径向基函数的扩展速度，设定为1;MN为神经元的最大数目;DF为两次显示之间所添加的神经元数目;net返回值为一个RBF神经网络;tr返回值为训练记录。

RBF神经网络是一个不断尝试的过程，当网络输出误差的均方误差达到预期或神经元数量达到上限则完成训练，否则继续训练，直到达到预期设定目标。在人体冠状面截面轮廓点云数据集中选取70 % 的数据点作为拟合训练点集，剩下30 % 作为测试点集。最后使用plot工具画出原始点云数据点、拟合曲线。本文分别对颈肩部、体侧部冠状面轮廓曲线进行RBF神经网络建模，如图8所示。

3 分 析

冠状面轮廓曲线数学模型拟合精度通过均方根误差 RMSE 和决定系数 R 2 进行评估， RMSE 越接近于0， R 2 越接近于1，表明模型拟合度越高  [17] 。 RMSE、R 2 表达式  [17] 如下式 所示：

R 2=1-  ∑  n i=1 （y i- y i   ^ ） 2  ∑  n i=1 （y i- y  ） 2    （6）

RMSE=  1 n  ∑  n i=1 （y i- y i   ^ ） 2    （7）

式中： n 为样本总数; y i 为样本基础值;  y i   ^  为样本预测值;  y   为样本基础值的平均值。

表1列出了三个模型的均方根误差 RMSE 和决定系数 R 2 ，可见RBF神经网络模型的拟合精度优于最小二乘法和三次样条函数模型。最小二乘法模型簡单，但随着拟合次数的增加，如图4所示，模型出现震荡不稳定现象;三次样条函数模型拟合精度较高，因涉及矩阵求逆耗时较长，其次数据点过近也会影响其拟合效果。综合比较三种方法的拟合 （图4、图5 、图8）和精度对比（表1），RBF神经网络在人体冠状面轮廓曲线模型效果最优，选用该模型做进一步的量化分析。

根据冠状面轮廓曲线RBF神经网络模型，用曲率和二阶导数来进一步量化曲线形态。曲率能表明曲线在某一点处的弯曲程度，曲率越大，表示曲线弯曲程度越大。二阶导数能表现拟合曲线的凹凸变化特征，二阶导数大于零，表示那个部位呈现凹状，反之呈凸状。计算曲线的曲率 K 如下式 所示：

K=  y″  （1+y′ 2）   3 2      （9）

式中： y′ 为拟合曲线的一阶导数， y″ 为拟合曲线的二阶导数。

将冠状面轮廓点云按照从上到下排列的顺序进行编号，计算出颈肩部、体侧部冠状面拟合曲线样本点处的曲率，同时为分析拟合曲线的几何特性，计算出每条拟合曲线样本点处的二阶导数，如图9所示。

人体冠状面轮廓拟合曲线曲率和二阶导数变化规律表明，轮廓曲线曲率变化呈现波纹状，峰值较多。从图9得到：颈肩部冠状面拟合曲线从第一个极大值下降至接近于零，随后又增大到第二个极大值，此时二阶导数大于零，曲线呈凹状，与侧颈部形态相符;体侧部冠状面拟合曲线的峰值主要集中在前三分之一样本处，对照拟合图位于腋下点到侧腰点的点云之间，曲率变化剧烈。通过比对GB/T 16160—2008《服装用人体测量的部位与方法》、GB/T 23698—2009《三维扫描人体测量方法的一般要求》，发现曲率值较大的样本点主要集中在人体的特征部位附近，如侧颈点、肩峰点、腋下点、侧腰点等处，也是服装制版的关键点。

最后，为了使纵向体型研究更具有针对性，本文按照以上方法对测量的631个实验样本进行冠状面轮廓曲线RBF神经网络模型构建，并计算其曲率和二阶导数，获取侧颈点、肩峰点、腋下点、侧腰点等特征点曲率，参考文献[3]中基于特征点曲率细化轮廓线形态的方法，将冠状面体型分为3类，量化区分了青年女性纵向体型差异，其中中间体冠状面拟合曲线如图10所示。

第一类冠状面体型呈H形，肩宽约等于臀宽，腰部凹势不明显，侧颈点处凹势较缓，曲线整体曲率较小;第二类冠状面体型呈O形，肩宽小于臀宽，腰部凹势一般，侧颈点处凹势较明显，曲线整体曲率一般;第三类冠状面体型呈X形，肩宽大于臀宽，腰部凹势明显，侧颈点处凹势明显，曲线整体曲率 较大。

4 结 论

参数化轮廓曲线是研究体型及其分类的一个基础，本文通过对冠状面轮廓曲线的研究，得到以下结论：

1） 利用逆向工程技术从人体三维扫描数据点云中能有效提取冠状面轮廓线点云数据，降维优化，采用最小二乘法、三次样条函数、RBF神经网络分别构建冠状面轮廓曲线数学模型，对比分析，结果显示RBF神经网络拟合精度优于前两种方法;

2） 进一步量化分析，冠状面轮廓拟合曲线曲率和二阶导数变化规律表明，轮廓曲线曲率变化呈现波纹状，曲率的极大值点主要集中在人体的侧颈点、肩峰点、腋下点、侧腰点等特征点处;

3） 最后在大规模三维人体测量实验中采用RBF神经网络建模，得到利用二维曲线表征三维人体特征空间的数学模型，量化曲线形态，聚类得到H形、O形、X形3类冠状面拟合曲线。

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Mathematical model construction and quantitative analysis of human coronal profile curve

NI Shiming  1a ， BAI Yunlong  1b ， JIANG Yiqun 2

（1a.College of Architecture & Art Design; 1b.College of Information Engineering， Shaoxing Vocational & Technical College， Shaoxing 312000， China; 2.College of Engineering， Iowa State University， Iowa 50011， USA）

Abstract：

There are huge individual differences in human body shape， mainly manifested in height （length）， fatness and thinness （width and thickness）， body surface shape （curve and angle） and so on. Body shape research based on body surface curve can refine the existing body shape classification and is the key to improving clothing fitness. There are three human body sections in sagittal， coronal and transverse directions. Due to the irregular shape of the section curve， it is necessary to build a mathematical model to quantitatively describe the shape characteristics of the curve. The coronal curve shape that contains the body shape information of the neck， shoulder and side of the body is closely related to the clothing structure. However， there are few researches on coronal curves. Despite the common use of methods such as least square method， cubic spline function and RBF neural network in curve fitting， further research is needed for the optimal fitting method of human coronal plane curve.

For the purpose of the dimension reduction and optimization of the human bodys high-dimensional point cloud data， a mathematical model with high fitting accuracy and strong generalization ability is established to quantitatively analyze the coronal profile curve， and to better characterize human body surface shape. First， the human body point cloud data are obtained through [TC] 2 three-dimensional measurement. In order to enhance the universality of the mathematical model of human coronal profile curve， an experimental sample closest to the national standard 160/84A female body size is selected. The original point cloud is simplified， smoothed， projected and symmetrically processed by reverse engineering technology， and the coronal profile point cloud is collected. Secondly， the least square method， cubic spline function and Radical Basis Function （RBF） neural network are used for curve fitting respectively， and the  RMSE  and determination coefficient  R 2  of the three models are compared.  RMSE  of RBF neural network is closer to 0 and  R 2  is closer to 1 compared with the other two models， and the fitting effect of RBF neural network is the best. Then， the shape of the coronal profile curve is quantified by calculating the curvature and second derivative of the fitting curve. Finally， in the measurement of large populations for validation， the RBF neural network model of coronal profile curve for 631 experimental samples is established and the curvature and the second derivative are calculated. By refining the coronal profile line shape based on the curvature of feature points， coronal profile curves of three typical types of H， O and X are obtained through clustering. The longitudinal body size differences among young women are quantified and distinguished. This paper tries to introduce artificial neural network into the human coronal profile curve fitting， constructs the RBF neural network model， and compares with the fitting effect of least square method and cubic spline function. It has improved the precision of coronal profile curve fitting， and quantified the curve shape through the curvature and the second derivative， providing data support and technical support for the study of the human body shape and the structure design. It is found that the mathematical model using RBF neural network for the construction of two-dimensional curve has high fitting accuracy and strong generalization ability when characterizing three-dimensional human body feature space， and it can effectively characterize the longitudinal body surface features of human body.

Parameterized profile curve is the basis for body shape research and classification. The complex point cloud data can be optimized through machine learning， so as to quickly obtain the mathematical model using two-dimensional curve for the characterization of the human body feature space， which can lay a foundation for subsequently searching the mapping relationship between human body basic parameters and the coronal profile fitting curve.

Key words：

coronal profile curve; reverse engineering; RBF neural network; mathematical model; quantitative analysis