于“变”中寻其“宗”

白杨 翟秀蕊

摘  要：针对“图形的变化”领域的试题，根据2021年部分省、市中考数学试卷中的典型题目，总结出五个方面的特点，即重视基本性质、贴近实际生活、抓住不变本质、考查探究能力、培养全面思维，并逐一进行例题的解答和分析说明. 对解题方法进行提炼总结后，得到的解题经验是：回归教材基础、剖析基本性质、查看前题提示、类比解题方法、关注核心元素、探究变化规律.

关键词：典型例题;解法分析;基本模型;回归教材

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，“图形的变化”是一类以图形为教学和考查的载体，以引导学生领悟变化过程中的不变量为主要目的的学习活动. 命题专家在设计“图形的变化”的题目时，一般是从“图形变化的方式”入手，结合平时的动手操作、构建基本图形，注重寻找题目中图形变化的本质，从而解决问题. 近年来，“图形的变化”领域的试题形式较为稳定，但试题命制者仍在根据最新教育理念和改革风向不断探索和创新，以便更好地达到课程设置的要求和目标.

一、试题分析

从2021年各省、市中考数学试题来看，“图形的變化”领域的试题一般以问题串的形式出现，难度层层递进，题目注重体现基本图形的性质和判定的应用，注重学生的阅读和动手操作能力，注重数学的实际应用，注重知识点的迁移创新，考查学生独立面对全新数学问题的探究能力，为学生更高阶段自主学习铺路.

通过题中数据列方程就可以求得建筑物高.

【评析】此题主要考查三角函数和一元一次方程，题目以测量建筑物高为背景呈现，体现了数学的实用性，解题的关键是寻找两个直角三角形的公共边，并用公共边表示其他未知量，最后通过方程即可求解.

3. 透过变化因素，抓住不变本质

例3 （浙江·嘉兴卷）小王在学习浙教版九年级上册教材第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0° < α ≤ 90°），得到矩形AB′C′D′，连接BD.

（3）在第（2）小题的基础上继续探究图形中线段之间的关系，如图3（2），通过连接AM可得△AMD′与△AMD全等. 进而得到∠NMA与∠NAM之间的相等关系，实现了线段AN与MN之间的转化，最后通过△NPA与△NAD相似得到题中三条线段的关系.

【评析】试题考查了三角形角之间的关系、矩形的性质、全等三角形、相似三角形的判定和应用. 以矩形旋转的位置变化这一动态过程为线索，结合教材的基础知识考查学生独立思考，活学活用教材知识，发现、分析、解决问题的能力.例如，第（1）小题中，抓住旋转之后三点共线，再结合旋转过程中保持不变的几何量——角，于是得到相似三角形. 第（2）小题表面上与第（1）小题有差异，但本质还是用了旋转之后长度、角度不变，通过平行线转换角，找到全等三角形. 第（3）小题在第（2）小题的基础上继续探究图形中三条线段之间的关系，三条线段之间的关系通常有两短线段的和等于最长线段、两短线段的平方和等于最长线段的平方、中间线段是最长与最短线段的比例中项等. 先说第一种关系，则需要证明DM = PN，也就是证明△ADM ≌ △NAP，根据对应关系，会发现这两个三角形全等后得到的是AP = DM，并不是DM = PN;再说第二种关系，观察图形可以发现以最长线段DN为斜边的直角三角形旋转前后都不存在;最后是第三种关系，结合图形，通过观察可以发现这三条线段在同一条直线上，需要转化为非共线关系，观察图形可以发现MN与AN看起来差不多相等，所以结合第（2）小题中角之间的关系可证MN = AN，最后通过母子型△NPA与△NAD相似就得到题中三条线段的关系了.

【评析】这道题将这四条线段顺次首尾相接.把其中一条固定，让其他线段随着其中一条线段的旋转而运动，当线段旋转到不同的位置时，研究线段和角之间的关系. 这类试题的难点主要在于当线段旋转到既定位置时，需先确定其他线段的位置，进而根据已知条件求解. 例如，“发现”这一问题，需要学生先画出当旋转角α为60°时，其余相关线段的位置，而这就要求教师在平时的教学中先制作教具进行演示，提升学生的空间想象能力. 要求学生动手把图形的动态旋转图形画出来，就是图形每旋转一个小的角度都要按照线段之间的关系画出图形，观察是否符合题意，从而得到正确的图形. 经过不断的训练和积累，图形在学生眼里就会运动起来，学生的空间想象能力就逐渐建立起来了，积累了画图经验，对此类问题就可以应付自如了.

这类题目能够初步考查学生独立面对全新数学问题的探究能力，为学生更高阶段的自主学习铺路，为学生终身发展服务，在2021年各省、市中考数学试题中得到了应有的重视.

分别计算，即可解得点D的坐标.

【评析】此题主要考查了二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线定理等相关知识，以及相似三角形的判定与性质，综合性较强，试题注重线段长度与点坐标的融合，彰显了用代数方法解几何问题的优势. 学生在解题时要注意利用坐标计算线段的长度，可以起到事半功倍的效果. 例如，第（2）小题第①问可以设D，E两点的横坐标，代入函数表达式得到DE，DF的长度，进而得到二次函数表达式，求得最大值. 第（2）小题第②问以点G是AC的中点为切入点，利用直角三角形斜边中线是斜边的一半，认识到相似中的原始三角形AOG是等腰三角形，所以以点C，D，E为顶点的三角形也是等腰三角形，从而打开解题突破口.

二、解法分析

求解“图形的变化”领域的试题时关键要把握三点：一是回归教材基础，剖析基本性质，在复杂的图形变化中辨识对应教材中的知识考查要点，回忆教材上的基本性质，再根据题中条件求解;二是查看前题提示，类比解题方法，关注渐次递进问题的基本解题思路，进行数学方法的类比迁移，从而根据前题解后题;三是关注核心元素，探究变化规律，抓住问题产生过程中的不变本质，关注图形平移、旋转、对称中的变与不变，回忆学过的特殊条件下的解题思路，补充必要的全等三角形或相等角求解.

1. 回归教材基础，剖析基本性质

例6 （四川·成都卷）如图7，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE = 3，按以下步骤操作：

第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为点B′，则线段BF的长为__________;

第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为__________.

解析：此题以轴对称为背景，所以应从轴对称的性质入手，逐一对照性质找到解题突破口，轴对称的性质3是对应点连线被对称轴垂直平分，通过作垂线构造相似三角形，如图8（1）所示. 由△FEG ∽ △ACD，可得[FGEG=ADCD]，易得BF的长度. 继续翻折，依然是从轴对称的性质入手，由对应点连线被对称轴垂直平分，得MN⊥EF，MN∥AC. 求MN，需再次作垂线构造直角三角形，作MH⊥A′B′，如图8（2）所示. 利用梯形中位线性质，得MH = 2. 再由△MNH ∽ △ACD，即可求得MN的长度.

三、试题解法赏析

作为中考压轴题之一的“图形的变化”模块解答题，命题者在设计条件之初就给足了学生思考的空间，为学生多法求解留下充足余地. 一道好题可以从不同角度、按不同思路、用不同方法给出解答，经常思考多种解法可以培养学生的创新思维，帮助学生积累解题经验，丰富解题思路，不断提升其解题能力.因而，一线教师在日常教学中要多引导、鼓励学生思考一道习题的多种解法，这是提升学生能力的重要教学方法. 以下是一例优秀试题的多种解答，供大家参考.

例9 （山西卷）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图14（1），在?ABCD中，BE⊥AD，垂足为点E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明.

独立思考：（1）试解答老师提出的问题;

实践探究：（2）希望小組受此问题的启发，将?ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图14（2）所示. 点C的对应点为点C′，连接DC′并延长，交AB于点G，试判断AG与BG的数量关系，并加以证明.

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将?ABCD沿过点B的直线折叠，如图14（3）所示. 点A的对应点为点A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N. 该小组提出一个问题：若此?ABCD的面积为20，边长AB = 5，BC =[25]，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.试思考此问题，直接写出结果.

【赏析】此题是以平行四边形为背景的综合题，考查了平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、直角三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定等知识，要求学生能够熟练掌握从复杂题目中提炼知识点，并灵活运用常见的解决方法逐个击破，综合解决问题.题目给出的条件较为宽泛，因而此题的解题思路众多，学生观察图形变化的角度和对题干条件分析的侧重点不同，解法也就五花八门，这些方法大都来自复习过程中常见的解题策略. 其中，根据图形合理猜想，从问题本身入手思考是十分便捷的解法，教师可以引导学生在遇到难题时多多思考和运用. 另外，在备考过程中重视一题多解有利于发散思维，应对考场上出现的新题、难题，往往可以事半功倍，教师也应定期组织，在课堂上安排学生自主思考多样的解法.

综上，2021年各地中考数学试卷中“图形的变化”领域的试题有着基础性、应用性、创新性等特点，在考查基础、方法、经验和能力上大做文章，狠下功夫，全面贯彻落实《标准》中要求教师回归教材、重视基础的同时提升学生综合素养和创新能力的基本理念. 今后，在“图形的变化”领域，优秀的试题不仅要求学生有更扎实的基本功，对各类性质有更高的熟悉度，还将进一步加大数学应用的比例，即对学生综合处理信息、排除无用条件、快速筛查有用条件的能力要求更高. 更加有利于学生提高能力、提升素养、增长经验，有利于学生的长期发展. 对学生的更高要求意味着一线教学需要教师具备更高的教学水平，今后教师在注重“四基”和“四能”教学的基础上，一定要严格落实“图形的变化”领域的教学要求，落实《标准》的理念和评价要求，更多地巩固教材基础，传承数学文化，实现数学价值，厚植数学情怀，以中考数学试题中“图形的变化”的内容为载体，紧跟数学教学改革大潮，为未来的数学教学带来充满生机和活力的新局面.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]全国中小学教师继续教育网. 2011年版义务教育课程标准解读（初中数学）[M]. 北京：中国轻工业出版社，2012.

[3]孟学明，郭福生. 把握图形变化本质，追根溯源考查方向：2019年中考“图形的变化”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2020（1 / 2）：97-103.

[4]孙玉军，宋先波，刘忠. 2018年中考“图形的变化”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2019（1 / 2）：91-98.