重通法巧转化，提高解题效率

陶炳宏

[摘  要] 传统教学多采用“题海战术”，但高考题型变幻莫测，这种机械的训练容易造成学生思路僵化，思维缺乏变通性，对同一类型问题习惯于从单一角度分析，从而无法找到最优解题思路，解题效率低下. 为提高解题效率，教师应引导学生分析问题时去抓住问题的核心和本质，利用科学的方法将问题进行有效转化，从而化繁为简、化难为易、化特殊为一般.

[关键词] 解题效率;变通性;转化

因高考试题的题型新、题量大，为了提高学生成绩，部分教师认为需要让学生多做题、做难题、做偏题，这样在遇到新颖复杂的题目时不会产生畏难心理. 这种片面的认知，容易使学生因多做题而出现思维疲劳和思维定式，解题缺乏变通性，解题效率低下;因做难题和偏题使学生忽视了对基础知识和基本技能的积累，反而在遇到综合题目时显得力不从心.

随着教改的不断深入，对如何发展学生的思维水平，如何提升学生的综合能力提出了更高的要求，因此教学中不能只关注于“教”和“练”，也应关注学生数学思想和数学技能的培养，提升他们的分析问题、解决问题的能力，从而提高他们的解题效率. 那么如何提升解题效率呢？笔者浅谈了自己的几点认识，以期共鉴.

[⇩] 利用必要条件化繁为简

必要条件因其可以简洁迅速地解决问题，在数学解题中应用较广泛，例如，其常出现在解决含参不等式恒成立、求参数取值范围、用分析法证明不等式、探究存在类等相关问题中. 其实解题的过程可以看作是一个转化的过程，通过已有认知找到等价条件进行等价转化，但因有时问题较为复杂，使之在寻找等价关系时思维受阻. 对此，我们可尝试利用必要条件解题，利用必要性对问题进行合理转化，也许会收获化难为易、化繁为简的效果.

例1  已知函数f（x）=x2-m（x-1）+1（m>0），当x∈[0，1]时，都有≤f（x）≤3成立，试求m的取值范围.

题目解析：由已知条件可知，二次函数f（x）的对称轴与参数的m值有关，因此为动对称轴. 虽然已知给了定区间上的函数值域，但因对称轴的位置不确定，所以在求解本题时需要进行分类讨论. 问题可以转化为f（x）在区间[0，1]上的最大值小于等于3，最小值大于等于，又m>0，所以需要分成三类进行讨论：第一类为0<<，第二类为≤<1，第三类为≥1. 因为本题没有必要确定最大值的位置，所以可以将分类优化，即把第一类和第二类合并，此时只需要满足f（0）≤3，且f（1）≤3，f≥;第二类为≥1.

解：当x=0时，由条件可知≤m≤2，所以二次函数f（x）=x2-m（x-1）+1（m>0）的图像对称轴为x=∈，1⊆[0，1]. 由f（0）≤3，且f（1）≤3，f（）≥，可得2-≤m≤2.

评注：对于含参不等式恒成立问题，若需要求参数的取值范围经常会用到分类讨论，但有时也可以从必要性的角度出发，这样可以达到缩小参数范围的效果. 这样合理地利用必要条件，引导学生抓住问题的本质，化繁为简，提高了解题效率.

[⇩] 利用分类讨论化难为易

分类讨论是数学思想的重要成员，因其具有多样性、逻辑性和综合性，在历届高考题中从未缺席. 但在解决分类讨论问题时，有些学生因对分类的标准和分类的原因缺乏清晰的认识，常出现分类重复或分类遗漏等情况，从而不能正确求解问题. 为提高分类讨论的能力，学生必须注意夯实基础，认清问题的本质，搞清楚分类讨论的标准，遵循分类原则，做到科学合理分类，由此提高解题的准确性和高效性.

[⇩] 利用数形结合化抽象为直观

数学问题常以抽象著称，尤其复杂的代数问題更为抽象，若从数的角度出发无从下手，则可以尝试转变思路，结合图形进行直观观察，从形的角度尝试求解. 在处理复杂的数量关系时多从图形的性质出发，这样往往可以简化问题，因此，在解题教学中教师要引导学生多角度观察，多维度思考，重视数形结合思想的应用，有效地将复杂问题简单化，将抽象问题直观化，以达到提高解题效率的目的.

评注：若一个二元方程组含有3个未知量，用代数法求解会很难实现. 设b=x，c=y，将a看为参数，转化为含有参数的二元方程组，方程组转化后容易联想到直线和圆，因为方程组有解，所以圆与直线的位置关系必然相切或相交. 这样将“数”完美地转化为“形”，问题不仅变得更加直观，求解也变得更加容易.

数与形不是孤立存在的，彼此间存在着密切的联系，可以进行相互的转化. 数形结合思想在解决多元等式、向量、最值、不等式、立体几何等方面的问题具有一定的优势，利用形的直观性变抽象的问题为具体的问题.

[⇩] 利用变式化特殊为一般

数学题目千变万化，欲使学生顺利地解决问题，必须引导学生关注问题的本质，通过必要的变式训练使学生掌握解决问题的通法，这样可以有效地解决变化莫测的数学问题.

例4  已知tanα=，求sinα，cosα的值.

题目解析：

方法1：用同角三角函数求解. 根据同角三角函数关系式可得tanα==，sin2α+cos2α=1. 两式联立可以求解. 方法2：由于tanα=，因此可以确定α在第一象限或第三象限，接下来可以根据α的位置进行分类讨论. 方法3：利用比例的性质，由tanα==，可得 =，利用此种方法解题更妙.

例5  已知sinα=，α是第二象限角，求tanα.

解：因为α是第二象限角，sinα=，所以cosα=-=-，tanα=-.

变式1：已知sinα=，求tanα.

题目解析：本题未给出α在哪个象限，由sinα=>0可知，α是第一象限角或第二象限角，因此需要分类讨论.

变式2：已知sinα=m（m>0），求tanα.

题目解析：本题是在变式1基础上的变式，若0<m<1，则与变式1解法相同;若m=1，则tanα不存在.

变式3：已知sinα=m（m≤1），求tanα.

题目解析：在求本题时需要对m进行更细致的分类. 若m=1，-1时，tanα不存在;若m=0，则tanα=0;若0<m<1时，α为第一象限角或第二象限角;-1<m<0，α为第三象限角或第四象限角.

评注：通过变式训练不仅可以达到巩固知识的目的，而且有助于学生根据变化总结出一般规律，从而化特殊为一般，找到解决问题的方法. 同时，通过变式也可以将其与有关的知识互相关联，从而达到融会贯通的目的. 另外，通过有效的变式训练可以暴露出学生的知识盲区，对完善学生的认知结构有着积极的意义.

总之，要提高解题效率，提升学习的热情，教师应引导学生从多角度思考问题，让学生积极地参与到教学实践中，在实践中积累解题方法和解题技巧，通过合作和探究来发展学生的思维能力，实现学生的全面发展.

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