基于时间-冲击的喷胶机器人轨迹优化算法

胡俊辉， 孙 博， 孟 婥， 张 豪， 孙以泽

(东华大学 机械工程学院， 上海 201620)

目前在运动鞋底喷胶过程中大多数企业采用人工涂胶，不仅无法保证喷胶质量，影响鞋的美观，还会造成脱胶，同时胶水挥发出的有害气体对人体危害很大。针对这种状况，企业在运动鞋鞋底喷胶作业中开始引进喷胶机器人，虽然解决了人工涂胶的问题，但存在喷胶精度和效率低的缺点。为在提高喷胶精度的同时保证机器人喷胶的作业效率，需要对喷胶机器人进行轨迹规划及优化。

在机器人插值轨迹研究方面，朱世强等[1]用7次B样条曲线插值方法将运动学约束转化为B样条曲线的控制点约束，优化了机器人的运动时间并保证了脉动(加加速度)的连续，但高次插值曲线计算较为复杂。赵川等[2]通过分析3次多项式插值和5次多项式插值的优缺点，进而提出了3-5-3多项式插值算法，弥补前两者多项式插值各自的缺点，提高轨迹的稳定性。郑涛等[3]采用5次B样条和5次多项式相结合的B-5-B插值轨迹，将其与3-5-3多项式插值算法进行比较，发现B-5-B插值轨迹更有效地降低机械冲击，但采用的两自由度喷胶机器人适应面不广。在轨迹规划优化方面，秦律等[4]将遗传算法进行改进并用于机器人轨迹规划优化，能有效缩短机器人的运动时间，但采用3次样条插值会出现机器人脉动的突变。陆佳皓等[5]利用改进的非劣分类遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm II，NSGA-II)对机器人时间-冲击进行优化，采用5次B样条函数进行关节空间的轨迹插值，提高机器人运行效率和减小冲击。Wichapong等[6]采用4阶多项式进行插值，通过建立多个带约束的元启发式(meta-heuristic，MH)算法来求解机器人轨迹规划优化，在此研究的基础上找到机器人轨迹规划的最佳MH算法。Huang等[7]采用5次B样条在关节空间进行插值，通过精英非支配排序遗传算法(elitist non-dominated sorting genetic algorithm II，ENSGA-II)对轨迹进行优化，实现时间和冲击最优的轨迹优化。Liu等[8]基于5次多项式的运动轨迹，采用具有避免奇异性的自适应精英遗传算法(adaptive elite genetic algorithm with singularity avoidance，AEGA-SA)进行时间最优的轨迹规划，通过与具有避免奇异性的遗传算法(genetic algorithm combining with singularity avoidance，GA-SA)和自适应精英遗传算法(adaptive elite genetic algorithm，AEGA)比较可知，AEGA-SA能够获得更优解。虽然上述文献所做的工作解决了速度和加速度的连续性以及运行时间的优化，但是没有针对多自由度机械臂对象的时间和冲击进行轨迹优化。

针对上述研究的不足之处，本文以6自由度喷胶机器人为研究对象，在关节角度、速度、加速度和加加速度的约束下，以时间-冲击最优为目标函数，提取鞋头部分的喷胶轨迹点，采用多目标粒子群优化(multi-objectives particle swarm optimization，MOPSO)算法和4-5-6多项式插值轨迹在关节空间下进行轨迹规划优化，通过MATLAB软件仿真验证算法的有效性。

1 喷胶机器人关节空间轨迹规划

机器人的轨迹通常是在关节空间中运行，将操作空间中的点转化为关节空间中的连续点，再根据实际工作中各轨迹点的速度、加速度和加加速度约束进行轨迹规划。机器人实际运动中的传动误差和摩擦等非线性因素，使机器人实际操作空间轨迹对关节空间轨迹规划有很大影响。本文仅考虑机器人运动学上的轨迹规划，并在此基础上进行仿真验证。

1.1 机器人运动学

本文的控制对象为新松SR7CL型6自由度机器人，如图1所示。该机器人由6个转动关节、连杆和底座组成，机器人运动的位置和姿态都通过6个转动轴来完成。第6轴(J6)的末端安装适配接口，可根据不同的工作任务安装不同的执行器，本文的机器人末端安装胶枪。

图1 6自由度喷胶机器人模型

机器人运动学求解主要研究机器人在不考虑力和力矩情况下空间的运动情况。对于机器人正逆运动学[9]来说，正向运动学是指在已知连杆参数和各关节角度的前提下，求解末端位姿A0,6。通过机器人的D-H参数求出A0,1,A1,2,A2,3,A3,4,A4,5,A5,6等6个齐次变换矩阵，推导出喷胶机器人末端胶枪位姿如式(1)所示。

A0,6=A0,1·A1,2·A2,3·A3,4·A4,5·A5,6

(1)

式中：A0,6为坐标系0到坐标系6的位姿变换矩阵，A0,1,A1,2,A2,3,A3,4,A4,5,A5,6同理。

逆向运动学是在已知连杆参数和胶枪末端位置和方向的前提下，确定机器人各个关节的角度变量。但逆解求出喷胶机器人的位姿往往不止一组解，因此需要根据实际应用中的结构约束和角度约束，选取一组最优解作为喷胶机器人在此位置处的逆解。

综上可知，正向运动学的结果唯一且容易获取，而逆向运动学的结果往往不是唯一且求解过程复杂。机器人逆运动学求解具有重要意义，其目的是将分配给末端胶枪在操作空间的运动变换为相应关节空间的运动。本文采用给定目标路径点，通过运动学逆解求得各个关节的运动。

1.2 4-5-6多项式插值曲线

针对SR7CL型机器人，在同样的关节数据和约束条件下，分别采用3次多项式插值、3-5-3多项式插值和4-5-6多项式插值算法对关节1进行轨迹规划，得到的关节角度、角速度和角加速度曲线如图2所示。

图2 不同算法获得关节1的角度、角速度、角加速度曲线

由图2可知：3次多项式插值使机器人运动出现加速度突变;3-5-3多项式插值在加速度曲线的拐点处出现尖角，表明加速度变化过快出现运动冲击，使机器人运动不平稳或不连续；4-5-6多项式插值的角度、角速度和角加速度曲线起伏小且十分光滑。由此表明，相较于3次多项式插值和3-5-3多项式插值，4-5-6多项式插值在轨迹规划方面更具优势。因此，本文采用4-5-6多项式插值，其可保证机器人在初始位置和最终位置的速度和加速度都为零以及运动过程中不产生速度和加速度突变。

根据4-5-6分段多项式插值将轨迹分为3段路径，分别为从初始点位置(ps)到第一个中间点位置(pi)，从第一个中间点位置(pi)到第二个中间点位置(pi+1)，从第二个中间点位置(pi+1)到目标点位置(pf)。从初始点位置到第一个中间点位置的4阶轨迹方程如式(2)所示。

ps,i(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4

(2)

式中：a0,a1, …,a4为多项式常数系数，可根据式(3)确定。

(3)

式中：t1为从初始点位置运动到第一个中间点位置的时间。

在确定第一段轨迹时间函数后，第二段轨迹从第一个中间点位置到第二个中间点位置，其时间函数采用5阶轨迹方程表示，如式(4)所示。

pi,i+1(t)=b0+b1t+b2t2+b3t3+b4t4+b5t5

(4)

式中：b0,b1, …,b5为多项式常数系数，可根据式(5)确定。

(5)

式中：t2为从初始点位置运动到第二个中间点位置的时间。

同样在确定第二段轨迹的时间函数后，第三段轨迹从第二个中间点位置到目标点位置，其时间函数采用6阶轨迹方程表示，如式(6)所示。

pi+1,f(t)=c0+c1t+c2t2+c3t3+

c4t4+c5t5+c6t6

(6)

式中：c0,c1, …,c6为多项式常数系数，可根据式(7)确定。

(7)

式中：t3为从初始点位置运动到目标点位置的时间。

根据机器人各关节角度及其在各点的约束，求解出各关节角度多项式插值曲线的系数，即得到每段轨迹中各关节角度的插值函数。

鞋底喷胶轨迹由多段4-5-6多项式插值轨迹构成，每段4-5-6插值轨迹间均光滑连接，但会存在第一段4-5-6插值轨迹和最后一段4-5-6插值轨迹之间多出一个插值点的情况。由于4-5-6分段多项式插值的不对称性，为保证两段轨迹光滑过渡，根据最后一段4-5-6插值轨迹的最后一个点向第一段插值轨迹的第一个点推导，即由式(3)(5)或式(5)(7)求解。式(3)和(5)对应4-5-6多项式插值轨迹的4-5多项式段，式(5)和(7)对应4-5-6多项式插值轨迹的5-6多项式段，由图2可知，4-5-6多项式角度、角速度和角加速度曲线的光滑性和连续性都较好，但4次多项式相比6次多项式计算更简单，因此采用式(3)(5)对应的4-5多项式作为过渡插值轨迹。

2 喷胶机器人轨迹优化算法

2.1 确定目标函数

本文的研究对象为6自由度工业喷胶机器人，已知操作空间中的一系列点，通过运动学逆解，将空间中的系列点转化为关节空间中的系列点。基于关节空间的系列点，对运行时间和冲击进行多目标轨迹规划。可以预期，如果轨迹足够平滑，能够避免过大的机械振动，并尽可能减少运行时间，以在约束的情况下提高生产率。约束方面主要考虑运动学约束，包括角速度、角加速度和角加加速度的约束。

以时间和冲击作为优化目标，建立的目标函数分别如式(8)和(9)所示。

S1=min(Tf)

(8)

(9)

运动学约束为

(10)

这两个目标函数的目的是相反的。如果减少运行时间会导致较大的冲击波动和喷胶机器人不平滑的运动；如果减小喷胶机器人的冲击会导致喷胶机器人完成任务的运行时间增加，降低喷胶机器人的工作效率。

2.2 MOPSO算法轨迹优化

粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)算法[10]最基础的概念来源于对鸟类捕食行为的模仿，粒子群中的每一个粒子都代表一个问题的可能解，通过粒子个体的简单行为，群体内的信息得到共享从而实现问题的智能化求解。PSO算法操作简单、收敛速度快、控制参数少，在众多领域得到了广泛应用。MOPSO[11-12]将只能用在单目标优化中的PSO应用在多目标优化上，利用带惯性因子的MOPSO算法解决多目标优化问题。

设第i(i=1,2,…,N)个粒子在d维搜索空间中的初始化位置和速度分别为Xi=(x1,x2,…,xd)和Vi=(v1,v2,…,vd)，则在第t代时，第i个粒子位置和速度的更新分别如式(11)和(12)所示。

Vid(t+1)=ωVid(t)+C1r1(pb,i(t)-Xid(t))+

C2r2(gb,i(t)-Xid(t))

(11)

Xid(t+1)=Xid(t)+Vid(t+1)

(12)

式中：pb,i为粒子i的个体极值，即粒子i到过的最佳位置；gb,i为粒子的群体极值，即粒子群到过的最佳位置；ω为权重因子，通过ω对算法的全局寻优性能和局部寻优性能进行调节；C1、C2分别为粒子的个体学习因子和社会学习因子；r1、r2为区间(0,1)上的随机数。

实现多目标的机器人轨迹规划优化算法的流程图如图3所示。

图3 MOPSO算法流程图

3 轨迹优化算法仿真与结果分析

3.1 机器人模型建立

在6自由度SR7CL型喷胶机器人上验证采用第2节中的MOPSO算法进行轨迹规划的可行性，构建机器人各关节的D-H坐标系，其参数如表1所示。

在MATLAB软件中通过robotics toolbox工具箱对机器人建模，将表1中的D-H参数导入程序中，定义连杆属性和关节属性，建立的喷胶机器人模型如图4所示。

图4 喷胶机器人D-H模型

3.2 仿真参数设置

在鞋底喷胶过程中，鞋头部分曲率较大，耗时较长，导致机器人运行时间长、运动冲击大等问题，因此选取鞋头部分(637.4,-133.8,105.5),(329.5,416.9,1 002.2),(193.1,13.6,875.4),(473.5,652.7,435.1)4个点进行轨迹优化，将任务空间中的4个点经过逆运动学求解转换为关节空间位置如表2所示。表3为各关节的运动学约束，各个关节的轨迹曲线为4-5-6多项式，指定初始位置和目标点的速度和加速度为0。MOPSO算法中个人学习因子和社会学习因子分别设为1和2，权重因子为0.5，最大进化代数为100，档案库大小为100。

表2 关节位置序列

表3 关节约束条件

3.3 优化结果及分析

根据目标函数S1和S2，通过MOPSO优化算法得到机器人运动时间和冲击之间综合优化的帕累托(Pareto)最优解前沿图如图5所示。

图5 Pareto最优解分布图

由图5可知:时间和冲击两者的最优性能相互制约，不能同时达到最优性能。越靠近A点，轨迹的时间性能越好；越靠近B点，轨迹的冲击性能越好；点C为采用加权目标函数的方法求出的最优解。将目标函数进行归一化权重处理，得归一化权重函数为

fc=ωtS1/N1+ωjS2/N2

(13)

式中：fc为最小化求得的最优解；ωt、ωj为目标函数的权重因子；N1、N2为调整因子。

根据时间和冲击对轨迹规划的影响以及为了调整各目标函数值在同一范围，取ωt=ωj=0.5，N1=30，N2=50，根据目标权重函数求出最优解S1=15.642 s、S2=6.626(°)/s3，S1、S2分别代表运行鞋头选取部分所需时间和运动冲击，S1、S2的值是考虑两者都达到最优情况下的最优解，如图5的C点，优化后的时间为15.642 s，其对应时间序列为[5.878, 5.330, 4.434]s，即4-5-6多项插值中各段轨迹运动所需要的时间。根据式(2)、(4)和(6)的轨迹方程和表3的约束条件，通过MOPSO算法进行最优化求解，获得机器人各关节的角度、角速度、角加速度和角加加速度曲线如图6所示，图6的横坐标即为C点的时间最优解。将机器人6个关节的运行时间和冲击两个目标优化前后进行对比,如表4所示。

图6 关节最优轨迹曲线

表4 多目标优化算法结果

由图6可知：采用4-5-6插值曲线，机器人关节的角度、角速度、角加速度和角加加速度连续，并且角速度和角加速度在启停时刻都为0。与文献[1]中7次非均匀B样条曲线相比，本文算法保证了机器人运动的连续性和平稳性，还可以指定起始速度和加速度。

针对提出的多目标粒子群优化算法进行仿真验证，结果表明优化后的运行时间为[5.878, 5.330, 4.434]s，冲击为6.626(°)/s3，比文献[13]中的时间优化结果[14.015, 14.317, 13.952]s减少了[8.137, 8.987, 9.518]s，比文献[14]中的优化结果[9.030, 6.690, 7.210]s减少了[3.152, 1.360, 2.776]s，达到了缩短运动时间和运动平稳的目的，验证了算法的有效性。

MOPSO算法的优化结果可为图7所示机器人试验平台的二次开发提供依据。

图7 机器人试验平台

4 结 语

以6自由度喷胶机器人为研究对象，采用4-5-6多项式曲线来规划机器人各关节运动轨迹，保证了机器人关节角加速度和角加加速度的连续性，降低了机器人运动过程中的冲击。利用MOPSO优化算法，以时间-冲击为目标进行优化，对得到的最优运动轨迹进行仿真验证，结果表明，相比改进的遗传算法，机器人的运行时间得到了缩短且运动平稳，验证了基于MOPSO算法进行时间-冲击最优轨迹规划的可行性。