基于动态符号距离的模糊多属性决策方法

熊 艳，叶国菊，刘 尉，赵大方，李 宁

(1.河海大学 理学院，江苏 南京 211100；2.湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002；3.火箭军装备部驻南京地区第二军事代表室，江苏 南京 210006)

ZADEH[1]在1965年引进了一型模糊集，通过隶属函数对模糊语义进行定量分析，是处理不确定性问题的重要方法。近年来，一型模糊集理论得到了进一步发展，如二型模糊集、直觉模糊集、犹豫模糊集等。二型模糊集[2]采用主、次隶属度函数，解决了一型模糊集的局限性，但是二型模糊集计算复杂，故MENDEL等[3]在二型模糊集的基础上提出区间二型模糊集。区间二型模糊集是一类特殊的二型模糊集，更加灵活且能体现人们对同一事物的不同评价，在决策、控制、图像处理等领域[4-5]都有广泛应用。

在多属性决策问题中，常常使用距离对方案进行排序。其中，符号距离与传统意义上的距离不同，计算简便且能反映点与点之间的位置关系。YAO等[6]基于分解定理提出了模糊数上的符号距离。王坚强[7]对模糊数上的符号距离进行了推广，考虑了决策者的风险态度。李贺等[8]研究了犹豫模糊集上的符号距离。GONG等[9]结合区间二型梯形模糊数上的连续加权欧式距离，提出了一些新的符号距离。CHEN[10]定义了区间二型梯形模糊数上的符号距离，但是WANG等[11]指出在一定条件下，应用该符号距离很难得到两个区间二型梯形模糊数的合理关系。此外，在区间二型梯形模糊数中，对于符号距离的确定没有考虑到决策者的风险态度。因此，笔者根据决策者的风险态度定义了区间二型梯形模糊数上的动态符号距离，该距离可以更好地区分两个不同的区间二型梯形模糊数的大小。利用动态符号距离求解属性权重，为解决区间二型梯形模糊多属性决策问题提供了新思路，并结合实例验证该决策方法的合理性。

1 基本概念

定义4设A∈F2(X)，A的α截集为：

[A]α=

(1)

定义5基于α截集，假设A∈F2(X)，则区间二型梯形模糊数上的符号距离为：

(2)

2 区间二型梯形模糊数上的动态符号距离

(3)

当λ=0.5时，表示决策者是中立的；当0≤λ<0.5时，表示决策者是悲观的；当0.5<λ≤1时，表示决策者是乐观的。

图1 A、B的动态符号距离值

设A、B∈F2(X)，λ∈[0,1]，动态符号距离运算性质为：

3 基于动态符号距离的区间二型梯形模糊多属性决策方法

(1)决策者给出方案ai(1≤i≤m)关于属性cj(1≤j≤n)的评价值aij，对评价值aij进行规范化处理得到评价矩阵Y=(a′ij)m×n：

(4)

其中，(aij)C为aij的补集。

(2)当属性权重完全未知时，根据动态符号距离的序关系，以及方案的综合评价值越大方案越好的思想[13]，建立以下模型求解属性权重：

(5)

(6)

求解可得：

(7)

对wj进行单位化处理后可得属性权重w′j为：

(8)

(3)根据式(9)计算方案ai的加权动态符号距离：

(9)

4 实例验证

4.1 情景分析

参考文献[14]中的投资问题：某人准备从a1、a2、a3、a4、a55个项目中选择1个进行投资。专家从资金损失的风险(c1)、资金易受通货膨胀修正的影响(c2)、利润(c3)、资金流动性(c4)4个方面对项目进行评估，其中c3、c4为效益型属性，c1、c2为成本型属性。专家使用文献[10]中的语言术语(如表1所示)进行评价，得到5个项目的评价值，如表2所示。

表1 语言术语及其对应的区间二型梯形模糊数

(1)对表2中的评价值进行规范化处理得到评价矩阵Y：

(2)根据前文属性权重计算方法，得到不同风险态度下的属性权重，如图2所示。由图2可知，属性权重wj随风险态度λ的变化而变化，其中w1随λ的增大而减小，w2随λ的增大而增大，w3、w4的变化幅度较小。

图2 不同风险态度下的属性权重值

图3 5个项目的加权动态符号距离

(4)依据加权动态符号距离值对5个项目进行排序。当λ∈[0,0.695)，即决策者在悲观、中立时5个项目的排序为a3≻a4≻a5≻a2≻a1；当λ∈(0.695,1]，即决策者在乐观时，5个项目的排序为a3≻a4≻a2≻a5≻a1。综上可知，在不同风险态度下a3都是最优投资项目。

4.2 对比分析

4.2.1 与区间二型梯形模糊数上其他方法的对比

文献[14]运用TOPSIS方法进行排序，文献[15]运用可能度进行排序。将笔者所提方法与文献[14]、文献[15]进行对比，结果如表3所示。由表3可知，文献[14]考虑了决策者的风险态度，决策者在乐观时的排序结果与所提方法的排序结果一致。但是文献[14]中属性权重已知，而所提方法是假设属性权重完全未知，根据方案的综合评价值构建模型求解属性权重。因此，所提方法在属性权重的确定上更加客观。此外，所提方法的属性权重会随风险态度的变化而变化，可以体现决策者的心理。文献[15]的排序结果与所提方法中决策者在乐观时的排序结果一致，最优投资项目都是a3。但是文献[15]没有考虑决策者的风险态度，而所提方法的排序结果可以体现决策者的风险态度对决策结果的影响。

表3 区间二型梯形模糊数上不同方法的对比结果

4.2.2 与语言变量其他转化方法的对比

表4 语言变量不同转化方法下的决策结果

5 结论

(1)提出了区间二型梯形模糊数上的动态符号距离，对模糊数距离进行改进。与区间二型梯形模糊数中现有的符号距离相比，引入了决策者的风险态度，对于不确定覆盖域中的信息考虑得更全面。

(2)在动态符号距离的基础上，提出了解决区间二型梯形模糊多属性决策问题的方法。然而，该方法的应用主要是单人决策。在群决策中，由于多个决策者的风险态度不同，对决策结果有一定影响。因此，下一步可将所提方法应用到群决策及其他决策模型中，并解决相应的决策问题。

(3)在多属性决策问题中，语言评价值的转化形式多种多样，所提方法主要针对区间二型梯形模糊数，未来可将该方法推广到其他模糊环境中。