利用空间余弦定理求解异面直线的夹角

福建省南平市高级中学(353000)江智如 吴丽萍 黄丽群

1 问题提出

在高中数学学习阶段,正余弦定理是重要的工具知识[1],有着广泛的应用,常用于探索三角形边长与角度关系,求解相关实际问题,能够培养学生直观想象素养、数学建模素养和数学运算素养.在空间几何中,异面直线所成角是基础知识,在近年高考与各类模拟考中多有出现,它能考查考生空间想象能力和运算求解能力,考生可以利用坐标法与平移法解答相关问题.笔者在教学实践过程中,发现把平面余弦定理推广到空间形式,借助空间四边形,将异面直线所成角转化为三棱锥中棱长与角度关系,可有效解决此类问题.为此,本文以近年高考试题为载体,探究利用空间余弦定理求解异面直线所成角的解题策略.

2 空间余弦定理

引理(空间形式的余弦定理)如图1,在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,设异面直线AD与BC的所成角为θ,那么.

图1

3 方法探究

根据空间余弦定理的“形”,应用公式的关键是构造空间四边形,即把异面直线转化为三棱锥的对棱,将三棱锥中各棱长代入空间余弦定理公式求得结果.而三棱锥的各棱长,常借助长方体或三角形,通过勾股定理和平面余弦定理确定.解题步骤归纳为:(I)构造三棱锥;(II)求出各棱长;(III)代入公式求出余弦值;即“一锥,二长,三公式”[2].

4 典例应用

图2

评析本试题以正方体为载体,把直线PB与AD1转化成三棱锥P -ABD1中的对棱,依托正方体各棱的位置关系,利用勾股定理求出三棱锥各棱的长度,再根据空间余弦定理公式得到结果.考查考生化归与转化思想,空间想象能力和运算求解能力.需要考生理解空间余弦定理中各棱的对应关系,熟练掌握公式的表达式,从而能够快速地求解出结果.渗透直观想象和数学运算素养的培养.

评析本试题与题1 类似,依托长方体设置问题,考生容易求出各棱的长度,然后把异面直线嵌入三棱锥B1- ADD1,直接运用空间余弦定理公式得到结果.要求考生具有较高的空间想象能力、推理论证能力和扎实的运算求解能力[3].

例2(2015年高考浙江卷理科第13 题)如图3,三棱锥A - BCD中,AB=AC=BD=CD= 3,AD=BC= 2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成角的余弦值为____.

图3

评析本试题常规思路是利用中位线的平行关系,把异面直线转化为相交直线,然后根据三角形中边角关系的余弦定理可以得到结果.由于题设中三棱锥A-BCD各棱的长度已知,且图形对称,所以考虑在三棱锥A-MNC中直接利用空间余弦定理公式求解,可以减轻考生的思维难度,提高解答的有效性及准确性.不仅能够体现试题的选拔与区分功能,而且能够启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质,促进学生实践能力和创新意识的发展[1],提高学生学习数学的兴趣,提升数学核心素养.

例3(2017年高考全国II 卷理科第10 题)已知直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ABC= 120°,AB= 2,BC=CC1= 1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )

解析如图4,连接AC1,在ΔABC中应用余弦定理得到故AC1=在三棱锥A - BB1C1中,2,设直线AB1与BC1所成的角为θ,则从而)由空间余弦定理得,,因此选C.

图4

评析本试题常规思路可以通过坐标法求解,解题的关键是三棱柱各点的坐标,然后根据向量夹角公式求解.而空间余弦定理公式法,只需把异面直线AB1与BC1嵌入到三棱锥A-BB1C1中,分别求得各棱的长度,再套用公式求得结果,提高考生解答的准确率.符合考生的学习实际,给考生提供多种分析问题和解决问题的思路,引导考生善于抓住异面直线所成角的本质,在剖析问题本质的基础上,追求简洁的解题方式,有利于考查考生的逻辑分析能力、构图想象素养及运算求解能力[4].

5 综合应用

例4(2015年高考四川卷理科第14 题)如图5,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面相互垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC中点,设异面直线EM与AF所成角为θ,则cosθ的最大值为____.

图5

评析本试题的难点是三棱锥M -AEF中各边的长度,考生依据题设条件,通过勾股定理分别求得各棱的长度,然后利用空间余弦定理公式求得到关于t的函数,再由函数的单调性求解出最大值.难度适中,解题方法源于教材,又高于教材,体现试题的选拔功能,结合函数单调性及最值等信息,为考生综合应用所学数学知识创造条件,拓展考生解题思路,提高分析问题的水平,提升考生数学运算素养和数学建模素养.

6 结语

本文通过探究空间余弦定理的解题策略,旨在借他山之石,为不同思维能力层次的考生提供不同的思路,为考生展示能力、发挥水平提供广阔的平台.在日常教学过程中,教师可以根据学生的认知水平,从教材中发掘相关背景知识,设计典型的“精致练习”[5],训练学生熟练掌握空间余弦定理,提高学生学习数学的兴趣,让学生在“润物细无声”[6]中学好数学,促进数学学科素养的提升.