圆锥曲线中弦长问题的解法探究

王慧敏

摘要：圆锥曲线是高中数学的一个重难点，也是每年高考必考的热门知识点。而弦长问题则是圆锥曲线中的经典问题，也是高考的热门考点。弦长问题的解题过程中存在一些通用的技巧，可以适用于大部分弦长问题问题解答。本文将通过一道高考改编题来探究这类问题的常用解法.

关键词：弦长公式，焦半径公式，点差法，伸缩变换

题目：（2021年高考数学全国卷Ⅱ20（2））已知椭圆C的方程为x^2/3+y^2=1，右焦点F（√2，0），设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x^2+y^2=1（x>0）相切.当M，N，F三点共线时，证明：|MN|=√3.

解法1：（利用弦长公式）

设M（x_1，y_1 ）  ，N（x_2，y_2 ）直线MN的方程为x=my+√2，则圆心O（0，0）到直线MN的距离为d=√2/√（m^2+1）=1，解得m^2=1，联立方程组{█（x=my+√2@x^2/3+y^2=1）┤，〖4y〗^2+2√2 my-1=0，由弦长公式可得|MN|=√（1+m^2 ）∙√（8m^2+16）/4=√2×√24/4=√3，所以结论成立。

点评：对于大多数学生来说，圆锥曲线综合性问题虽思路清晰，容易切入，但常常受制于繁琐而复杂的运算，解法1是先联立方程组，再利用弦长公式，这是解决弦长问题的基本方法，运用这种方法的最大问题就是计算问题，由于运算量太大，导致选用解法1的学生大多数不能得出正确结果.但相对于利用两点间的距离公式来说计算量稍小。

解法2：（利用焦半径公式）

同解法1得x_1+x_2=-√2/2 m^2+2√2，由焦半径公式可得

|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2a-e（x_1+x_2 ）=2√3-√6/3 （x_1+x_2 ）=2√3-√6/3 （-√2/2 m^2+2√2）=√3，所以结论成立。

点评：解法2利用椭圆的焦半径来解决，相对解法1来说运算量大大减少，并且容易理解。

解法3：（利用点差法）

由解法1可知m^2=1，设M（x_1，y_1 ）  ，N（x_2，y_2 ）直线MN的方程为x=my+√2.则{█（〖x_1〗^2/3+〖y_1〗^2=1@〖x_2〗^2/3+〖y_2〗^2=1）┤，两式相减，得1/m∙（y_1+y_2）/（x_1+x_2 ）=-1/3 ①.又因为MN过点F（√2，0），所以1/m=（（y_1+y_2）/2）/（（x_1+x_2）/2-√2），即y_1+y_2=1/m （x_1+x_2-2√2）②，将②代入①得x_1+x_2=（6√2）/（m^2+3）.由焦半径公式得|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2√3-√6/3 （-√2/2 m^2+2√2）=√3，所以结论成立;

点评：点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的基本方法，用点差法处理弦长问题，省略掉了联立方程组这一步骤，计算简洁，事半功倍.但值得注意的是，若弦不过焦点，则点差法失效[1].

解法4：（利用伸缩变換）

令x^'=x/√3，y^'=y，则直线MN的方程x=my+√2变为√3 x^'=my^'+√2，m变为m^'=m/√3，椭圆C的轨迹方程变为〖x^'〗^2+〖y^'〗^2=1，则|M^' N^' |=√（1+〖m^'〗^2 ）∙|y_1^'-y_2^' |=√（1+m^2/3）∙|y_1^'-y_2^' |.又因为|M^' N^' |=2√（R^2-d^2 ）=√2，由解法1可知m^2=1，故√（1+1/3）∙|y_1^'-y_2^' |=√2，即|y_1^'-y_2^' |=|y_1-y_2 |=√6/2，所以|MN|=√（1+m^2 ）∙|y_1-y_2 |=√3，所以结论成立;

点评：解法4利用椭圆与圆之间的伸缩变换构造一个新的圆的方程，利用转化的思想来解决问题.虽然这并不是最简单的解法，但是它可以让学生学会将知识融会贯通.

小结：在解决圆锥曲线的弦长相关问题时，可采用弦长公式、焦半径公式、点差法和伸缩变换的方法来解决。一题多解可以使学生开阔视野，把学过的知识和方法融会贯通，使用自如。

参考文献：

[1]聂文喜.从一道高考题谈圆锥曲线焦点弦长问题的求解策略[J].数理化学习（高中版），2016（12）：40-42.