矩阵的通俗解释

梁铎强 刘芳远

摘要：本文尝试通俗解释矩阵，让矩阵学习者能够抓住学习的主线。

关键词：矩阵;通俗解释

1 前言

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西的用途。为了改变这种情况，本文研究了如何通俗解释矩阵。

瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。” [1]

矩阵是大部分本科生都要接触的数学，也是老三高的难点之一。矩阵对他们非常重要，为此通俗解释矩阵对于矩阵学习也是很有必要的，。

2 正文

我们在课堂上进行了尝试，发现效果不错。具体教法如下。

1） 空间是一个集合。我们最熟悉的是欧式空间，我们常用的是欧式空间的高维推广得出的空间，即希尔伯特空间。空间（space），这个概念是现代数学的最重要的概念，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间;赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空間。总之，空间有很多种。某种空间的数学定义，大致都是：存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。

2） 1、2、3维的欧式空间分别是直线、面、体。详细说来，0维，是一个点;1维，是点的无限重叠，即一条线;2维，是线的无限重叠，即面;3维，是面的无限重叠，是立体;

3） 对于空间上的每一个点，都可以看做是一个向量。比如1这个点，可以看作是起点为原点，终点为1的一个（有方向，有长度）向量。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向;

4） 我们假设线就是y=0的面，这么说的话，原点就是0到0的向量，用[0，0;0，0]表示。1点就是0到1的向量，用[0，0;1，0]表示。-1点就是0到-1的向量，用[0，0;-1，0]表示;

5） 我们发现，点就是向量，向量用矩阵表示，这种表示方法是唯一的，所以得出第一个解决，向量可以用矩阵表示。

6） 空间中物质的位置变化，可以看做是从一个点到另一个点的变换。换句话说，我们把物质从1点移到-1点。那么，[0，0;1，0]才能变成[0，0;-1，0]，我们尝试矩阵的乘法，发现[-1，0;0，-1]左乘[0，0;1，0]，就得到[0，0;-1，0]。那么这个操作就相当于[-1，0;0，-1]。我们可以看出，操作就是运算，运算就是算符，算符可以用矩阵表示[2]。

7） 我们再考察2、3等这些点，显然，用矩阵表示就是[0，0;2，0]，[0，0;3，0]等。它们和[0，0;1，0]很像啊，没错，我们可以把[0，0;1，0]看做是最基本的东西（我们暂且称为基），那么向量就可以以这个基为基础，乘以一个矩阵便可以得出整个向量的矩阵形式。比如[0，0;2，0]，我们可以以[0，0;1，0]为基，左乘一个矩阵[2，0;0，2]。所以我们说，坐标基可以用矩阵表示[3]。

8） 综上，向量、算符、坐标基都可以用矩阵表示。天啊，整个数学不就是一个矩阵的本征方程么？是的，所有数学就是一个本征方程。

9） 我们从直线扩展到面，我们会发现，一个向量A进行了一个操作S，之后再进行整个操作的逆操作S^（-1），那相当啥也没做，用SA S^（-1）=B表示。那么我们说A和B的操作是等效的（我们称S是相似变换矩阵），但是A和B的值不同，是不是出事了？没事，A和B的值不同，但A和B的本征值是一样的，你随便一个向量C（当然维数要匹配），你会发现，AC=BC。

10） AC=BC？不可能！对的，你说的没错。但你只要把AC和BC都用同一基E表示的时候，它们的左乘矩阵是一样的。

11） 那么，AC和BC都用同一任意表示的时候，情况是否一样呢？答案是显而易见的。因为其他任意基D和基E的关系显然是唯一的，当然这个唯一是说它的左乘矩阵的本征值一样[4]。

12） 因此我们可以得出结论，同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是一样的，所以本征值相同[5]。

13） 后面，我们还会知道，矩阵的本征值之和等于矩阵迹，本征值之积等于矩阵行列式。群用矩阵表示，群的很多特点和矩阵的特征标有关[6]。

按这条思路讲解矩阵，学生反应不错。

3 结论

本文对矩阵进行了通俗解释。通过简单的实例也可以让复杂的矩阵理论变得通俗易懂。通过通俗解释，学生更容易入门，对线性代数的兴趣更加持久。

参考文献

[1]北京大学数学系儿何与代数教研室代数小组.高等代数.第二版，北京：高等教育出版社，1988

[2]蒋尔雄，高坤敏，足景琨.线性代数.北京：人民教育出版社，1978吕炯兴.矩阵论.北京：航空工业出版社，1993

[3]孙继广.矩阵扰动分析.北京：科学出版社，1987

[4]陈公宁.矩阵理论与应用.北京;高等教育出版社，1990

[5]罗家洪.矩阵分析引论.广州：华南理工大学出版社，1992

[6]周树荃，戴华.代数特征值反问题.郑州：河南科学技术出版社，1991

（2019年度广西工业职业技术学院教科研项目《以技能比赛为导向的建筑室内设计专业课程体系建设研究》

项目合同编号：桂工业院科研2019015KY015）

（2021年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目《虚拟现实技术在广西少数民族室内设计中的应用研究》

项目合同编号：2021KY1264）