基于改进集的参数集值优化问题解集映射的稳定性*

孟旭东

南昌航空大学科技学院，江西 共青城 332020

在可行集和目标函数扰动下关于最优化问题解集的稳定性是一项具有重大意义的研究课题。到目前为止，许多作者研究了此类问题[1-10]。当目标函数和可行集被扰动或两者均被扰动时，得到了有效解映射和多函数极小点的相关稳定性结果。在有限维欧氏空间中，Cheng等[11]利用线性标量化方法得到了参数弱向量变分不等式解集映射的上半连续性和下半连续性。据文献［11］的思想，Gong[12]分析了参数弱向量平衡问题解集映射的连续性。运用标量化技巧，Gong 等[13]讨论了广义参数系统解集映射的下半连续性。在没有一致紧性假设的实局部凸Hausdorff 拓扑线性空间中，Chen等[14]建立了强向量平衡问题解集映射的连续性定理。在不具映射单调性和（近似）解集映射信息的情况下，文献［15-16］利用线性标量化方法和稠密性结果分析了（近似）解集映射的半连续性。

最近，在有限维空间中，Chicco 等[17]引入了改进集E-最优点的概念，并讨论了E-最优点的存在性。随后，Gutiérrez 等[18]将E-最优点的概念推广到一般序偶线性空间，并通过标量化方法得到了向量优化问题E-最优解的充要条件。在Wijmann 意义下的集合序列的收敛性下，Zhao 和Yang 在文献［19-20］中利用改进集得到了扰动下的统一稳定性结果，并给出了向量优化问题的E-Benson 真有效解的标量化定理。Oppezzi 和Rossi 在文献［21-22］中讨论了E-最优解存在的最优条件和稳定性。Xu 等[23]利用u-下序映射的半连续性，得到了参数集合优化问题最小解集映射的连续性。在目标映射非紧性的基本条件下，借助水平映射的连续性，Khoshkhabar-amiranloo[24]讨论了集合优化问题最小解集映射的稳定性。在适当的条件下，Mao 等[25]利用改进集建立了参数集合优化问题解集映射的上半连续性，Hausdorff 上半连续性和下半连续性。孟旭东等［26］在拓扑向量空间中研究了双参广义集值优化问题解集映射连续的最优性条件。孟旭东等［27］借助向量函数的凸性和单调性，应用分析方法建立了参数强向量原始与对偶均衡问题解映射Lipschitz连续的充分性定理。邵重阳等[28]讨论了一类新的参数广义向量拟均衡问题解映射的稳定性，获得了解映射Berge 连续性的充分必要条件。Peng 等[29]建立了具改进集的弱广义对称Ky Fan 不等式问题解映射的上半连续性和下半连续性的标量化定理。众所周知，集值映射的C-Hausdorff 连续性弱于Berge 连续性。在C-Hausdorff 连续性条件下，Xu等[30]建立了参数集值向量优化问题最小解集映射的半连续性定理。

受文献［23-25，30］研究的启发，在C-Hausdorff 连续性基本假设下，利用水平映射方法研究具改进集的参数集值优化问题解集映射的稳定性。

1 背景知识

本文设X，Y，Λ，Ω 为实赋范线性空间，C⊆Y为闭凸点锥且int(C) ≠∅. 据文献［17］知，非空集合B⊆Y关于锥C的上综合集u-compr(B)定义为u-compr(B) ≔B+C. 非空集合E⊆Y称为上综合集，如果u-compr(E) =E. 非空上综合集E⊆Y称为关于锥C的改进集，如果0 ∉E. 非空集合A⊆Y称为E-闭集，如果A+E为闭集。

记问题（PSVOP）关于改进集E的l-最小解的全体为SF，E(λ，μ).

本文总假设对每个(λ，μ) ∈Λ × Ω，SF，E(λ，μ) ≠∅，讨论SF，E在Λ × Ω上的稳定性。

定义5[12-14,31]设T1，T2为拓扑空间，M：T1→2T2{∅}为非空集值映射，给定x0∈T1，则

（i）M在x0处Berge 上半连续当且仅当对M(x0)的任何邻域W⊆T2，存在x0的邻域U⊆T1，使得对任意x∈U，有M(x) ⊆W.

（ii）M在x0处Berge 下半连续当且仅当对任何开集W⊆T2，满足M(x0)∩W≠∅，存在x0的邻域U⊆T1，使得对任意x∈U，有M(x) ∩W≠∅.

（iii）M在T1上Berge 上（下）半连续当且仅当M在T1上的每一点处皆为Berge 上（下）半连续。此时，M在T1上Berge连续，如果M在T1上既Berge上半连续又Berge下半连续。

（iv）M在x0处Hausdorff 上半连续当且仅当对0 ∈T1的任何邻域W⊆T2，存在x0的邻域U⊆T1，使得对任意x∈U，有M(x) ⊆M(x0)+W.

（v）M在x0处Hausdorff 下半连续当且仅当对0 ∈T1的任何邻域W⊆T2，存在x0的邻域U⊆T1，使得对任意x∈U，有M(x0)⊆M(x) +W.

（vi）M在T1上Hausdorff上（下）半连续当且仅当M在T1上的每一点处皆为Hausdorff上（下）半连续。此时，M在T1上为Hausdorff连续，如果M在T1上既Hausdorff上半连续又Hausdorff下半连续。

（vii）M在x0处C-Hausdorff上半连续当且仅当对0 ∈T1的任何邻域W⊆T2，存在x0的邻域U⊆T1，使得对任意x∈U，有M(x) ⊆M(x0)+W+C.

（viii）M在x0处C-Hausdorff 下半连续当且仅当对0 ∈T1的任何邻域W⊆T2，存在x0的邻域U⊆T1，使得对任意x∈U，有M(x0)⊆M(x) +W+C.

（ix）M在T1上C-Hausdorff 上（下）半连续当且仅当M在T1上的每一点处皆为C-Hausdorff 上（下）半连续。此时，M在T1上为C-Hausdorff连续，如果M在T1上既C-Hausdorff上半连续又C-Hausdorff下半连续。注1 在定义5中，M在T1上具有Berge上（下）半连续性，通常简称为M在T1上具有上（下）半连续性。注2 据定义5易知，若M在T1上Hausdorff连续，则M在T1上C-Hausdorff连续，由文献［31］知，反之不然。

引理4[30]设T1，T2为拓扑空间，M：T1→2T2{∅}为非空集值映射，若M在T1上连续，则M在T1上C-Hausdorff连续。

注3 若M在T1上C-Hausdorff连续，但M在T1上不一定连续，反例见文献［30］中的例2.1和例2.2。引理5[1,28]设T1，T2为拓扑空间，M：T1→2T2{∅}为非空集值映射，给定x0∈T1，则

（i）M在x0处下半连续当且仅当对任何序列{xn}⊆T1，xn→x0，及任意y0∈M(x0)，存在yn∈M(xn)，使得yn→y0.

（ii）对任意x0∈T1，M(x0)为紧集，则M在x0处上半连续当且仅当对任何序列{xn}⊆T1，xn→x0，及任何序列yn∈M(xn)，存在y0∈M(x0)，及子列{ynk}⊆{yn}，使得ynk→y0.

引理6[31]设T1，T2为拓扑空间，M：T1→2T2{∅}为非空集值映射，给定x0∈T1，则

（i）若M在x0处上半连续，则M在x0处Hausdorff 上半连续。反之，若M在x0处Hausdorff 上半连续且M(x0)为紧集，则M在x0处上半连续。

（ii）若M在x0处Hausdorff 下半连续，则M在x0处下半连续。反之，若M在x0处下半连续且M(x0)为紧集，则M在x0处Hausdorff下半连续。

2 问题（PSVOP）解集的连续性

首先给出问题（PSVOP）的水平集值映射LF，E的上半连续性和下半连续性。

定理1 设F：X× Λ × Ω →2Y{∅}，K：Ω →2X{∅}为给定非空集值映射，给定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，对任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠∅，如果以下条件成立：

（i）K在μ0处上半连续且K(μ0)为紧集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上C-Hausdorff连续；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上为E-闭的；

则LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上为上半连续的。

证明 用反证法。假设LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上不是上半连续的，则存在y0∈K(μ0)，使得LF，E在(y0，λ0，μ0)处不是上半连续的。从而存在LF，E(y0，λ0，μ0)的邻域V0⊆X，对(y0，λ0，μ0)的任何邻域Vy0×Vλ0×Vμ0⊆X× Λ × Ω，存在(y，λ，μ) ∈Vy0×Vλ0×Vμ0∩DL F，E，使得

由式（1）知，存在{(yn，λn，μn)}⊆DL F，E满足(yn，λn，μn) →(y0，λ0，μ0)，使得LF，E(yn，λn，μn) ⊄V0，故存在xn∈LF，E(yn，λn，μn)，使得

由xn∈LF，E(yn，λn，μn)知，xn∈K(μn)，且

由K(μ0)为紧集且K在μ0处具有上半连续性，据引理5的（ii）知，存在x0∈K(μ0)，及子列{xnk}⊆{xn}，使得xnk→x0，则必有x0∈LF，E(y0，λ0，μ0).

事实上，对任意ε＞0，e∈int(C)，int(C) -ε⋅e作为0 ∈Y的邻域，由F在(x0，λ0，μ0)处是C-Hausdorff上半连续的知，当n充分大时，有

故x0∈LF，E(y0，λ0，μ0). 再由xnk→x0及以上的邻域V0知，存在K0∈N，当k≥K0时，有xnk∈V0，这与式（2）矛盾。所以，LF，E在M(μ0)×{λ0}×{μ0}上是上半连续的。

定理2 设F：X× Λ × Ω →2Y{∅}，K：Ω →2X{∅}为给定非空集值映射，给定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，对任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠∅，如果以下条件成立

（i）K在μ0处连续且K(μ0)为紧凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上C-Hausdorff连续；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上为E-闭的；

（iv）F(⋅，λ0，μ0)在K(μ0)上为严格E-拟凸的；则LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上为下半连续的。

证明 用反证法。假设LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上不是下半连续的，则存在y0∈K(μ0)，使得LF，E在(y0，λ0，μ0)处不是下半连续的。据已知条件，LF，E(y0，λ0，μ0)≠∅，不失一般性，存在x1∈LF，E(y0，λ0，μ0)，0 ∈X的邻域V0⊆X，及{(yn，λn，μn)}⊆DLF，E，满足(yn，λn，μn)→(y0，λ0，μ0)，使得

这与式（8）矛盾。

情形2 若LF，E(y0，λ0，μ0)为不是单点集。

不失一般性， 假设x1，x2∈LF，E(y0，λ0，μ0) 且x1≠x2， 有F(y0，λ0，μ0)⊆F(x1，λ0，μ0)+E且F(y0，λ0，μ0)⊆F(x2，λ0，μ0)+E. 由F(⋅，λ0，μ0)在K(μ0)上为严格E-拟凸的且K(μ0)为凸集，则对任意t∈(0，1)，有

取n0= max{N0，N2}，当n≥n0时，由式（12）、式（13）和式（16）知

这与式（8）矛盾，故LF，E在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上为下半连续的。

定理3 设F：X× Λ × Ω →2Y{∅}，K：Ω →2X{∅}为给定非空集值映射，给定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，对任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠∅，如果以下条件成立：

（i）K在μ0处连续且K(μ0)为紧凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上为C-Hausdorff连续的；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上为E-闭的；

（iv）F(⋅，λ0，μ0)在K(μ0)上为严格E-拟凸的；则SF，E在(λ0，μ0)处连续，且SF，E(λ0，μ0)为紧闭集。

证明

第1步 证明SF，E在(λ0，μ0)处上半连续。

第2步 证明SF，E(λ0，μ0)为紧闭集。

任取xn∈SF，E(λn，μn)，xn→x0. 由xn∈K(μn)及条件（i）知，x0∈K(μ0). 类似于第1步的论证过程可知x0∈SF，E(λ0，μ0)，故SF，E(λ0，μ0)为闭集。注意到条件（i）易知SF，E(λ0，μ0)为紧集，且SF，E(λ0，μ0)⊆K(μ0).

第3步 证明SF，E在(λ0，μ0)处下半连续。

由(xn，λn，μn) →(x，λ0，μ0) 知，存在N∈N，当n≥N时，有(xn，λn，μn)∈Wx0×Wλ0×Wμ0. 再由F(xn，λn，μn)⊆F(xn，λn，μn)+E知，xn∈LF，E(xn，λn，μn)， 则LF，E(xn，λn，μn)≠∅. 由式（19）知，W0∩LF，E(xn，λn，μn)≠∅. 设xˉn∈W0∩LF，E(xn，λn，μn)，则xˉn∈W0，xˉn∈K(μn)，且

这与xn∈SF，E(λn，μn)矛盾，故xˉn∈SF，E(λn，μn). 又由xˉn∈W0∩LF，E(xn，λn，μn)，则xˉn∈W0∩SF，E(λn，μn)，这与式（20）矛盾，故SF，E在(λ0，μ0)处是下半连续的。

据定理3及引理6得

定理4 设F：X× Λ × Ω →2Y{∅}，K：Ω →2X{∅}为给定非空集值映射，给定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，对任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠∅，若以下条件成立

（i）K在μ0处连续且K(μ0)为紧凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上为C-Hausdorff连续的；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上为E-闭的；

（iv）F(⋅，λ0，μ0)在K(μ0)上为严格E-拟凸的；

则SF，E在(λ0，μ0)处Hausdorff连续，且SF，E(λ0，μ0)为紧闭集。

据定理3及引理4得

定理5 设F：X× Λ × Ω →2Y{∅}，K：Ω →2X{∅}为给定非空集值映射，给定(λ0，μ0)∈Λ × Ω，对任意y∈K(μ0)，LF，E(y，λ0，μ0)≠∅，若以下条件成立：

（i）K在μ0处连续且K(μ0)为紧凸集；

（ii）F在K(μ0)×{λ0}×{μ0}上为C-Hausdorff连续的；

（iii）F在K(Ω) × Λ × Ω上为E-闭的；

（iv）F(⋅，λ0，μ0)在K(μ0)上为严格E-拟凸的；则SF，E在(λ0，μ0)处C-Hausdorff连续，且SF，E(λ0，μ0)为紧闭集。