基于折合劳动成本视角的工作时间优化及影响因素研究

马卫民， 邵伟,2， 季晓东

(1.同济大学 经济与管理学院,上海 200092; 2.上海商学院 工商管理学院,上海 201400; 3.上海工程技术大学 管理学院,上海 201620)

0 引言

工作时间问题是伴随工业化生产而诞生的决策问题，对社会发展有着深远的影响。随着产业结构和生产模式的改变，居家办公、远程协作等新型工作环境出现，传统工作时间决策方法逐渐失效。现阶段我国存在相当突出的劳动者工作时间长、过劳现象泛滥问题，科学的工作时间优化可以部分解决这一问题，从而提高生产效率、促进工人全面发展，也是产业智能化转型和实现高质量、可持续发展的现实需求。

研究者从数个不同角度支持了缩短工作时间对于提高生产过程质量[1]、改善员工健康状况[2]、提高社会生活水平[3]、降低失业率和减少碳排放[4]等方面的积极意义，但研究思路都是将其作为一个静态因素，对于工作时间的定量优化问题，即“给予多长的工作时间才能使现状有所改善”这一问题的研究相对匮乏。

工作时间需要进行优化的观点来源于科学管理理论认识到了工人工作效率随持续劳动时间的动态变化[5]。如果在工作时间的持续时长和工人整体工作效率之间寻找一个平衡位点，就可以实现对工作产出、劳动成本等特定关注目标的优化。早期工作时间优化研究倾向于以不同形式的疲劳积累和工作效率恢复函数去调整工作时间，实现直接产出最大化。基于上述思路产生了单次工作间断恢复模型[6]、单一模式工作-休息周期循环平衡模型[7]、基于有限时间段的工作-休息周期平衡模型[8]和基于不可分割休息周期假设的工作-休息周期平衡模型[9]等。同一时期，也有基于劳动成本的考量，以给付工资的边际收益最大化作为工作时间优化目标的模型研究[10]。

随着近年来管理科学的发展，对工作时间进行优化的研究依然沿袭上述思路稳步进行，对问题的分析趋于精细化。Ma等[11]基于局内不确定决策理论提出了在工人的工作效率函数可变情况下的工作-休息周期优化模型，突破了传统理论只能以单一循环模式对工作时间进行决策的缺陷，并证明了该优化方法可以适用于复杂工作效率函数[12]。Baucells等[13]基于受到指数式疲劳积累影响的工作效率函数提出有限时域下的工作时间优化模型，研究了不同情景下疲劳和生产率的最佳管理方式，重新审视了合理的休息周期在减轻疲劳方面的作用。上述研究依然是以劳动产出作为优化目标的，Castex等[14]基于劳动力的供给与成本假设，提出了基于工人选择偏好的工作时间决策模型，虽然采用传统优化方法，但是其将劳动力视为一种可进行再生产的商品的观点十分独特。这些研究方法在本文研究思路的形成中均起到了积极的启发作用。

本文将经济优化决策应用于对劳动力的研究，将工作过程中的疲劳积累与休息活动对劳动产出造成的损失折合为劳动成本，并以该成本最小化为目标，分别构建确定时域和不确定时域两种情形下的工作时间优化模型，将理论[11～14]融会贯通，从综合角度对工人的工作时间开展进一步优化。本文的研究丰富了劳动科学理论体系，成果可以指导现实工作制度改进，提高企业运作效率和劳动利用率，避免过劳现象发生，兼具理论价值与实践价值。

1 确定时域下工作时间等分模型

工人连续工作时间的长度及其造成的疲劳因素对工人的工作效率有着直接的影响。随着持续工作时间的延长，工人在单位时间内的产出呈逐渐下降的趋势。当效率下降到一个不再适合继续工作的阈值时，工人需要停止工作进行休息以使其体力和精神得到恢复，然后投入到下一个工作周期。如何安排每个工作周期的长度来实现总时间内的成本最小化是本文需要解决的核心问题。

1.1 因素分析和变量设置

工作效率函数：工人工作效率随着持续工作时间的延长而下降。本文采用线性估计下的工作效率函数形式，表达式为P(t)=β-θt。其中，θ称为劳动强度系数，代表工人劳动力随着时间下降的速率。该系数与劳动任务耗费的体力息息相关，劳动强度越大的工人，其工作效率下降得也越快。设该系数的取值范围为[0,1]区间，取值为1代表极端的劳动情况如举重运动员，在这种情况下工人在一次动作之后就会失去绝大部分的劳动力而必须强制进行休息，无法持续施展动作。

工作-休息周期：工人进行生产活动的时间称为工作周期，周期时长用表示。工人进行休息，不参与生产活动的时间称为休息周期。假设工人的连续休息时间不得小于某一个固定的时间长度，否则无法恢复工作状态，称为必要休息时间，其时长用r表示。工作周期与休息周期交替排列，决策需要给出每一个工作周期的长度，即“在哪个时间点结束工作”是解决工作时间问题的主要目标。

折合劳动成本：包括疲劳成本和休息成本。由疲劳积累而未能转变为劳动产出的部分损失称为疲劳成本，Cj为疲劳成本系数。而安排工人休息需要为生产过程的中断设置一个等价的成本，称为休息成本，用Cr表示，后续灵敏度分析时采用其分解形式C0+λr。其中，C0称作休息程序成本，一旦进入休息周期就会产生，与生产中断的时间长度无关；λ为单位时间内耽误生产造成的损失，称为休息延误成本率。

1.2 模型假设

在变量设置的基础上，工作时间模型还需做出以下基本假设：

假设1需要用来恢复劳动力的必要休息时间r恒定，不会随时间的持续而改变。因此所有休息周期的长度均相等，休息成本也都相同。

假设2劳动强度系数θ是恒定的。在一个工作周期开始时，工人工作效率处于最大值，之后随工人储备劳动力的消耗而逐渐下降。当工作效率以劳动强度系数为速率下降到某一阈值时结束工作，进入到休息周期。

假设3工人在工作过程中每消耗1单位劳动力，就产生1单位的疲劳成本，故总疲劳成本与其工作效率降低的程度呈正比。在线性估计工作效率函数下，当劳动时间为t时，在这段时间上的平均劳动成本等于t时刻瞬时劳动成本的二分之一。

假设4总时间的划分方案一旦确定，工人的工作周期与休息周期规划便可以持续进行，即通过模型求得的最优解总在可行解集之内。

工作时间问题可采用如下模型化的方法描述：给定一段已知的时间长度T，决策者将这段总时间划分为n个工作周期及n-1个休息周期，为体现有效利用时间原则，不出现工作时间的浪费，截止时间T出现在第n个工作周期的结尾处，n个工作周期长度分别用w1,w2,…,wn表示，n-1个休息周期长度相等，均为必要休息时间r。时间T内，决策者的总成本为n个工作周期的疲劳成本和n-1个休息周期的休息成本之和。已知每一工作周期的长度都不允许超过工人劳动力极限的情况下，求w1,w2,…,wn的分配策略，使得总折合成本最小。

1.3 等分模型的建立与求解

根据基本假设和模型描述，存在如下公式:

(1)

公式(1)为工作时间规划模型需要满足的主要约束条件之一，以此为基础上构建工作时间问题的混合二次-整数规划模型如下:

wi≥0,i=1,2,…,n

n∈N+

(2)

模型(2)需要同时求得每个工作周期的长度wi及需划分的周期总个数n，其决策变量w1,w2,…,wn维度是不确定的，需要首先确定的取值，以将决策变量的维度确定下来，然后再求每个工作周期的长度。通过观察目标函数和约束条件的表达式特点，可利用均值不等式中多个数的均方根下限为算数平均数的充要条件，得到经济工作时间模型的最优解出现在处w1=w2=w3=…=wn的一般性结论，设每个的取值统一为：

(3)

将模型(2)简化为只含单一变量n的非线性整数规划，由此构建等分模型如下：

s.t.wi≥0,i=1,2,…,n

n∈N+

(4)

然后通过构造一阶差分方程ΔCn=Cn+1-Cn=0对该模型进行求解。

命题1当T的取值满足如下判别式时，取n*为整数规划的最优解。

(5)

确定了工作周期的划分个数n*可根据公式(3)确定最佳工作时间w*得最小劳动成本。至此，有限时间T问题的基本模型求解完毕。

等分模型旨在解决确定时域范围内的工作时间问题，该模型适合用于排程性较强的单工人工作环境，即决策前便得到整个工作过程的全部信息。但对于居家办公族、自由职业者等排程相对灵活的工作者，由于输入变量T不能在劳动过程开始前就完全确定，该模型无法适用。因此，我们放宽部分假设，解除确定时域限制，研究时间未知(任意时刻终止劳动过程)情形下的工作时间优化。

2 不确定时域下工作时间拓展模型

2.1 目标函数转化

通过利用MATLAB对模型(2)进行数值仿真(参数：θ=0.2,r=10,Cr=100,Cf=100)，最佳工作时间w*随总时间变动趋势如图1所示。

如图1所示，若T增加时没有引起由不等式(5)所决定的n*取值变化，则w*随之增长；而当T的增加使得n*增长一个周期的时候，由于插入了新的周期，w*立即跳变到一个较低的取值，如此往复波动。而随着n*取值的不断增长，新增加一个周期的变化使得w*的波动被稀释到更多的周期内，因此波动幅度越来越小，呈现振荡收敛的趋势，最终趋向于一个稳定值。这种周期性振荡收敛的特性对于研究工作时间问题至关重要。

由于T→+∞时一定有Cn→+∞。此时再以minCn作为工作时间问题的优化目标已经失去了数学意义，因此需要构建一个新的目标函数来处理此种情形。定理1从数学推理上证明了采用Cn/T作为新目标函数的合理性。

定理1当求解确定时域工作时间问题时，使总成本Cn(T)最小化的策略与使单位时间成本Cn(T)/T最小化的策略等价。

根据定理1，单位时间总成本Cn/T为目标函数与以总成本为目标函数可以求得相同的工作周期个数n*和最佳工作时间w*。因此在无限时域或不确定时域情形下可将目标函数进行解析延拓，使用单位时间总成本最小化的目标函数进行求解。

2.2 拓展模型的建立与求解

首先，将目标函数进行解析延拓，使用单位时间总成本最小化的目标函数进行求解：

(6)

称公式(6)中的极限为TC。由确定时域下模型的解可知，每个工作-休息周期的长度分别相等，可设每个循环周期的长度均为w+r。每个周期的成本包括：休息成本Cr和疲劳成本θCfw2/2。单位时间成本为上述两部分成本之和与w+r之比。

综上分析，构建不确定时域下工作时间问题拓展模型：

s.t.w≥0

(7)

通过利用非线性优化理论对拓展模型(7)进行求解，可得如下性质。

命题2在不确定时域范围下，拓展模型的最佳工作时间和单位时间总成本的最优解分别为：

(8)

(9)

2.3 模型结果分析

由于缺少输入变量，不确定时域的工作时间问题不能使用确定时域的基础模型进行求解，而拓展模型的求解不涉及总时间T的取值，因此可将拓展模型的最佳工作时间作为确定时域下工作时间问题的通用策略，为工人安排工作周期与休息周期。

根据图2可得到如下结论：

(1)在T

(3)在T∈[Tn,Tn+1],确定时域模型下的总成本C*是连续单调增函数，不确定时域模型下的总成本C也是单调增函数。若C0=0，即不存在休息程序成本时函数C也连续；但由于C0的存在，在每次进入到一个新的休息周期时，函数C立即产生一个跳跃间断点，幅度为C0。

定理2假设对于一个确定时域工作时间问题实例，采用基础模型得到的最佳工作时间为w*，对应的总成本为C*；采用拓展模型的通用策略计算得到的工作时间为w，对应的总成本为C；且其在一个工作周期与一个休息周期所组成的循环周期上的成本记为C1。则对于任意总时间T的取值，不等式C≤C*+C1均成立。

根据定理2，在T∈[Tn,Tn+1]区间上有两个不等式C*(T)≥C*(Tn)和C(T)≤C*(Tn+1)成立，联合可得：

(10)

不等式(10)对任意的n均成立，其右侧恰好为w+r拓展模型在一个长度为的周期上的总折合成本，即两种模型的总成本差始终在一个有限的常数范围内。因此，在总时间T取任意值的情况下，采取拓展模型求得的均是工作时间问题的近似最优解，从而解决了不确定时域的工作时间问题。

3 灵敏度分析和数值算例

3.1 劳动强度系数

劳动强度对工作时间的影响较为直接，公式(8)已明确了劳动强度系数与最佳工作时间呈近似反比关系。接下来采用灵敏度分析的方法来研究劳动强度系数对最佳工作时间与单位时间总成本的具体影响，将公式(8)、(9)分别对劳动强度系数进行求导，可得:

(11)

灵敏度分析的结果显示，劳动强度系数与最佳工作时间负相关，与单位时间总成本正相关。设计算例验证模型的有效性，取r=10,C0=20,λ=8,Cf=4，利用MATLAB对劳动强度系数的敏感性进行演示，图3和图4给出了劳动强度系数在0～1之间变化时对最佳工作时间和各项成本的影响。

根据图3可以看到，最佳工作时间随着劳动强度系数的增加而减小，当θ<0.1时，最佳工作时间的下降速率较快，说明此阶段劳动强度系数的变化对最佳工作时长具有显著影响，而随着劳动强度系数的不断增大，工作时间下降的趋势变缓。由图4可知，单位时间休息成本随劳动强度系数的增加而增大，这是由于最佳工作时间变短，导致平均到单个周期的休息成本贡献上升；单位时间疲劳成本随着劳动强度呈现先增大后减小的趋势，在θ=0.1附近时达到疲劳成本的最大值，这说明最佳工作时间w下降的影响开始超过劳动强度系数θ增加的影响，从而导致疲劳成本拐点的出现；即使在θ>0.1阶段，休息成本的增加幅度也高于疲劳成本的下降，因此，单位时间总成本与劳动强度系数呈正相关关系。

3.2 必要休息时间

首先采用分解形式C0+λr对公式(8)和(9)变形，然后对必要休息时间r求导可得

(12)

下面以具体数据进行算例分析以验证模型的有效性。基于上述灵敏度判别式的分析，我们设置如下两组算例：Λ≥0情形，取θ=0.2,C0=20,λ=8,Cf=4。Λ<0，取θ=0.2,C0=20,λ=5,Cf=4。图5和图6展示了必要休息时间在4～20之间变化的情况下，采用拓展模型得到的最佳工作时间与单位时间总成本的变化情况。

图5和图6直观反映了灵敏度函数分析的结果。判别式Λ≥0时，随着必要休息时间的增加，工人的最佳工作时间也相应延长，单位时间总成本也随之增加。此种情形下休息成本的产生主要跟休息时间长短有关，而安排一次休息所产生的休息程序成本相对较少。这对一个企业而言是一种良性管理。而Λ<0时，最佳工作时间和单位成本均随着必要休息时间的增加而降低，此时休息成本的产生主要来自于每次安排休息时的休息程序成本，说明每次的工作暂停都会产生一笔较大的管理费用，或者是疲劳成本系数很高导致工人始终处于休息不足的状态，这对企业来说是不利的，应尽力避免这种状况的出现。

3.3 各项成本系数

按照相同的求解思路，分别对休息程序成本C0、休息延误成本率和疲劳成本系数Cf进行灵敏度分析，并设置相应算例进行数值仿真可以得到如下结论：休息程序成本和休息延误成本率均与最佳工作时间和单位时间总成本均呈正相关关系；而疲劳成本系数与最佳工作时间呈负相关关系，与单位时间总成本呈正相关关系。

根据计算公式E=|ΔA/ΔF|，(其中E为观测变量A对参数F的敏感度系数；ΔF为参数F的变化率；ΔA为参数F变化时A的变化率)，分别计算最佳工作时间对劳动强度系数、必要休息时间、疲劳成本系数、休息程序成本和休息延误成本率的敏感度系数。在前述数值算例设置θ=0.2,r=10,C0=20,λ=8,Cf=4基础上将以上5个参数分别变化5%、10%和15%，计算得到各参数的敏感性结果如表1所示：

表1 参数敏感性分析结果

由表1可得：最佳工作时间对劳动强度系数和疲劳成本系数的敏感性系数均相等，且敏感性为最高；对休息延误成本率的敏感度性次之；对休息程序成本的敏感性系数较低，而对必要休息时间这一参数的敏感性最弱。这说明单纯的依靠延长或缩短必要休息时间来调整最佳工作时长的方法是不可行的，为提高整体工作效率，实现劳动折合成本最小化的目标，则主要需要通过降低劳动强度系数、疲劳成本系数和休息延误成本率的途径来实现。

4 研究结论及启示

4.1 研究结论

从变动趋势来看，最佳工作时间随着劳动强度系数和疲劳成本系数的增加而缩短；而随着休息程序成本和休息延误成本率的增加而延长；折合劳动成本则均随着上述四项因素的增加而升高；必要休息时间对工作周期决策的影响则取决于各项成本系数的构成比例，在休息程序成本占比较低的良性管理环境下，必要休息时间的缩短会导致最佳工作时间相应缩短，折合劳动成本降低；反之，必要休息时间的缩短反而会导致最佳工作时间的延长，折合劳动成本升高。

从影响程度来看，最佳工作时间对劳动强度系数和疲劳成本系数的敏感性相等且为最高；对休息延误成本率的敏感度性次之；对休息程序成本的敏感性较弱，而对必要休息时间这一参数的敏感性最低，这与“多休息多工作”、“周末补觉恢复精力”等传统印象中的提高效率的措施并不相符。说明以必要休息时间长短为代表的工人个体差距对于决定最佳工作时间的决策影响较小，而以劳动强度系数为代表的行业岗位性质差距对最佳工作时间有决定性作用。

4.2 管理启示

(1)劳动强度系数代表着工人所从事工作对其体力与脑力的负荷，即劳动力的消耗速率，该系数与工作时间负相关意味着改善劳动环境，降低工人的劳动负担有助于延长工人的持续劳动，降低劳动成本。相关行业或企业管理者通过技术与管理创新来降低劳动强度是提高劳动力利用率的最有效手段。

(2)疲劳成本系数代表着工人消耗单位劳动力的价值，该系数与工作时间负相关意味着随着劳动价值的提高，缩短工作时间是更具经济效益的策略，这与最大化利用高价值工人的劳动时间的直觉相反；程序成本无论在直接还是通过必要休息时间间接的反馈上都会使劳动成本增加，这意味着一个工作时间制度相对固定、变动手续繁琐的企业比具有灵活变动机制的同行要承担更多的劳动成本，从而从理论上解释了弹性工作制实现降本增效的原因。

(3)承认劳动者个体差异性，对必要休息时间不同的劳动者考虑适用不同的工作时间安排，不要过多消耗劳动者的体力精力。根据工作性质的不同，企业应该创新工作-休息良性循环机制，而不仅仅将时间作为工作量的唯一考量。适度的工作时间不仅有利于降低折合劳动成本，促进企业的可持续发展，也对于缓解当前企业员工过度劳动所造成的劳资双方利益冲突与管理矛盾的现象具有一定的积极意义。

(4)因不同行业的工作方式和劳动强度有所差别，现行标准工作时间制度难以适应所有行业的用工需求。可通过劳资双方的集体协商实现工作时间的弹性化，双方对工作时长和加班问题做出变通约定。与此同时，在有关工作时间的行业性集体协议的达成方面，政府应当充分发挥其推动作用以确保工时制度弹性化的实施。

4.3 局限与展望

出于理论建立初期阐明问题和证明定理的简洁性需要，本文采用了基础的线性工作效率函数。现实中工人的工作效率变化更倾向于二次衰减或指数衰减的函数形式。开展复杂函数情形下的工作时间优化研究是未来工作的主要方向。另外，工作时间问题是一个极具现实意义的多学科共同决策问题，作为理论研究，本文对于工作时间问题的探讨局限于数学模型与仿真层面，相关优化方法与策略还需经历实践的检验。