平均值的一组新不等式

刘小宁

(武汉软件工程职业学院 湖北 武汉：430205)

1 一组优美的平均值不等式

设ai与t为正数，n为不小于2的自然数，当i=1，2，…，n时，记An、Gn与Hn分别为n个正数ai的算术平均值、几何平均值与调和平均值，即

文中构建了如下一组3个结构新颖且形式优美的平均值不等式

(1)

等号当且仅当

时成立。

(2)

等号当且仅当

时成立。

(3)

等号当且仅当

时成立。

实际上，平均值不等式(1)～(3)也是3个关于正数ai个数n的单调递增函数。

在算术平均值An，几何平均值Gn与调和平均值Hn之间，还存在大家熟悉的算术——几何——调和平均值不等式[1]

An≥Gn≥Hn

(4)

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。

式(1)～式(3)是含参数t的平均值不等式，而平均值不等式(4)不含参数t。

2 证明

为证明结构新颖且形式优美的平均值不等式(1)～(3)，先证明如下定理。

定理：若x与t为正数，则

(5)

等号当且仅当t=xn-1时成立。

证明：设y与m为正数，作辅助函数

R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn

则

由于y与m为正数，

1)若y=m，则R(y)=0；

2)若x

则

3)若y>m，有y-m>0，且

故

以上分析表明，当y与m为正数时，恒有

R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn≥0

在上式中作变换

可得到定理即式(5)，等号当且仅当y=m即t=xn-1时成立。定理证毕。

不等式(1)的证明：令定理中

注意到

不等式(2)的证明：令定理中

注意到

不等式(3)的证明：令定理中

注意到

以及

an=n·An-(n-1)·An-1

不等式(4)的证明：取不等式(1)中t=1，可得算术——几何平均值不等式：An≥Gn；取不等式(2)中t=1，可得几何——调和平均值不等式：Gn≥Hn；综合这两个不等式，可得到算术——几何——调和平均值不等式(4)，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。不等式(4)证毕。

3 应用

例1：记关于n个正数ai的算术平均值An，几何平均值Gn与调和平均值Hn的均差函数分别为

F1(n)=n(An-Gn)

(6)

(7)

F3(n)=n(An-Hn)

(8)

则F1(n)，F2(n)与F3(n)分别是n的单调递增函数。

证明：取不等式(1)～(3)中t=1，可分别得到

F1(n)≥F1(n-1)

F2(n)≥F2(n-1)

F3(n)≥F3(n-1)

故F1(n)，F2(n)与F3(n)分别是n的递增函数。

因为例1中关于式(6)为递增函数的结论是Rado不等式[2-6]，所以式(7)与式(8)为递增函数的结论可视为Rado不等式的推广[7]。

例2：记关于n个正数ai的算术平均值An，几何平均值Gn与调和平均值Hn的均商函数分别为

(9)

(10)

(11)

则f1(n)，f2(n)与f3(n)分别是n的单调递增函数。

证明：1)取不等式(1)中

整理可得到：f1(n)≥f1(n-1)

故例2中式(9)是n的单调递增函数。

2)取不等式(2)中

整理可得到：f2(n)≥f2(n-1)

故例2中式(10)是n的单调递增函数。

3)取不等式(3)中

整理可得t到：f3(n)≥f3(n-1)

故例2中式(11)是n的单调递增函数。

因为例2中关于式(9)为递增函数的结论是Popovic不等式[2-6]，所以式(10)与式(11)为递增函数的结论可视为Popovic不等式的推广[7]。

例3：设r为不超过n的正整数，即r=1，…，n时，则

An≥q1(r)·Gn≥Gn≥q2(r)·Hn≥Hn

An≥q3(r)·Hn

(12)

其中

(13)

证明：当r为非负整数且r=1，…，n时，

1)因为例2中式(9)是单调递增函数，有

由算术——几何平均值不等式即不等式(4)的最左项与中间项，可知式(12)中第一式的最左项与中间项，以及式(13)的q1(r)成立。

2)因为例2中式(10)是单调递增函数，有

由几何——调和平均值不等式即不等式(4)中的中间项与最左右项，可知式(12)第一式的中间项与最左项，以及式(13)的q2(r)成立。

3)因为例2中式(11)是单调递增函数，有

由算术——几何——调和平均值不等式即不等式(4)的最左项与最右项，可知式(12)中第二式，以及式(13)的q3(r)成立。

例3表明，在n个正数ai的算术平均值An与几何平均值Gn之间，以及在几何平均值Gn与调和平均值Hn之间可分别加细，例3中的q1(r)与q2(r)，分别是An与Gn之间，Gn与Hn之间的加细系数；在An与Hn之间，可用系数q3(r)进行加细。

根据式(6)与式(7)递增性的证明过程，可得到

例4：设r为不超过n的正整数，且r=1，…，n-2时，则

显然，例4是算术——几何——调和平均值不等式加细的又一种形式。