网络画板在多边形的内角和教学中的应用

卢怡 李玉叶

摘 要：网络画板是我国自主研发的一款国内领先的互联网动态数学工具。本文利用网络画板对中学数学教学多边形的内角和探究环节进行设计，为学生提供直观的认识，通俗易懂的知识以及从多重角度拓展学生对内角和的认识，借助网络画板加深了学生对内角和的理解。作为动态数学工具的网络画板的合理开发有助于数学教师教学艺术的升华，希望本文可以为广大一线教师提供教学帮助。

关键词：网络画板;中学教学;多边形的内角和

中图分类号：G642  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2022）03-0078-03

1 引言

网络画板在数学教学发挥着引领教师专业成长的作用。教师以课程目标为出发点，将数学课程与网络画板的整合为课堂带来新鲜的血液，达到高效率的教学，不仅能够让自己在专业领域有进一步提升，同时提高自身科研能力。在多媒体领域，网络教学软件的身影是随处可见的。网络画板在众多网络教学软件中脱颖而出，是以简约大方、灵动有趣、方便快捷深深吸引师生关注，比起呈现静态的文字符号，动态的图形变化会使教学表现形式上更具有优势，往往在教学中带来强劲的视觉冲击力和灵巧的节奏感，起到事半功倍的效果。网络画板也是为探究教学提供了几何规律，有助于帮助广大教师突破几何教学重点与难点。它的出现比起教师一味枯燥地讲授更有助于激发学生思维的内在潜力，丰富其想象力和创造力，更有助于学生的体验，促使其善于猜想、分析问题、解决问题、把握问题实质与规律。本文充分利用网络画板的优势对于几何图形教学板块中多边形内角和的教学进行论述。

2 网络画板简述

网络画板是张景中院士的团队奉献给广大一线数学老师的新一代数学学科工具软件，是让数学更简单、更有趣的专业数学教学工具软件。全面继承超级画板领先的动态几何技术、智能推理技术、符号运算和人机交互技术等核心[1]，是国内唯一适应互联网和移动互联网环境下的数学工具软件平台。网络画板主要有三个特点：（1）资源共享。基本功能可以实现免费在任何终端和平台上使用。（2）高效工具。不用自创作课件也能使用的网络画板是方便学习、方便传播、功能全面的一款画板工具。（3）动态展示。动态地进行几何教学，不仅可呈现可视化效果，创造可视化现象，还能极大吸引学生的眼球，激发其内在好奇心和驱动力，去探索几何知识的发生发展过程。

3 网络画板在多边形内角和的应用

3.1 多边形的内角和相关概念

多边形的定义：一般由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫作n边形，又称多边形[2]。

多边形的内角：多边形相领两边组成的角是多边形的内角[2]。

多边形内角和公式：（n-2）×180°，n为多边形边数。

3.2 网络画板在多边形的内角和教学中的应用研究

（1）回顾旧知。

让学生简单的复习巩固三角形的定义后，让同学们根据三角形的定义类比多边形的定义，引入本节课需要讲解的课题——多边形的内角和。

（2）探究四边形的内角和。

提出问题：对于一个三角形而言，内角和为180°。那么，四边形呢？常见的四边形就拿正方形来说，正方形比三角形多了一条边和一个角，它的内角和又是多少呢？学生讨论后由已知的三角形内角和为180°，快速推出未知的四边形的内角和。教师可以借助网络画板，画一个四边形，然后从一个顶点出发，作四边形的对角线，可以得到两个三角形，因为三角形内角和为180°，所以四边形的内角和为2×180°，如图1所示。

（3）探究五边形的内角和。

提出问题：多边形的边数继续增加，从四边形增加为五边形，若要求出五边形的内角和，能否采用同樣的方法将它求出来吗？可以借助网络画板画出五边形，然后再从一顶点出发，五边形被分成3个三角形，如图2所示。学生讨论后将未知的五边形的内角和转化为已知的3个三角形的内角和，就可得出五边形内角和为3×180°。

（4）探究六边形的内角和。

提出问题：通过上述方法，同学们算一算六边形的内角和又等于多少呢？在老师的引导下，学生选取六边形上任意一顶点，从该顶点出发，连接与该顶点不相邻的点，观察可得六边形被分成了4个三角形，因为每个三角形内角和都是180°，所以可得出六边形内角和为4×180°，同样网络画板展示如图3所示。

传统式教学模式与信息技术的融合较少，通常在黑板上绘图，侧重于多边形内角和知识的传授，忽略了学生的学习兴趣，导致学生无法经历、体验、探索多边形内角和知识的发生和创造的过程。如果借助网络画板，在一定程度上弥补了几何教学中的不足，既不费精力，又节省了不少宝贵时间，不仅帮助学生循序渐近认识多边形，探究多边形的内角和，还将学生的注意力集中在可视化的动画上。如图4所示，拖动n的取值条或是按下播放按键，当n值从3取到n时（n为多边形边数），随着多边形边数的增加，多边形被添加的辅助线也在随之增加，其内角和也随之增大。教师拖动n的值从4到6给复杂的多边形知识点注入活力，让学生不再用静止的眼光看待多边形的内角和公式的由来，更加关注多边形的内角和相关的概念、求解的思想方法以及公式的理解，升华了学生对于几何图形的感性认识，实现传统教学手段难以达到的效果。

（5）探究多边形内角和规律。

提出问题：你能从刚才探究的过程中发现多边形的内角和与边数存在何种关系吗？你能证明你发现的结论吗？学生通过前面的探究得到了四边形、五边形、六边形的内角和分别为2×180°、3×180°、4×180°，它能够顺理成章地推导出n边形的内角和等于（n-2）×180°。证明过程：任取n边形上某一个顶点，从该点出发可以添加（n-3）条对角线，这些对角线可以将n边形分割为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180°。

教师再用网络画板的动态演示，如图5所示。利用数学思想中的转化思想，即多边形问题？圳三角形问题，从常规三角形到非常规的多边形的逐步转变，这样的设计顺应学生的认识规律。教师用网络画板观察推理得出结果。如表1所示，揭示n边形内角和公式，同步呈现多边形随边数增加不断变化的图形。有一句老话是这样说的：“我听见了，我又忘记了;我看见了，我就记住了;我做了，我就理解了。”学生借助网路画板对多边形内角和的直观呈现更容易分析得出，任何一个复杂的多边形都是可由几个或多个三角形构成，这是构成多边形的基本元素。在使用网络画板的多边形的内角和的探究性学习中，学生很容易从特殊的例子归纳总结，有助于培养学生的逻辑推理能力。

（6）多边形内角和的拓展。

提出问题：除了选取在多边形的顶点上来分割多边形，推导出多边形内角和的探究方法外，从选取分割多边形出发点的位置，是否还存在其他分割多边形的方法呢？师生在互相保持沉默的深度思考后，进行小组之间的交流互动，讲解各自的思路，教师再用网络画板对学生探讨的情况进行展示。

由图6和图7可见，多边形内角和公式的证明方法除了本文最初探究的“多边形内角和”的证明方法以外，还存在其他证明方法。

方法一：从n边形内的一个点出发，可以作出n条线，将n边形分成n个三角形，n边形的内角和等于180°×n-360°，即n边形的内角和等于（n-2）×180°。

方法二：从n边形外的一个点出发，可以作出n条线，将n边形分成（n-1）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-1）-180°，即n边形的内角和等于（n-2）×180°。

相比让学生死记硬背记忆公式，不如借助网络画板设置开放性、探索性的拓展环节，由学生自己去通过其他途径寻求多边形内角和的解答，体验知识的形成过程，记忆才会更加清晰不易忘记。这种将网络画板与教学相融合的开放式创新型教学模式，不仅有利于教师成为创造型教师，不再是墨守陈规的教书匠，還有利于调动学生内在学习动机，敢于提出独树一帜的新见解、学会创造性地思考，培养其发散性思维。可见网络画板不仅仅是老师的得力助手，更是学生的良师益友[4]。

4 结论

现代信息技术随着时代的前进和社会发展，对数学教学提出了新的机遇和挑战，数学教育成为一个开放的系统，这是个难得的机遇。为了培养在德、智、体、美全面发展的中国特色社会主义现代化的接班人和建设者，数学教育需要与时俱进，实现数学教育现代化。网络画板对墨守陈规式教学和教师使用信息工具的能力发起了挑战。网络画板的使用有待于广大的教师积极探索[5]。

多边形的内角和具有一定的规律，多边形内角和随着图形的变化而发生变化的问题，研究多边形内角和的问题为网络画板提供了用武之地，让学生通过猜想和探索进行验证，一步一个脚印地踏入更深层次的学习中，最终构建知识体系得出结论。网络画板虽不能代替几何教学，但它能够在几何教学过程中起到透过现象看本质的辅助作用，能够揭示多边形内角和的内在性质。网络画板的使用更多是以学生为本，让学生注意到事物的局部还不忘整体，将相关知识之间的内在联系呈现出来。它将公式、表格、图像在一起呈现，实现了数学知识的多种表达，更有利于操作过程中发现其相关性，加强学生对多边形内角和知识的深层次加工。

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参考文献：

〔1〕刘重庆.网络画板与数学教学的融合与创新[J].中小学数字化教学，2022，6（02）：48-52.

〔2〕王琼.基于网络画板的初中数学教学[J].新课程教学（电子版），2021，9（15）：146-147.

〔3〕章剑，邵虹.深度学习：培养学生的审辩式思维——以《多边形的内角和》一课为例[J].小学教学设计，2021，22（14）：10-12.

〔4〕李健.优化问题结构 引领深度学习——《多边形的内角和》教学[J].小学教学设计，2020，21（17）：42-43.

〔5〕李雁.交往：助力学生数学力生长——以“多边形内角和”交往课堂为例[J].教育观察，2019，8（25）：115-118.