高中学段数学思想方法的建立与培养

王宏伟

[摘  要] 数学思想方法是数学思想与数学方法的统称，两者之间既有联系又有区别. 对于学生来说，感知、领悟数学思想方法也是非常重要的. 在引导学生认识数学思想方法的价值时，通常要结合具体的教学内容，以让学生在数学思想方法的体验过程中领悟数学思想方法的魅力. 具体的教学策略是：在数学知识生成的过程中渗透数学思想方法，在学习反思的过程中明晰数学思想方法.

[关键词] 高中数学;数学思想方法;分类讨论;数形结合

在高中数学教学中，有一个基本的思路就是对数学思想方法的重视. 实际上，数学思想方法是数学思想与数学方法的统称，两者之间既有联系又有区别. 一般认为，数学思想是人们对数学本质的认识，是数学作为一门科学的根本，数学思想蕴含在数学知识生成的过程中. 数学思想往往具有明显的主观特征，是数学研究者对数学及学科研究的本质认识;数学方法是数学思想的外在体现形式，是数学思想的具体化，数学方法往往具有显著的操作性特征. 如果说数学思想内在于数学研究者、学习者个体，那么数学方法就是外在于数学研究者、学习者个体的操作. 正是因为数学思想与数学方法有如此紧密的关系，使得人们在讨论数学思想与数学方法时，都以数学思想方法统称相关方面的内容. 对于高中学生的数学学习而言，在数学知识学习的过程中领悟数学思想方法，是超越知识理解的需要，也是理解数学知识进而走向核心素养的需要.

在课程改革中，数学思想方法更多被三维目标所描述，也就是“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”. 当前的高中数学教学，应立足学生核心素养的培育，而核心素养的重要内容之一就是关键能力. 一种能力要想真正成为关键能力，其必然涉及具体的学科思想方法. 因此在高中数学教学中，数学思想方法的建立与培养，本质上也就是关键能力的培养，从而也就可以理解为核心素养的培育.

本文章以高中人教A版函数概念、函数性质的教学为例，谈谈数学思想方法中的两个重要内容，即分类讨论与数形结合.

[⇩] 高中学段数学思想方法的认识和建立

数学教师认识到数学思想方法的价值，对于教学方向的确定是非常重要的;同时数学教师还要认识到，对于学生来说，感知、领悟数学思想方法也是非常重要的. 从某种程度上来讲，对数学思想方法的领悟与运用，正是数学教学的重要目标. 数学学科核心素养的数学抽象、逻辑推理与数学建模等六个要素的落地，本质上与数学思想方法的教学是同步的.

以分类讨论和数形结合为例. 众所周知，分类讨论是中学数学中的一个重要思想方法，通常情况下，当研究的对象不宜用统一的形式和理论去解释规律、给出方法时，就需要进行分类讨论. 而数形结合则是数学学习中新的建构知识和解决问题的一个重要手段，是根据数量与图形的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的方法的一种数学思想. 很多情况下，利用数形结合的方法来研究问题，更有助于学生看清问题的本质.

在引导学生认识数学思想方法的价值时，通常要结合具体的教学内容，以让学生在数学思想方法的体验过程中领悟这些数学思想方法的魅力. “函数”是高中数学知识体系中最基本、最重要的概念，在函数概念的教学中，分类讨论思想和数形结合思想通常体现在函数概念的建立、函数性质的建构过程中. 例如，在“函数的奇偶性”的教学中，可以引导学生从函数图形的角度认识不同函数图像的对称特点，而这是可以从轴对称和中心对称的角度进行分类讨论的，于是在这样的过程中，分类讨论思想与数形结合思想就能够得以体现.

总体而言，包括分类讨论思想与数形结合思想在内的数学思想方法的教学，要结合具体的数学知识来进行，只有让数学思想方法与数学知识紧密结合起来，并采取一定的教学策略，学生才能领略到数学思想方法的真实内涵.

[⇩] 高中学段数学思想方法的培养实践

那么在具体的实践中，数学思想方法的具体教学策略应当是怎样的呢？考虑到数学思想方法是对具体方法一般化、程序化和模式化的加工过程，考虑到学生学习数学思想方法需要经历模仿体验、明朗化、运用巩固和联系发展四个基本阶段，因此在实际教学中，数学思想方法教学的基本策略是：在数学活动中渗透;在反思总结中概括;在运用训练中巩固;在相互联系中发展. 基于这样的思路，笔者以为具体的教学策略可以是：在数学知识生成的过程中渗透数学思想方法，在学习反思的过程中明晰数学思想方法.

同样以函数概念、函数性质的教学为例，在探究函数的奇偶性时，本着数形结合的思路，先让学生回顾轴对称与中心对称两种情形，具体可以结合PPT的运用，展示图形让学生判断，从而调用学生大脑中已有的表象. 待到学生对这个表象清晰后，再向学生呈现不同函数的图像，如图1、图2所示.

学生会发现，原来函数的图像也有轴对称和中心对称之分;而且通过进一步探究会发现，轴对称的函数图像所对应的函数性质异于中心对称的函数图像所对应的函数性质. 这样的比较与发现，能够极大地激发学生数学探究的兴趣，当最终探究的结果是能够用f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）来描述时，学生对数学的理解会非常深刻，用一些学生的话说，就是“一开始以为十分复杂的规律，原来可以用这么简单的式子来描述，数学真是太有魅力了”. 笔者以为这样的评价，一方面说明学生领略到了数学的魅力，另一方面也说明数学思想方法的渗透是有效的.

其后，引导学生进行学习反思. 重点是反思函数的奇偶性是怎样得到的，学生会发现最终得到的函数的奇偶性属于“数”的范畴，但最初切入时却是函数的图像，这属于“形”的范畴. 这时告诉学生数形结合思想，学生就会有比较深刻的领悟;同时，让学生认识到正是基于轴对称和中心对称的分类讨论，才分别得出了奇函数和偶函数的概念，这也正是分类讨论的结果.

通过上述两个教学环节的实施，学生对函数奇偶性的理解会有两个层面：一从知识层面的角度来看，奇偶性这个概念以及相应的函数图像在学生大脑中的匹配. 这种匹配关系的形成是很不容易的，其必然对应着一个符合学生认知规律的学习过程. 二从思想方法的角度来看，这样一个知识的习得过程是一个有多种数学思想方法支撑的过程，无论是数形结合思想的渗透，还是分析归纳方法的运用，本质上都是数学思想方法的重要体现. 尽管这里是从两个层面来分析的，但是学生的学习过程中，知识的建构与数学思想方法的运用却是重合的. 当学生建构知识时，能够充分运用数学思想方法，当学生理解数学思想方法时，能够灵活结合数学知识进行，那就说明思想方法的培养是成功的.

[⇩] 学生对数学思想方法的理解是核心

在高中数学教学中，从学生的角度出发，可以肯定的一个观点是：学习数学的关键在于理解和掌握数学思想方法，即在学习、掌握数学知识的同时，获得、领会和运用数学思想方法. 从上述教学案例的分析中可以发现，利用新知教学中数学思想方法的渗透，然后在学习反思的过程中将数学思想方法明晰化的策略，是非常有效的.

之所以说这个策略有效，关键在于其能够促进学生对数学思想方法的理解，只有学生理解了数学思想方法，那么这样的教学才是有效的. 实际上，分类讨论思想与数形结合思想作为数学知识建构过程中最重要的两个基本思想，学生在此前的学习中已经有所涉猎，但真正形成显性的认识，还是要在高中数学知识的学习過程当中，尤其是学生先经过一个数学思想方法的运用与领悟过程. 在成功得出数学结论或者解决了数学问题之后，再告知他们是这些数学思想方法发挥了重要的作用. 经历这样的过程，学生可以切实认识到数学思想方法在数学学习中的作用，那么在以后的学习中学生就能够有意识地领悟数学思想方法，而这也正是数学教学的根本目的.

总之，高中数学教学中要重视数学思想方法的教学，在分析教材时，就要重点分析数学思想方法存在于哪些知识产生的环节，而基于学生认知特点寻找相应的策略，则是数学思想方法教学的关键.