为什么要学习解一元二次方程的两种方法？

杨军 刘扬

摘  要：文章基于课堂发生的意外事件，阐述学习解一元二次方程两种方法的必要性，即“配方法”和“公式法”，既有内在的联系，又各自独立存在.“配方法”是推导“公式法”的过程和基础，“配方法”本身也是一种独立的方法. 而“公式法”是解一元二次方程的“万能公式”. 从一元二次方程的“公式法”可进一步类比研究一元三次方程、一元四次方程的求根公式.

关键词：一元二次方程;配方法;公式法

一、问题提出

人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第21章第2节的内容是“解一元二次方程”，其中21.2.1是“配方法”，21.2.2是“公式法”. 笔者在教学解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的过程中遇到了一件意外事件. 新课“公式法”布置的解一元二次方程作业竟然有相当多的学生依然使用前面学过的“配方法”求解，这无疑是对45分钟课堂教学的“全盘否定”.

之所以会出现这样的意外事件，笔者认为可能是因为学生对“配方法”先入为主，先烙下“印迹”，从而即使后面学习了“公式法”，学生仍对“配方法”情有独钟. 但细细思量，发现根本原因在于教师对解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的认识较为片面，即教师没有深刻认识到“既然学生已经学习了一元二次方程的‘配方法’，为什么还要学习新的‘公式法’”的道理.

本文分别阐述对解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的认识，进而理解“配方法”和“公式法”既相互关联又各自具有单独的作用和价值，从而才需要既学习“配方法”，还学习“公式法”.

二、对“配方法”的认识

1.“配方法”是推导“公式法”的过程和基础

求解任何一元二次方程[ax2+bx+c=0a≠0]时，先经过整理，得[x2+bax=-ca]. 再配方，得[x2+bax+][b2a2=-ca+b2a2]，即[x+b2a2=b2-4ac4a2]. 当[b2-4ac≥0]时，方程有两个实数根[x=-b±b2-4ac2a]. 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边是非负常数，再用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做“配方法”.

一般地，当[Δ=b2-4ac≥0]时，任何一元二次方程[ax2+bx+c=0][a≠0]的实数根为[x=-b±b2-4ac2a]. 此式叫做一元二次方程[ax2+bx+c=0a≠0]的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做“公式法”.

根据“配方法”解一元二次方程的一般步骤推导出求根公式，求根公式体现了用“配方法”解一般的一元二次方程[ax2+bx+c=0][a≠0]的结果. 具体而言，将解一元二次方程的“配方法”进行一般化和程序化就是“公式法”. 因此，“配方法”是推导“公式法”的过程和基础.“配方法”不仅衍生了“公式法”，还为后一章学习二次函数的图象和性质埋下伏笔.

2.“配方法”本身也是一种独立的方法

虽然“配方法”是推导“公式法”的过程和基础，但又不仅限于此.“配方法”在二次函数、代数式的变形、二次根式、基本不等式等方面都有着广泛的应用.

例如，在学习二次函数[y=ax2+bx+c][a≠0]的图象和性质时，先将其化成[y=ax+b2a2+4ac-b24a]的形式，即将二次函数通过“配方法”转化为顶点式，进而研究抛物线[y=ax2+bx+c][a≠0]的对称轴、顶点坐标、最值、增减性等问题，为方程与函数搭建了桥梁.可见，“配方法”是学习二次函数图象和性质的工具.

又如，在高中阶段学习二元二次方程[x2+y2+Dx+][Ey+F=0]表示圆的条件时，需要运用配方法，将其整理成[x+D22+y+E22=D2+E2-4F4]. 当[D2+E2-4F>0]时，方程表示以[-D2，-E2]为圆心，[12D2+E2-4F]为半径长的圆. 这里就用“配方法”将圆的一般方程转化为圆的标准方程.

再如，在解决形如[A±BC]形式的复合二次根式化简问题时，解题的关键是把二次根式的被开方数利用“配方法”配成完全平方式，即可化简. 例如，化简[4+12]，因为[4+12=12+32+23=1+32]，所以[4+12=1+3]. 利用“配方法”解决二次根式化简问题也受到竞赛题的青睐，有利于增强学生的迁移能力，开阔学生的视野，使学生能在解题的过程中灵活运用学过的知识和方法.

因此，在学习二次函数、代数式的变形、二次根式等内容时都要用到“配方”这种方法，从而表明“配方法”有其单独存在的作用和价值.

三、对“公式法”的认识

1.“公式法”是解一元二次方程的“万能公式”

用“公式法”解一元二次方程时，第一步，计算[Δ]，若[Δ<0]，方程无实数根;第二步，把各项系数直接带入求根公式即可求解. 此过程单纯地考查学生的计算能力，没有任何其他能力的考查. 具体而言，即使没有学过“配方法”，直接用“公式法”也可求解任何一元二次方程. 因此，它拥有另外的名字——“万能公式”.

而用“配方法”解一元二次方程的过程中，只有当整理到完全平方式为负数时，才发现其无实根，也便意味着前面烦琐的配方运算“白做了”. 而工具“公式法”一开始便通过计算[Δ]的值与0比较，判断方程有无实根. 若没有实根，则没有继续运算的必要.

2. 从一元二次方程的“公式法”类比研究一元三次方程的求根公式

通过学习一元二次方程的“公式法”，可以在学生心中埋下一颗好奇的种子，即一元二次方程有“求根公式”，那么解一元三次方程有没有求根公式呢？一元四次方程呢？……一元[n]次方程呢？数学家卡丹发现了著名的一元三次方程的求根公式，也称为卡丹公式.

设首项系数[a=1]的一元三次实系数方程为[x3+bx2+][cx+d=0]，经过变换可以得到一个不含二次项的新方程[y3+ky+q=0]，其中[y=x+b3，k=c-b23，q=227b3-][13bc+d]. 通过解新方程得到一元三次方程的求根公式为[α=g+A3+B3，β=g+ωA3+ω2B3，γ=g+ω2A3+ωB3，] 其中[g=-b3]，[A=-q2+q22+k33，]

[B=-q2-q22+k33]，[ω=-12+32i]，判别式为[D=][q22+k33].

對于一元四次方程，也有求根公式，即用方程各项系数表示结果. 尽管数学家们已经严格证明“一元五次及五次以上的方程没有求根公式”，但解一元二次方程的“公式法”为学习一元三次方程、一元四次方程求根公式做了“药引”，起到了向导的作用，更有利于培养学生运用类比的数学思想方法.

四、结束语

从以上分析可以看出，“配方法”和“公式法”既有内在联系，又各自独立存在，即“配方法”是推导“公式法”的过程和基础. 同时“配方法”本身也是一种独立的方法. 而“公式法”是解一元二次方程的“万能公式”，同时从一元二次方程的“公式法”可以进一步类比研究一元三次方程的求根公式. 只有当教师既认识到“配方法”和“公式法”的相互关联性，又认识到它们各自单独的作用和价值，发生本文开头那样意外事件的几率才会降低.

教师对数学学科知识的认识水平影响着其课堂教学的行为. 没有人能够教自己不懂的内容. 学然后知不足，教然后知困. 教师通过对课堂上发生的一些“意外事件”的反思，一方面，可加深对相关数学知识的理解;另一方面，也学会站在学生的视角换位思考，理解学生，并最终实现教学相长.

参考文献：

[1]章民. 经历“二次创造”过程  培养数学思维能力：“用配方法解一元二次方程”课例分析及反思[J]. 中国数学教育（初中版），2017（7 / 8）：74-77.

[2]孙朝仁. 初中数学复习课的思维转型路径：以“一元二次方程”复习课为例[J]. 中国数学教育（初中版），2021（3）：2-5.