研究拉格朗日中值定理在高中的应用

帅亚军

摘要：介绍拉氏定理的基本情况和数学形式，以及包含的主要内容。从而通过在不等式、函数单调性判断中的具体运用作为中心展开讨论。

关键词：拉氏定理;中值定理;定理运用

引言：

拉格朗日是仅次于欧拉的大数学家，在18世纪，他在数学领域解决了很多较为复杂的问题。而拉格朗日中值定理在高中数学教育中具有开创性和探索性，是培养学生主动思考数学问题，提高逻辑能力的重要定理之一。

一、定理内容

罗尔中值定理的出现使得拉格朗日中值定理诞生，这一定理得别名为拉氏定理，其为微分学的基本定理之一。拉氏定理的出现，将可导函数在闭区间上的平均变化率明确化，并准确反映了在此闭区间内，函数的某一点存在的局部变化率的关系。与此同时，拉式定理也与柯西中值定理的某一特殊情形相符，它同样也是泰勒公式的一阶展开（弱形式）。1797年拉格朗日在法国提出了该定理后，拉格朗日中值定理这个名字才在学术界被确定了下来。[1]

拉格朗日中值定理的基本定义：如果某函数在闭区间上连续，且同时在这一制定的开区间上可导，那么该函数中一定存在某点ξ满足等式f（b）-f（a）=f（ ξ）（b-a）。其中，（a，b）为符合条件的开区间，[a，b]为符合条件的闭区间。需要注意的是，点ξ必须处于（a，b）之中，该等式才成立。

二、不等式证明应用

对于不等式这类常见题型来说优先构造与题目要求相符的函数是解题的关键。在下一步骤中，做题者可以根据这一构造函数，判断题目中函数的单调性或数学中较为常见的函数的单调性。[2]当然，这种较为直观的构造法仅仅适用于难度较小的不等式题目。在高中数学中，出题人为了考查学生对数学定理的应用情况，会设计出无法直观判断出单调性的函数，或者一些较为复杂的复合型函数，此时如果继续使用构造法，则可能“事倍功半”。

基于此，我们可以引导学生使用拉格朗日中值定理完成此类型题目，解题思路一般为：一，根据题目已有条件，仍然完成函数f（x）的构造;二，根据题目给出f（x）对应的区间[a，b]，确定其适用的范围;三，在[a，b]区间上，验证拉格朗日中值定理展开使用的条件是否与题目相符，确定完成后可以开始通过已确定的ξ求出f（ξ），完整罗列等式便于后续计算;最后一步，确定ξ的范围后，可以推算出f（ξ）的范围，此时不等式可以被得到。

我们用一个简单的例子进行说明：

例1：已知a

证明：（思路：如果使用构造法，则题目中的函数单调性不易被确定，如果使用拉格朗日中值定理则可以避免求解函数单调性，快速完成不等式证明）。

设：f（x）=arctanx，且确定其区间[a，b]。函数f（x）在该闭区间上连续，在该开区间上可导，满足拉式定理，则在该开区间上一定存在一点ξ，满足f（b）-f（a）=f（ξ）（b-a），a<ξ

此类型例题中，学生可将等式左边视为f（x）在某区间值上的两个端点值相见，而将右边视为f（x）在此区间长度上的倍数形式。除此之外，如果遇上一些较为隐晦的拉式定理不等式题型，可根据需要先对原式进行变形，再通过定理完成证明。

三、函数单调性证明

判断某函数的单调性，可以有两种方法：一是直接观察该函数在某区间上递增或递减的充要条件，通过f（x）与0之间的关系直接判断函数单调性;另一种则是使用拉格朗日中值定理进行判断，此方法更为直观，此处列出判断依据：

四、结束语

除了上述两种题型应用外，拉格朗日中值定理还可以证明方程根是否具有唯一性。众所周知，零点定理可以证明方程根的存在，但无法确定其是否唯一。拉氏定理采用反证法，通过解开矛盾对方程根唯一性进行确定。

参考文献：

[1]邓京凤. 高观点下的拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]. 新智慧， 2019（25）：2.

[2]魏文. 浅谈拉格朗日中值定理在高中数学中的应用[J]. 课程教育研究：学法教法研究， 2019（2）：1.

[3]颜挺进. 拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用[J]. 高考， 2019（6）：1.

[4]黄海松. 拉格朗日中值定理的证明及应用[J]. 2021（2018-3）：104-109.25A510A4-E565-4070-ABF8-0CE04216C250