浅谈以发展认识力为目标的教学设计

潘正刚 周艳

[摘  要] 数学教学除了要引导学生掌握数学知识、数学技能和数学思想方法，还应着重发展学生的认识力. 文章以“乘法公式（1）”这一节课为例，从科学性、哲学性、方法性三个维度对数学公式教学进行阐述和分析. 教师以数学史为依据，激发学生科学探究精神;丰富习题类型，培养学生哲学思辨精神;上位思考，整体设计，促成学生习得数学研究的基本方法，从而培养学生的思维品质和思维能力，促进数学教育的可持续发展，发挥数学育人的核心功能.

[关键词] 认识力;科学探究性;哲学思辨性;基本方法性

近日，笔者在一次线上教研活动中观摩了一节“乘法公式（1）”的网络展示课. 本节课选自浙教版教材七年级下册第三章，课中授课教师对公式教学进行了积极的探索. 本节课以学生已有经验为出发点，引导学生观察数学对象，大胆进行数学猜想，并运用几何直观来解释代数抽象;习题设计层次分明，针对性较强;教学组织形式多样，学生主体地位突出;数形结合、一般到特殊等数学思想方法贯穿整个课堂教学中. 以下为本节课的教学简述.

教学片段回顾

片段1 上课伊始，学生先完成学习单上的4道题并观察运算结果，再在教师的引导下猜想规律，并用字母来表示规律：（a+b）（a-b）=a2-b2. 随后学生相互合作，利用提前准备好的两张长方形纸片（如图1），用拼图的方式来验证猜想.

学生独立思考，相互交流，在教师的指导下展示了两种拼图方式（如图2），第一种拼图阴影部分的面积为（a+b）（a-b），第二种拼图阴影部分的面积为（a2-b2）.

紧接着，教师让学生阅读课本，并提出以下问题：（1）平方差公式的文字表述是什么？（2）平方差公式中字母a，b可以表示什么？

经过简短的思考，學生代表回答：平方差公式可以理解为两数和与两数差的积等于两数平方差. 最后，经过师生反复交流探讨，归纳出：平方差公式中的a，b还可以表示任意的单项式、多项式.

片段2 学生独立思考，辨析6个算式能否运用平方差公式计算，并说出自己的想法. 在该教学环节中，对于第（6）题（m+n+p）（m+n-p）能否运用平方差公式计算，学生提出了不同的观点. 教师进行启发式提问：既然第（6）题可以用平方差公式计算，那么a，b在这里分别指什么？引导学生运用“整体思想”来进一步认识平方差公式的结构特征，并总结归纳：判断一个多项式乘以多项式能否运用平方差公式计算，关键要看它是否符合平方差公式的结构，其中公式中的a，b可以表示多项式.

片段3 学生自学课本例题.

教师通过“问题串”的形式，层层推进，使得学生在运用平方差公式时“有迹可循”“有法可依”.

问题1：第（1）题中的100是怎样找到的？

问题2：写成103×97=（110-7）（90+7）是否可行？

问题3：100和103、97之间有什么联系？

问题4：在运用平方差公式进行简便计算时，你觉得应该分哪些步骤进行？

通过师生互动、生生互动，总结方法：先计算出两个乘数的平均数，从而确定a，进一步用减法确定b，再化成平方差公式的形式.

通过以下两组练习进行平方差公式运用的强化与巩固.

练习1：运用平方差公式计算下面各题.

（1）102×98 ;

（2）50.5×49.5;

（3）20172-2016×2018 .

练习2：运用平方差公式计算下面各题.

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1;

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）.

探究与分析

数学教育肩负着提升学生智育水平的责任与使命. 除了要引导学生掌握数学知识、数学技能和数学思想方法，数学教学还应该着重发展学生的认识力. 所谓认识力，就是人们对世界（客观世界和主观世界）各种事物的认识能力. 具体地说，就是科学的视角、创造力、想象力、洞察力、判断力、预见力，这些能力综合起来就是认识力[1]. 鉴于此，数学教学设计应兼具科学探究性、哲学思辨性和基本方法性.

数学公式是对数学对象的数量关系和空间形式的规律与结构的高度概括，它表现为数学符号建立的代数结构. 数学公式贯穿于整个数学学习过程中，是建构数学知识体系的基础内容，是数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的有机融合体. 平方差公式是初中学生所学的第一个代数公式，其重要地位在于平方差公式的研究方法对学习完全平方公式起着引导作用. 平方差公式和完全平方公式这两个乘法公式则是因式分解、分式运算和解一元二次方程的重要工具. 笔者以本节课为例，从科学探究性、哲学思辨性和基本方法性浅谈如何以发展认识力为目标进行数学教学设计.

1. 以史为据，培养科学探究精神

本课用二项式乘二项式的运算作为平方差公式的引入，考虑了学生的最近发展区，体现了数学知识的内在联系;在随后的几何操作环节，教师鼓励学生从形的角度对平方差公式做出几何解释. 但在课堂实践中，这两个环节相对独立，没能激发学生的好奇心. 究其原因，可能有以下几点：多项式的运算难度低，无法激发学生对于观察运算结果的兴趣，因此无法发现或提出有意义的数学问题;组合图形的出现比较突兀，数形结合不自然，且因为道具的限制，学生思维受限，分析和解决问题的能力未得到有效提升. 综上，学生学习平方差公式的好奇心、主观能动性均有所不足. 根据笔者研究，现行的各版本教材多按照知识的逻辑顺序进行编排，即将平方差公式看成整式乘法的一个特例. 如此编排，符合数学知识自然生成的规律，体现了从特殊到一般的思想. 教师往往将教学重点定位于代数表征，而以几何表征作为辅助. 实际上，多数学生能在课堂学习中较轻松地完成平方差公式的代数推理，并能进行一些基本的应用. 在后续的学习中，若继续强化相应的训练，学生也能够熟练地运用平方差公式. 但是，我们希望数学教学的目标不止于此. 若学生能更深入地理解平方差公式的几何表征，将有助于挖掘思维的深度;若能更广泛地阅读平方差公式的历史，将有助于拓宽思维的广度. 因此，作为数学教育者，我们不得不思考教学内容的呈现是否可以是多样的. 通过对平方差公式的进一步了解，笔者认为本课不仅可以满足学生学科素养提升的需要，还可以成为实现学科育人的好契机.

从数学史的视角看，平方差公式蕴含着丰富的数学思想和厚重的数学文化，它并非源自多项式的运算，它的提出远早于基于符号代数的多项式概念和多项式乘法. 数学教师要想办法触及学生的心灵，不仅让学生感悟到数学知识的美妙，还让学生体会数学史的厚重. 平方差公式跨越了三千多年的历史，它在中国、古巴比伦、古希腊、古印度的著作中均有出现，在解方程、解直角三角形等方面有着重要的应用. 到了16世纪，平方差公式的代数表征才由法国数学家韦达用字母给出. 平方差公式的发展历程有没有可能在个人身上重现呢？实事求是地说，要让学生在课堂时间内完全经历前人艰巨的数学创造工作是不现实的. 但翻阅浩瀚史书，从中选取部分史料改编成恰当的“学习”材料，为学生创造一个具有研究氛围的学习环境，以史为据，感知学习平方差公式的必要性，激发学生数学再创造的积极性，却是大有可为的. 文章设计了以下教学情境.

三国时期吴国数学家赵爽在注解《周髀算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（如图3），并指出：“勾实之矩以股弦差为广，股弦并为袤，而股实方其里……股实之矩以勾弦差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里.[2]”这段话探讨了这样的数学问题：如图4所示，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，请依次回答以下问题：

（1）你能将阴影部分拼成哪些图形？

（2）请用含有a，b的代数式表示所拼图形的面积.

（3）这些等式一定成立吗？你能用代数方法证明吗？

选取中国数学史的材料创设教学情境有以下目的：一是培养学生的爱国主义精神，促进学生树立文化自信，同时在教学中落实课程育人、文化育人的目标;二是从数学的视角看学生感兴趣的三国时代，贴近学生情感世界，可有效激发学生的学习兴趣，为数学再创造提供条件. 当直觉和未经分析的经验在许多不同的背景下存在着共同的结构特征时，数学就有了任务，这就是以精确的和客观的形式系统地阐明基本的结构特征[3]. 第（1）问开放探究，发散思维，丰富课堂生成，有利于学生对比各种图形结构（如图5、图6、图7、图8），发现一般规律，体会平方差公式的几何之源;第（2）问由形及数，用代数符号表达一般规律，初步认识平方差公式符号表征的结构性;第（3）问用严谨的代数运算证明公式的合理性，学生可以体会到代数运算的逻辑推理特征对证明猜想的作用.

这样的教学设计关注公式的形成过程，注重数形结合思想的自然生成，有利于发展学生的想象能力，培育学生的科学探究精神.

2. 丰富习题类型，培养哲学思辨精神

几何探究发现公式，代数运算推导公式，理解和运用公式是后续学习的重点. 笔者认为理解公式，应紧抓“字母可变，结构不变”的本质;运用公式，则有两个层面的考虑，一是是否能用，二是是否有必要用. 本课中，教师着重从公式的代数表征和文字表征来引导学生理解公式，并设计了富有梯度的习题来强化公式的运用. 从反馈来看，有部分学生对正确理解公式有障碍. 可能有以下原因：其一，学生对于平方差公式的结构特征仍停留在基础记忆的层面上，几何表征的直观背景还未起到积极的作用;其二，习题设计类型较单一，且过于关注整数的简便计算，思维深度不足. 在教学中，教师要结合各图形结构，讲清楚 “+b”“-b”表示的是分别加减相等的线段长度，即加减相同项;代数运算中“+b”“-b”的意义则是分别加上一组相反数，即加上相反项. 教师还要引导学生辩证地看待公式的结构特征. 另外，适当丰富习题的类型也有助于学生理解和运用公式. 以下3道题仅供参考.

（1）请你编写三道难度不同的题目，使它们符合平方差公式的特征.

（2）请计算以下题目：

①（2x+5y）（2x-5y）;

②（-2+3n）（2-3n）;

③（an+b）（an-b）;

④a2（a+b）-b（a-b）（a+b）.

（3）已知两个正数的和为24，积为44，求这两个数.

题（1）让学生编题，能有效激发学生的学习兴趣，学生通过亲身实践，举一反三，获得不同的体会，有助于培养创新意识. 题（2）使用一般性的题设 “计算”代替指向性明确的题设“用平方差公式计算”，并在题目中设置了不符合平方差公式特征的问题，避免学生盲目套用公式，让学生面对问题时，养成先分析运算对象和运算条件，再探索运算策略的习惯，形成以公式结构为目标，等价变换运算对象的能力. 在题（3）的问题解决中，不妨借鉴古希腊数学家丢番图的故事，加深学生对公式的理解，強化学生对公式的运用，培养学生的逆向思维. 同时让本课的教学设计始于数学史，终于数学史，使学生进一步体会学习平方差公式的必要性.

事实上，平方差公式的代数表征、文字表征和几何表征之间的转化、准确判断以及合理运用公式计算这些目标是很难在一节课里就达成的. 这就要求教学设计具有哲学性，在教学中有意识指导学生辩证地思考问题，培养哲学思辨精神，训练思辨思维.

3. 整体设计，掌握基本研究方法

数学公式本身是数学知识的重要组成部分，它是结构特征明确的逻辑体系，它反映了数学研究对象空间形式和数量关系之间的一般规律和结构. 学生数学学习中，不仅要学习数学知识，还要学习研究问题的一般方法. 所谓一般方法，是对数学对象的定义、性质、应用等问题的研究方法，学生参与形成问题、归纳概括、构建概念、应用反思等实践和思维活动，在做的过程中学方法，在用的过程中学方法. 鉴于数学公式教学的相通性以及平方差公式和完全平方公式的紧密联系，有必要上位思考“乘法公式”的整体教学. 梳理平方差公式的教学，可以从研究思路、研究内容和研究方法三个方面进行总结，形成具有系统性、可参考性的基本研究方法.

研究思路：如图9所示.

研究内容：探索几何图形的面积问题，总结归纳平方差公式，合理运用平方差公式解决问题.

研究方法：开展实验，直观观察，发现不同解法中数量关系的不变性，猜想平方差公式，用代数运算证明猜想.

实际上，平方差公式和完全平方公式起源相似、研究内容相似、研究方法相似、研究用途相似. 类比以上研究“套路”，引导学生自主确定完全平方公式的研究思路、研究内容和研究方法，有助于学生掌握研究数学公式的一般程序，学习研究问题的基本方法，有助于从心理层面改变学生对于数学学习的态度，培养学生的理性思维.

可见，数学教学不仅仅只是对知识的加工传授，还可以从科学性、哲学性和方法性三个维度展开设计，教师只有在深刻理解学生、理解数学知识、理解数学学习方法的基础上，才能设计出契合学生学习发展和数学内在发展的教学，培育核心素养，发展认识力.

参考文献：

[1]涂荣豹. 数学教学设计原理的构建——教学生学会思考[M]. 北京：科学出版社，2018

[2]郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷（一）[M]. 郑州：河南教育出版社，1994

[3]郑毓信. 新数学教育哲学[M]. 上海：华东师范大学出版社，2020.