基于边光滑有限元的复合空腔声振特性分析

陈正轩，陆静,2*，袁丽芸,2，陈莎

(1.广西科技大学机械与汽车工程学院，柳州 545006; 2.广西汽车零部件与整车技术重点实验室，柳州 545006)

弹性空腔结构广泛存在于工程领域，大到汽车的车厢，小到家电产品的外箱都可简化为弹性空腔结构。在外力、外声源的作用下，弹性空腔会产生振动并向空腔内部辐射噪声，严重影响产品性能和舒适性。约束层阻尼结构(constrained layer damping，CLD)是一个由黏弹层和约束层组成的夹层结构，在空腔上敷设CLD结构可以达到减振降噪的目的。因此，研究敷设CLD结构复合弹性空腔的声振特性具有重要工程意义。

复合空腔的声振特性一直是中外学者的研究热点之一。伍松[1]对敷设主动约束阻尼层弹性空腔声振特性和噪声控制进行了研究；陆静等[2]结合传递函数和精细积分用一种半数值半解析法分析了二维敷设约束层阻尼空腔的模态和阻尼特性。张超等[3]通过构建驾驶室空腔声学模型对内燃机车驾驶室声振特性进行了分析。Gladwell等[4]提出声-结构能量公式，首次将有限元法用于声固耦合方面的分析。Neffske等[5]考虑车身和声场的耦合，建立了车身的声固耦合有限元模型，分析了结构对空腔声学的影响，并通过实验验证了方法的正确性。杨年炯等[6]针对驾驶室噪声问题使用有限元方法对引气管仿真并优化，有效控制了驾驶室的噪音。然而，传统有限元法在频率较高时需要大量的细化网格以保证模拟精度，且色散误差也会影响中高频段内的数值模拟精度，因此，传统有限元法在中高频范围内的声振计算精度和稳定性较差。为了克服这一缺点，Liu等[7]提出了一系列基于梯度光滑的有限元算法(smoothed finite element method，SFEM)，通过软化系统的刚度提高计算精度，且因不用进行等参变化，可有效避免由网格畸变问题造成的精度缺失，采用低阶单元和较少数量的网格就可获得高精度，非常适合于较高频段内的声学模拟。He等[8]应用基于边的有限元(edge-based smoothed finite element method，ES-FEM)方法研究了中高频声学问题，数值结果表明，ES-FEM可有效克服色散误差，其在中高频段的计算精度优于传统有限元高阶单元的计算精度。

因此，现以敷设CLD结构的弹性空腔为研究对象，考虑弹性空腔、CLD结构的位移协调关系，黏弹层结构中的黏弹性材料采用GHM模型，建立二维CLD空腔结构的数值模型。将ES-FEM引入空腔的声场建模中，考虑腔内声场和结构场的相互作用，建立分析CLD弹性空腔声振耦合特性的数值模型。在此基础上，通过编程计算验证各个模型的有效性，并分析参数对空腔声振响应的影响，以期为敷设CLD结构复合空腔的声振特性研究和优化提供理论基础。

1 二维敷设CLD弹性空腔建模

1.1 二维CLD空腔声场建模

二维CLD弹性空腔由声腔域，弹性层和CLD覆盖层组成，如图1所示。

图1 二维CLD弹性空腔示意图

谐激励下，传统的声学有限元方程为

(1)

为了提高声场在中高频的计算精度，采用ESFEM的原理对声压梯度进行梯度光滑处理，其中，光滑整体刚度矩阵由每个光滑域的刚度矩阵组装得到，具体过程如下。

用三角形单元(即T3单元)离散问题域，得到域内Ne个单元、Ns条边和Nn个节点。问题域任意两个单元，基于边AB所形成的光滑域EABF是由两个三角形光滑子域ABE和AFB组成，如图2所示。

图2 第k个光滑域

采用光滑梯度技术，声学问题的光滑声压梯度为

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 CLD空腔结构有限元模型

CLD梁由空腔结构、黏弹层和约束层构成，结构如图3所示。为了便于分析，假设约束层阻尼梁单元满足如下条件[10]：①基层梁和约束层梁不考虑剪切变形，黏弹层只考虑剪切变形；②同一截面任意点的挠度和转角相同；③仅阻尼层有耗散能量；④不计转动惯性；⑤层间位移连续。

L和b为梁单元的长和宽；hp、hv和hc分别为结构层、黏弹层和约束层的厚度；w和θ为梁单元的挠度和转角；uc和up为约束层和结构层的轴向位移；i、j为梁单元的左右两个端点

(6)

式(6)中：ue=[wi,θi,uci,upi,wj,θj,ucj,upj]T为约束层和结构层单元节点位移向量；Ν1、N2、N3为梁单元任意点单元型函数；N′1为转角θ的型函数。

黏弹层采用一阶剪切变形理论，根据层间位移连续性理论[11]，可得

(7)

(8)

由变分原理和哈密顿原理可得到CLD梁单元运动方程为

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Λv为黏性刚度矩阵kv的正特征值组成的对角矩阵；Rv为相应的正交特征向量矩阵。由此可得式(9)的二阶等价模型为

(13)

(14)

1.3 二维结构-声耦合模型

部分覆盖CLD空腔结构域包含弹性梁和CLD梁两部分，声学域被弹性结构和CLD结构包围。在考虑结构与声的耦合作用时，弹性梁的振动方程可以改写为

(15)

Ffb=Hbp

(16)

式(16)中：p为声压；Hb为空腔与弹性结构的耦合矩阵。

(17)

式(17)中：Γbf为弹性耦合边界；Nsb为弹性结构在边界处的位移型函数分量；n为耦合边界处的单位外法线方向；Nf为空腔在边界处的型函数分量。

采用同样的方法可以求出考虑结构与声的耦合作用时CLD梁的振动方程为

(18)

考虑结构与声的耦合作用，耦合系统中的空腔声学光滑有限元方程也可改写为

(19)

结合式(15)、式(18)和式(19)，可获得部分敷设CLD弹性空腔的声振耦合控制方程为

(20)

2 数值算例

2.1 基于边光滑有限元的二维声腔模型验证

二维空腔的固有频率的理论公式[13]可简化为

(21)

式(21)中：c为声速；lx、ly分别为空腔在x、y方向的尺寸大小。

考虑一个尺寸为2.0 m×1.0 m的矩形刚性空腔，采用三角形网格离散为400个单元，231个节点，声速为340 m/s，分别采用传统有限元(finite element method，FEM)、ES-FEM和解析法进行模态分析，得到声腔的固有频率比较如表1所示。由表1可知，ES-FEM得到的固有频率与解析解的误差均小于1%，证明方法的有效性。随着固有频率的增大，FEM的精度逐渐降低，而ES-FEM的计算误差基本保持稳定，表明该方法在中高频段内的计算精度和稳定性优于传统FEM。

表1 声腔固有频率的比较

2.2 CLD梁的模型验证

本文计算结果与文献值的比较如表2所示。由表2可知，本文所得到的前四阶固有频率和损耗因子与文献值吻合较好，误差均小于4%，验证了CLD模型的准确性。

表2 本文计算结果与参考文献[11]的比较

2.3 二维空腔弹性结构模型验证

考虑一个由四根弹性梁围成的2.0 m×1.0 m矩形弹性空腔，结构参数为：E=205.8×109Pa，ρ=7 840 kg/m3，μ=0.3，h=0.001 m，b=0.003 m,采用2节点单元离散，单元长度为0.1 m。采用Ansys软件中的beam188单元仿真的结果与本文方法得到固有频率的比较如表3所示，由表3可以看出，两者的相对误差不超过3%，证明了本文方法的有效性。

表3 二维弹性空腔固有频率的比较

2.4 二维CLD弹性空腔耦合模型声振特性

考虑图4所示部分敷设CLD弹性空腔，下边两角点铰支，空腔长宽分别为a=2.0 m,b=1.0 m，左侧中间部分0.2 m处施加振速为v0=0.001m/s的激励。空气中的声速为340 m/s，空气密度为1.29 kg/m3，基梁、约束梁和黏弹层梁的参数与2.2节相同。空腔内部采用三角形网格进行离散(424个单元，252个节点)，边界梁单元和CLD梁单元的长度均为0.1 m。令声压参考点的坐标是A(0.93 m，0.55 m)，振动参考点的坐标是B(1.0 m，0 m)。同时，定义声压级为

图4 二维部分敷设CLD空腔示意图

(22)

式(22)中：pref为声压参考值，取pref=2×10-5Pa；PA为A点声压响应。

定义结构振动响应为

(23)

式(23)中：uref为位移参考值，uref=10-12m;uB为B点声压响应。

基于同网格背景，分别采用ES-FEM和FEM计算二维CLD空腔耦合模型A点的声学响应随频率fre的变化，如图5所示。由图5可知：在0～300 Hz内，两种方法的计算结果都吻合良好。但是，随着频率的增加，两种方法的差别逐渐增大。

图5 声压响应验证

基于同网格背景，分别采用ES-FEM和FEM计算二维CLD空腔耦合模型A点的声学响应随频率fre的变化，如图5所示。由图5可知：在0～300 Hz内，两种方法的计算结果都吻合良好。但是，随着频率的增加，两种方法的差别逐渐增大。

为比较两种方法在中高频段的精度，采用传统有限元加密网格(1 600个单元，816个节点)的解作为参考解，三种算法结果如图6所示。由图6可以看出，相比传统FEM，ES-FEM解与参考解更接近，表明ES-FEM在中高频段内计算精度优于FEM。

图6 不同方法的参考点声压响应

为了研究CLD对结构的降噪效果，采用ESFEM分别对弹性空腔和侧面敷设CLD弹性空腔的A点声压响应进行求解，如图7所示。由图7可知，在绝大多数频段内，CLD空腔的腔内声压明显低于弹性空腔，表明CLD结构具有良好的降噪作用。

图7 不同空腔内参考点的声压级响应

令空腔结构的厚度为0.003 m，约束层的厚度为0.001 2 m，黏弹层厚度分别为0.002、0.003、0.005 m，其余材料参数不变，分别计算不同厚度黏弹层时内部声场点A的声压响应和振动参考点B的振动响应，结果如图8所示。图8(a)表明增加黏弹层厚度可以降低空腔内的声压，而图8(b)表明增加黏弹层厚度对结构共振频率处的位移响应幅值有较明显的衰减。由此可知，适当增加黏弹层厚度可增加振动能量的衰减，进而提高弹性空腔的减振降噪的水平。

图8 黏弹层厚度对空腔声压和振动影响

令黏弹层的厚度为0.002 m，约束层厚度分别为0.001 2、0.002、0.003 m，其余参数不变，分别计算内部声场点A的声压响应和B点的振动响应，如图9所示。由图9可知，在部分频率范围内增加约束层厚度能起到减振降噪的作用，但是，在一些频率范围内，增加约束层的厚度反而会产生较大的声压，即较厚的约束层不一定能获得较好的减振降噪效果。

图9 约束层厚度对空腔声压和振动影响

3 结论

基于ES-FEM建立了二维声场的计算模型，结合GHM模型推导了约束层阻尼梁的动力学有限元模型，并由耦合条件建立了二维CLD弹性空腔的结构-声耦合模型。运用算例对所建模型进行验证分析，讨论了参数对CLD弹性空腔振动及噪声的影响，得出如下结论。

(1)与传统有限元法相比，本文建立的CLD弹性空腔耦合模型在中高频内具有更高的精度和稳定性，可为此类复合空腔的中高频段声振特性分析提供一种方法。

(2)约束层阻尼结构可以有效减小弹性空腔的振动和声学响应，但黏弹层和约束层对其声振特性的影响不同：在文中计算频段内，增加黏弹层厚度可以有效抑制弹性空腔的结构振动、降低腔内噪声；不同频率范围内约束层厚度对CLD空腔的减振降噪效果呈现出不同的影响，增加约束层厚度不一定能获得较好的效果。