具有接种的SV1V2IR传染病模型的定性分析

孙丹丹, 马 丽， 何琪安， 周 迅， 周 玲

(新疆农业大学 数理学院,新疆 乌鲁木齐 830052)

传染病(Infectious Diseases)是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病.中国目前法定报告传染病分为甲、乙、丙3类,共40种.回顾历史,传染性疾病伴随着人类出现而出现,它对人口数量、经济增长、技术演进、国家建设、王朝兴衰甚至文明的灭绝都有至关重要的影响.当今社会人们开始通过定量研究建立传染病的数学模型,可为预测和控制传染病提供可靠足够的信息[1—5].目前预防各类传染病最直接、有效的方法是接种疫苗,但由于受种者个体差异、疫苗保护率达不到100%、年龄增长等原因,接种疫苗所产生的抗体会逐渐减少,受种者可能重新成为疾病易感者被感染.因此为了更好体现疫苗效果,且加强疫苗对传染病的制约,很多地方对具体传染病采取二次接种,这就为我们建立二次疫苗接种的模型提供了现实依据.例如文献[6—7]建立了一类具有二次接种的麻疹模型并进行稳定性分析,得到控制麻疹的理论依据.文献[8]研究了一类具有二次感染和接种的两病株流行病模型等.本文在已有研究的基础上,全面总结考虑了一类二次接种的传染病模型.

1 模型的建立

本节将建立一类具有两次疫苗接种的SV1V2IR传染病模型(图1).这里假设人口出生为常数,忽略二次接种后的疾病感染和治愈后的疾病复发,同时考虑因病死亡.基于传染病流行病学,建立如下数学模型:

(1)

其中:S(t),V1(t),V2(t),I(t),R(t)分别表示t时刻的易感者、第一次接种者、第二次接种者、疾病感染者和恢复者的数量;Λ表示新生儿出生率;p1表示第一次接种率;p2表示第二次接种率;k表示第二次接种后获得的终生免疫率;γ表示感染者转为恢复者的治愈率;μ表示疾病的自然死亡率;δ表示因病死亡率;β表示传染病的感染率;θβ表示第一次接种后的感染率(0≤θ<1),这里的参数都是非负的.

观察可知系统(1)的最后一个方程与其他方程没有关系,因此只需研究如下子系统:

(2)

图1 模型的仓室图

2 模型的平衡点与基本再生数

根据文献[10],利用基本再生矩阵的方法计算系统(2)的基本再生数.

首先,按(I,S,V1,V2)的顺序将系统(2)改写为

(3)

改变系统(3)为

感染的仓室是I,从而

DF(E0)=

DV(E0)=

因此,可得

计算特征方程|FV-1-λE|=0得

定理1模型总存在无病平衡点;当R0>1时,存在唯一的地方病平衡点.

现在确定系统(2)正平衡点的存在性.由系统(2)的前3个方程解得

(4)

代入系统(2)的第4个方程可得

a1I*2+a2I*+a3=0,

(5)

其中

a1=-θβ2(μ+δ+γ),

a2=θβ2Λ-(μ+δ+γ)(βp2+βμ+θβp1+θβμ),

a3=θβΛp1+βΛp2+βΛμ-

(μ+δ+γ)(p1+μ)(p2+μ)=

(μ+δ+γ)(p1+μ)(p2+μ)(R0-1).

(ⅱ)当R0<1时,a1<0,a3<0并且

从而有θβΛ<(μ+δ+k)(μ+p2),因此

a2<β(μ+δ+γ)(p2+μ)-

(μ+δ+γ)(βp2+βμ+θβp1+θβμ)=

-(μ+δ+γ)(θβp1+θβμ)<0.

根据韦达定理可知当R0<1时不存在正平衡点.定理1得证.

3 稳定性分析

定理2当R0<1时,无病平衡点E0局部渐近稳定;当R0>1时,E0不稳定但地方病平衡点E*局部渐近稳定.

证明系统(2)的Jacobi矩阵为J(E)(见附录)，而在E0处的Jacobi矩阵为J(E0)(见附录),其特征方程为|λE-J(E0)|=0,即

(λ+p1+μ)(λ+p2+μ)(λ+k+μ)[λ+

(μ+δ+γ)(1-R0)]=0.

(6)

显然

λ1=-(p1+μ),λ2=-(p2+μ),

λ3=-(k+μ),λ4=-(μ+δ+γ)(1-R0).

容易得到当R0<1时,方程(6)所有的特征值具有负实部;当R0>1时,方程(6)存在一个正根,即结论成立.

系统(2)在E*处的Jacobi矩阵为J(E*)(见附录),令m=βI*+p1+μ>0,n=θβI*+p2+μ>0,g=μ+k>0,则其特征方程为|λE-J(E*)|=0,即

(λ+g)(λ3+a1λ2+a2λ+a3)=0.

(7)

显然λ1=-g.其他的特征值由下列方程决定

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0.

(8)

其中

所以

β2S*I*(βI*+p1+μ-θp1)≥0.

由Hurwitz判据可知方程(8)所有的特征根具有负实部,即方程(7)所有的特征根具有负实部,结论成立.

定理3当R0<1时,E0全局渐近稳定;当R0>1时,E*全局渐近稳定.

证明当R0<1时,构造Lyapunov函数

θβV1I+βSI-(μ+δ+γ)I=

(μ+δ+γ)(R0-1).

当R0>1时,构造Lyapunov函数

由于

Λ-βS*I*-(p1+μ)S*=0,

沿着系统(2)的全导数为

βS*I*+p1S*+μS*-μS-

4 数值模拟

由理论分析可知阈值是判断疾病是否传播的主要标准,故研究基本再生数可用于判断传染病是否流行[12-13].偏置相关系数(PRCC)已被广泛用于分析参数的敏感性,因此为检测所建立模型中参数变化的敏感性,我们用偏置相关系数确定各类参数对阈值的影响程度,从而确定控制疾病的必要因素.本文所建立模型的阈值为

可知β,θ对R0的影响是正向的,γ,δ对R0的影响是反向的.取样本空间n=1 500,作为输入变量,而将R0的值作为输出参数,可计算出影响R0的6个参数的PRCC值(表1).这些PRCC排序所对应参数对基本再生数R0的变异性的影响程度,可通过PRCC的绝对值的大小反映,而加(减)号分别表示影响为正(反)向.这些值的绝对值排序决定了基本再生数R0的变异性,绝对值越大的参数对R0的变化影响越大.由表1可知,θ,β,δ对R0有正向影响,而p1,p2,γ对R0有反向影响;β对R0的影响最大,其次是第一次接种率p1,最后是疾病的感染者转为恢复者的比率γ,而传染病的因病死亡率δ和第一次接种后的感染系数θ对R0的影响是比较小的.

综上可得控制传染病传播的有效措施如下:

(ⅰ)控制感染率,为此易感者应注意避免接触感染者;同时对感染者进行管控,最终达到降低感染率的效果.

(ⅱ)从结果中易知,第二次接种对降低传染病的发生和传播的作用没有预期重要,而第一次接种可以通过抑制R0的增长有效控制疾病,故应重视疾病的第一次接种,在合适的年龄尽快接种,且不可寄希望于二次接种.

(ⅲ)加强对感染者的救治,尽量缩短治愈周期,避免疾病传播.

表1 6个参数的PRCC值

5 结语

本文分析了一类具有接种免疫的SV1V2IR传染病模型.首先,用下一代再生矩阵的方法计算出模型的基本再生数R0并求得模型的无病平衡点和地方病平衡点.其次,通过线性化、Hurwitz判据和构造适当Lyapunov函数等方法证明了当R0<1时,模型仅存在的无病平衡点是全局渐近稳定的;当R0>1时,无病平衡点不稳定,存在全局渐近稳定的地方病平衡点.最后对模型做数值模拟,用偏置相关系数(PRCC)的方法,得到接触率、第一次接种率和恢复率对防治传染病的传播扩散有很大的作用.