质量偏心对火箭弹振动特性影响的分析

杨宜

（中国直升机设计研究所，江西景德镇 333001）

0.引言

火箭弹在高速运动过程中，通常需要通过弹体自旋来维持飞行姿态，火箭弹自旋可带来的优点很多，如减少由质量偏心、推力偏心、气动偏心等非对称因素对飞行性能的影响，这也是自旋飞行方式广泛应用于各种战斗飞行器的重要原因。如由美国洛克威尔国际公司为美国陆军研制的AGM-114反坦克导弹，中国航天科技集团公司第七研究院研究的“地地战术打击武器系统”的代表WS系列多管火箭武器系统。但因为加工精度、安装等问题，弹体不可避免会存在质量偏心问题，在火箭弹不做旋转运动飞行时，因质量偏心引起的运动稳定性问题可不做考虑。但对于本文研究的自旋火箭弹而言，因为火箭弹的自身旋转和质量偏心，会形成一个作用于弹体横向的周期往复载荷，进而引起弹身的振动，若此时的弹体旋转角速度与自身的固有频率相近，则会引起弹体与旋转频率的共振，进而造成进一步的严重后果[1]，而随着弹体的长径比变大，弹体横向形变对弹道性能的影响便不能被忽略[2]。此时火箭弹的横向弯曲变形增加了弹体的有效气动阻力面积，改变了气动载荷的分布，使得弹体的压心前移、稳定性变差，进而使弹体偏离预期轨道，影响射程和密集度[3-4]。且当动压超过一定阈值时，会导致弹体直接失稳乃至发生颤振[5-6]。

1.模型简化

假设弹体的质心的位置状态不变，且杆件可绕质心处作绕弹轴的旋转运动，并只取质心到弹头的一段弹长进行分析。得到最终的简化模型如图1所示，在弹头处受气动阻力-f，且具有向弹体后方的惯性载荷-ma，同时弹身还具有旋转角速ω。

图1 出口阶段火箭弹理论分析模型

2.振动方程

为便于理论建模分析，需对弹体作以下假设，如图2～图4所示，弹体的横截面积A、单位长弹体质量为ρmA、弹体各截面质心坐标yG，偏心距为ε(x)，又考虑到弹体在轴向还有端部气动载荷和轴向均布载荷，可用N(x)表示弹体在任意x截面处的轴向受力[7-8]。

图2 弹体的质心分布与与截面受力图

图3 弹体任一截面的质心位置

图4 轴压下弹体的截面受力分析

此时弹体偏心振动方程如下：

上式即为旋转弹体受轴向压力的动力学方程，式子的左端第一项表示弹体线质量密度对横向挠度的影响；第二项则表示弹体所受轴向压力的影响；第三项表示弹体自身刚度值的影响；式子的右端表示旋转弹体因质量偏心而产生的离心载荷。

3.方程求解

3.1 振型方程求解

在分析离散系统的动响应过程中，我们常利用主振型的正交性使微分方程解耦，从而将多自由度系统的动响应分析转化为多个单自由度系统的模态响应问题。在求解各模态的动响应后再进行叠加，就可以得到原系统的响应，这种模态分析方法也称主振型叠加法[9]。令弹体偏心振动方程式等于零，即可得受轴向压力时杆的横向振动方程为：

3.2 边界条件

由边界条件可知：

对于弯曲刚度为EI，轴向载荷为N(x)，线质量密度分布为ρmA的弹体，在分布的离心惯性载荷-ρmAω2ε(x)sin(ωt)作用下，弹体的振动微分方程为：

杆的各阶振型Xi(x)满足下列方程：

由上小节证明得知，在边界条件下振型函数应满足正交关系，于是方程的解可以表示为振型函数的无穷级数，即：

3.3 lagrange方程推导振动微分方程

将qi(t)看做系统的广义坐标，用lagrange方程推导广义坐标下的运动微分方程，此时杆上各点的速度表示为：

系统动能表达式：

弹体弯曲势能表达式：

弹体因轴向力做功势能表达式：

此时系统总势能总势能表达式：

设弹体的虚位移为：

则载荷 -ρmω2ε(x)sin(ωt)在虚位移上做的功为 ：

式中的广义力的定义如下：

将广义力Qi、动能Ek以及势能Ep的表达式带入lagrange方程得最终微分方程表达式：

式中：

4.结论

取ζi=pi/ω，代入弹体参数（表1）后，对响应表达式y(x,t)进行绘图可得。

表1 弹体计算参数

由图5、图6可知弹体的的每一阶振型对于整体的响应都有贡献，且当弹体的旋转角速度与与受压弹体某一阶频率相近时，该阶对整体的响应贡献最大。弹体的频率pi与旋转角速度的比值ςi越大时，此时第i阶的振型对整体响应的贡献越小，所以对于弹体振动表达式一般取前4阶即可。

图5 响应表达式值与频率角速度比ζi

图6 时间-幅值