提升初中生数学归纳推理素养的教学策略研究

【摘 要】对于学生发展而言，初中阶段具有承上启下的重要意义。提升归纳推理能力对于学生思维品质的发展和思考方式的优化大有帮助，其在学生实践能力的提高和创新能力的发展中，也扮演着非常重要的角色。文章通过一系列教学策略，在初中常见的阅读材料题的分析中渗透归纳推理素养的培养，以期提高初中生的归纳推理能力和意识。

【关键词】初中数学;归纳推理素养;教学策略;阅读材料题

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2022）12-0096-03

当前时代要求教师培养学生的创新能力，而归纳推理是培养创新能力的重要方法。培养学生的数学归纳推理素养，不但可以使学生的思维更加活跃，还可以使学生的创新能力得到发展。学生的数学归纳推理素养的培养应该得到所有教育工作者的重视。

归纳推理是通过观察、分析、联想和概括等方法，对个别事物进行探索，获得一般结论的推理类型。联想是由一件事物想到另一事物的心理活动过程，是沟通未知事物与已知事物的桥梁，能够达到化未知为已知的目的[1]。概括能力也是非常重要的数学能力。学者蔡金法先生认为：“数学概括能力是数学能力的核心[2]。”数学中的很多概念、定义、定理，如点、直线等概念及相关定理，都是通过数学概括得到的，要想揭示事物的本质规律，概括能力是必不可少的。因此学生的联想能力和概括能力的培养对于提升学生的数学归纳推理素养同样是非常重要的。

初中是学生各方面能力全面发展的阶段，在这个阶段，教师需要重视培养学生的归纳推理能力，使学生具备一定的归纳推理素养。一线数学教师对数学归纳推理素养的认知情況会直接影响到平常的教学活动。学生在日常学习活动中又会对教师的行为进行模仿。因此，教学活动如何开展、教学内容如何设计、教师是否重视数学归纳推理等，都会对初中生能否养成良好的数学归纳推理素养产生影响。

1   在归纳推理时，培养学生“理智上的勇气”

“理智上的勇气”就是一个人有勇气有胆识，随时准备对任何一个信念进行修正。在日常的数学活动中，学生往往会有一种思维定势，即思考问题时总是会遵循头脑中已经存在的思维路径，特别是对于脑海中已经存在的知识，有一种盲目的信任。因此教师在归纳推理教学中，要打破学生的这种思维定势。

【阅读材料1】

有这样一列数：11，31，41，61，71，101，111，131，141，151，161，171，181，191，同学们从这组数中能发现什么样的规律呢？

分析：首先对这组数进行观察分析，其具有什么共同特征呢？很多学生因为已有的思维定势，会从前项与后项的差这个角度进行分析。他们首先发现前后项的差组成的数列是这样的：20，10，20，10，30，10，20，10，10，10，10，10，10。然后，很多学生会专注于对前后项的差组成的数列所具有的规律进行分析，教师给学生充分的时间考虑过后，对学生发起追问：“差形成的数列存在某种规律吗？”学生回答：“前面四项是有的，但是后面几项是没有的。”

学生在思维定势的影响下，会将注意力集中在前后项的差组成的数列上，因此教师应该引导学生及时转变想法，让学生从数本身的特点来观察。为此要提出问题：“可以发现这些数都有什么共同的性质呢？”学生回答：“可以发现数列中所有的数都是以1为个位。”然后教师再次追问：“还有什么发现呢？”此时教师的追问可以拓展学生的思维，使学生对之前的思考进行修正，从而发现每一个数都是素数。

评注：“理智上的勇气”体现在当学生思考问题陷入思维僵局时，教师要及时引导学生对自己的思考方式和方向进行修正，让学生时刻准备对自己已有的猜想或信念进行修正。在以上案例中，如果学生一直用之前的经验来思考，问题就无法解决。

2   在归纳推理时，培养学生“理智上的诚实”

如果因为某个猜想是自己冥思苦想得到的而固执地坚持，那么这种行为就是不诚实的，也是不成熟的。因此教师应该引导学生形成这样一种品格或者态度：如果存在一种理由能够改变信念，就应该对这一信念作出改变。

【阅读材料2】

费马根据n=1，2，3，4的情况，提出“形如2+1（n取正整数）的数是素数”这个猜想，那么这个猜想是正确的吗？

分析：通过分析问题，可以知道这个猜想是费马通过观察四个特例提出来的，即将n=1，2，3，4分别带入2+1中，可以发现计算得到的结果都是素数。那么当n为其他数时，这一猜想仍旧成立吗？带着这个疑问，不妨将n=5带入2+1中，此时2+1=232+1=641×6700417。这个数并不是素数，那么通过这样一个反例，就可以推翻费马的猜想。

评注：费马提出这个猜想以后，欧拉通过举出一个反例，将此猜想否定了。在归纳推理的过程中，如果存在一个理由能够推翻已有的结论，就必须诚实地对已经得到的猜想进行修正。因此教师在教学活动中，要注意引导学生善于利用反例，对一个猜想或者一般性命题进行反驳。

3   在归纳推理时，要求学生具有“明智的克制”

仅为追求最新、最流行的东西，而不经过严谨认真的考察，就轻易地改变某种信念，这种行为非常不明智。然而，从现实的角度来说，人们并没有充分的时间与足够的能力对所有的信念进行考察。因此波利亚认为比较明智的态度是：对于该做的事情，继续推进;对存在的问题，暂时保留。

“理智上的勇气”“理智上的诚实”和“明智的克制”是三种非常重要的品质，对归纳推理素养的培养至关重要。那么在日常的数学教学活动中，应该如何正确地对学生的这三种品质进行培养呢？下面笔者将通过一道例题的讲解来说明。

【阅读材料3】

设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n，并且各位数字只可以取1、3、4。求证：a2n为完全平方数。

分析：首先代入几个简单的值，从中发现规律，也就是n=1，2，3，……，8。学生据此可以算出：a1=1，a2=1=12，a3=2，a4=4=22，a5=6，a6=9=32。然后让学生猜想一下a8的值应该是多少。大部分学生通过上面的数据进行分析，认为a8=42=16。这时，教师应该注意训练学生的归纳能力，并进行追问：“此时的值就是a8的正确结果吗？是否有同学想对此答案进行修正呢？”而后有学生通过计算发现a8=52=25，接着可以再次对学生进行追问：“可以发现新的规律吗？”学生发现a2n恰好是斐波那契数相应项的平方。进而继续追问：“那么这个结论是正确的吗？”最后，学生通过继续考察a10和a12的值，发现并没有充分的理由去改变上面的结论，上述猜想可以初步认定是正确的。

评注：上述教学过程中，教师的层层设问引导让学生在具体的数学问题中感受归纳的独特魅力。教师应该时刻谨记，培养学生养成良好的归纳能力，最重要的就是使学生具备“理智上的勇气”“理智上的诚实”以及“明智的克制”。这三种品质可以为学生的数学归纳推理素养的培养奠定基础。

4   在归纳推理时，培养学生的启发性联想力

归纳推理通常是通过观察开始的，要想获得比较有意义的结论，首先，要对所观察的事物比较熟悉，并且对其有兴趣，对数学学科而言同样如此;其次，在初中生数学归纳推理素养的培养中，引导学生学会观察也非常重要;最后，学生在学会观察以后，要从观察中得到启发和联想，从而得到一般性的命题或者结论。那么如何培养学生的启发性联想力呢？笔者将其总结为以下三点：

（1）观察数或者形;

（2）从中得到数或者形的相似之处;

（3）将其进行推广，得到一般性命题或者结论。

下面笔者将通过一个例子进一步说明。

【阅读材料4】

猜想大于9的奇数能否都可以用三个素数之和来表示。

分析：众所周知，对于数而言，要想对它们有较好的理解，必须要学会区分奇数和偶数，并且理解什么是素数。理解上述数的相关知识以后，提出问题：大于9的奇数能否都可以用三个素数之和来表示？

例如77=53+17+7。再任意取一个奇数，如11，发现11=2+2+7，77和11都可以表示成三个素数的和。再如任意一个奇数461，461=449+7+5，它也可以表示成三个素数之和，并且461还可以表示成257+199+5。

以上77，11，461都是奇数，77，11，461拆出来的加数也都是素数。也就是對于上述的特例来说，三个素数之和是一个奇数，是成立的。那么其他任意一个大于9的奇数是否存在这种性质呢？

首先来看大于9的最小的奇数11，其满足条件，再看超过11的奇数，可以发现：

13=3+5+5

15=3+5+7

17=2+2+13

19=3+3+13

21=3+5+13

当前所看到的这些个别的情况，至少可以得出一个一般性的命题，即任意一个大于9的奇数都可以表示成三个素数之和。这个猜想就是通过归纳推理得到的，也就是说它是由观察所启发的，由特殊的例子所得出的。

如上，由于证明这个猜想是正确的理由并不充分，因此这些论证的有效性是比较弱的。那么这个猜想是否正确，就还需要后续的证明。

评注：上述的问题主要运用归纳推理来解决，在归纳推理的过程中，运用了启发性联想。为了更好地培养学生的启发性联想力，笔者总结了上述归纳推理的一般步骤：

首先，通过观察可以发现一些相似的性质，如发现53，17，7，25，7，449，5，257，199都是素数，77，11，461都是奇数，并且77=53+17+7，11=2+2+7，461=449+7+5，461=257+199+5四个等式也存在相似的地方。

其次，要经历一个推广的过程，即从77，11，461这些奇数扩展到所有大于9的奇数，从53，17，7，5，7，449，5，257，199这些素数扩大到所有素数，接着继续推广，可以得到一个一般的关系式：大于9的奇数=素数+素数+素数。

由此可以得出一个明确的一般性命题。需要注意的是，这个命题只是一个试验性的猜想和推测。换句话说，这个命题并没有被证明，它不可以被当作一个真理，它仅仅是通往真理的一个尝试。然而，这个猜想与“事实”是有一些启发性的联系的。因此，可以大致得出归纳推理素养的一个关键能力是启发性联想。

归纳推理能力的发展，可以使学生的思维方式变得更加灵活，使其考虑问题的方式不再僵化，能够促进学生发散性思维的形成。而学生发散性思维的发展有利于学生创新思维和创新意识的发展。归纳推理本身的特征使得学生在进行归纳推理的过程中，其创新意识也会得到发展和提高，因此培养学生的归纳推理能力，有利于培养出具有创新能力的人才。

【参考文献】

[1]李江滔.联想法在中学数学解题教学中的应用[J].中学数学教学参考，2015（30）.

[2]蔡金法.试论数学概括能力是数学能力的核心[J].数学通报，1988（2）.

【作者简介】

季青（1995～），女，汉族，江苏盐城人，硕士，中小学二级教师。研究方向：初中数学教学。