改进阈值函数的指纹图像去噪方法

张兆茹，邓彩霞，岳欣华

摘要：为了使指纹识别技术更加准确和识别效率更高，提出了改进的阈值函数对指纹图像进行去噪。首先针对指纹图像的特点，构造了一个改进的阈值函数，该阈值函数与传统软、硬阈值函数及某些现有改进阈值函数相比，具有很好的可调性，并且是处处可导的，其更好地逼近软阈值函数，且在阈值点处的图像更加光滑，在对图像去噪时能够更多的保留其上的真实信息，同时有效的滤除噪声。仿真实验表明，改进的阈值函数处理后的图像峰值信噪比和结构相似度高、均方根误差和扭曲程度小且相关系数大，能够更加接近于原图像，因此改进的阈值函数具有很好的应用价值。

关键词：阈值函数;指纹图像去噪;峰值信噪比;结构相似度;均方根误差

DOI：10.15938/j.jhust.2022.01.008

中图分类号： TN911.73       文献标志码： A            文章编号： 1007-2683（2022）01-0055-06

Fingerprint Image Denoising Method Based

on Improved Threshold Function

ZHANG Zhaoru，DENG Caixia，YUE Xinhua

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：In order to make fingerprint identification technology more accurate and efficient， an improved threshold function is proposed to denoise fingerprint images. First， according to the characteristics of fingerprint images， an improved threshold function is constructed. Compared with traditional soft and hard threshold functions and some existing improved threshold functions， this threshold function has good adjustability， and is adjustable everywhere. It is better to approximate the soft threshold function， and the image at the threshold point is smoother. When denoising the image， it can retain more real information on it and effectively filter out the noise. Simulation experiments show that the improved threshold function has high peak signaltonoise ratio and structure similarity， small root mean square error and distortion degree， and better correlation coefficient， and can be closer to the original image. Therefore， the improved threshold function has good application value.

Keywords：threshold function; fingerprint image denoising; peak signaltonoise ratio; structural similarity; rootmeansquare

0引言

指纹图像以其具有唯一性、稳定性、可采集性、与主体永可分离性等优点[1-2]，已成为身份识别的有效手段，被广泛应用于刑事侦查和安全验证中。然而，采集到的指纹图像在传输过程中经常受到噪声或其他因素的干扰[3]，给快速识别带来了麻烦。因此，为了保证指纹图像的清晰、真实，对指纹图像去噪是需要解决的关键问题[4-5]。

指纹图像的去噪方法主要有小波变换[6]、双边滤波 [7-8]、轮廓波变换和曲波变换等方法[9-10]，并且深度学习也逐步应用于指纹图像去噪中[11]。它们适用于某些类型的随机噪声，但是在对指纹图像进行去噪过程中会改变指纹边缘的灰度值，且在细节特征保持上的处理效果不够理想，不利于图像应用于指纹识别系统。本文针对基于小波变换图像去噪时易造成图像细节失真的问题，提出了改进的小波阈值函数去噪方法，并对指纹图像进行去噪。本文算法针对的噪声主要是由指纹采集仪器本身和传输信道的缘故而产生的高斯噪声。

小波变换有利于能量压缩，故利用小波变换对图像和噪声进行分解得到小波系数，可使噪声大多集中于高频部分[12-13]，而图像本身小波系数大多集中在低频部分且幅值较大，则通过构造閾值函数，选取合适阈值，将高频部分绝对值小于阈值的小波系数作为噪声去除，反之则保留[14-15]，最后把低频系数与处理后的高频小波系数进行小波逆变换得到重构图像，从而达到去噪的效果[16-17]。但传统软、硬阈值函数都存在一定的缺陷[18]，例如，硬阈值函数的不连续，软阈值函数的小波系数在一定程度上与真实图像的小波系数存在偏差[19-21]，针对这些问题，人们给出了一些改进方法。黄玉昌[1]提出了可以通过调节参数的取值来调整去噪效果的改进的阈值函数，函数是连续的，从而可以消除硬阈值函数去噪时产生的震荡效应，但去噪效果不够理想;LU等人[2]提出了一个具有很好连续性的改进的阈值函数，其小波系数的收缩程度比软阈值函数的小，但其在阈值点处的图像不光滑;BACHIR[3]以高斯误差为基础，提出了一个图像介于软阈值和硬阈值之间的改进阈值函数，但参数的调节所产生的误差较大，因此去噪效果不理想。本文给出了一个处处可导且具有可调性的新阈值函数，其逐渐逼近软阈值函数，并且在阈值点处的图像更光滑。仿真实验和客观评价指标峰值信噪比、均方根误差、结构相似度、相关系数及扭曲程度表明，本文给出的新阈值函数克服了硬阈值函数去噪时造成的图像视觉失真以及软阈值函数去噪时造成的图像边缘不清晰等弊端，可以根据不同的图像特征灵活的调节参数的取值，且具有良好的去噪效果。

1传统的阈值函数

传统的阈值函数主要有硬阈值和软阈值函数，表达式如下：

硬阈值函数的表达式

i，k=ωi，k，|ωi，k|≥T

0，|ωi，k|<T（1）

软阈值函数的表达式

i，k=sgn（ωi，k）（|ωi，k|-T），|ωi，k|≥T

0，|ωi，k|<T（2）

其中：ωi，k为小波系数;i，k为一个去噪后获得的新的小波系数;T为阈值。

硬阈值函数和软阈值函数的图像如图1所示。

这两种方法虽然取得了较为良好的效果，但都存在一定的缺陷。由于硬阈值函数的不连续性，导致硬阈值法处理的小波系数连续性较差。软阈值方法处理的小波系数连续性有很好的效果，但对比处理后和实际的小波系数有一定程度差异。所以在實际应用中，人们给出了一些改进的阈值函数。

文[1～3]给出的阈值函数都为（-∞，+∞）上的奇函数，且在（-∞，-T）∪（-T，T）∪（T，+∞）上可导，而在点ωi，k=±T处连续，表达式依次为

i，k=sign（ωi，k）（|ωi，k|-Tlg（|ωi，k|t-Tt+10）），|ωi，k|>T

0，|ωi，k|≤T

i，k=sign（ωi，k）{|ωi，k|-Te3[α（|ωi，k|-T）/T]}，|ωi，k|≥T

0，|ωi，k|<T

i，k=ωi，k-T+2Tπ∫βωi，k-TT0e-t2dt，ωi，k>T

0，|ωi，k|≤T

ωi，k+T-2Tπ∫0βωi，k+TTe-t2dt，ωi，k<-T

其中：sign（·）为符号函数;T为阈值，阈值依次为T=σ2lnNi，T=σ2lnNlog2（i+1），T=σ2lnN;i为对应的分解层数;σ为噪声标准差;N为图像的小波系数总数;t，α（α>0），β（β>0）为调节参数;ωi，k为小波系数;i，k为去噪后获得的新的小波系数。3种阈值函数的图像如图2所示。

文[1-3]中的阈值函数当满足|ωi，k|>T时，其图像都位于软阈值函数和硬阈值函数之间，且在阈值点处连续，文[1]中的阈值函数还逐渐逼近硬阈值函数，3个阈值函数都克服了不连续和恒定偏差的缺点，消除了硬阈值函数产生的震荡、伪吉布斯效应，降低了软阈值函数对图像造成的边缘模糊程度。由于文[1-3]中的阈值函数在阈值点处不可导，因此函数图像在阈值点处不光滑，使指纹图像在去噪过程中丢失了一些细节信息。为了解决指纹图像在去噪过程中细节丢失的问题，文本提出了一个处处可导的改进阈值函数，其函数图像逐渐逼近软阈值函数且在阈值点处光滑，因此在去噪过程中可以很好地保护指纹图像的细节信息。

2改进的阈值函数

设

g*（x）=x-sign（x）α，|x|>βα

sign（x）P（|x|）·V（|x|），γα<|x|≤βα

0，|x|≤γα（3）

其中γ+β=2，α，γ，β>0，β>γ，且

V（x）=g（x-γα）g（x-γα）+g（βα-x）（4）

g（x）=e-1x2，x≠0

0，x=0（5）

P（x）=12α（β-γ）x2-γβ-γx+γ2α2（β-γ）（6）

定理1由式（3）给出的函数g*（x）为（-∞，+∞）上的奇函数，且在（-∞，+∞）上可导。

证明：当|x|≤γα时，显然有

g*（-x）=-g*（x）

当γα<|x|≤βα时，有

g*（-x）=sign（-x）·P（|-x|）·V（|-x|）=-g*（x）

当|x|>βα时，有

g*（-x）=-x-sign（-x）·α=-g*（x）

因此g*（x）为（-∞，+∞）上的奇函数。

由式（4）-（6）可知P（γα）=P′（γα）=0，P（βα）=βα-α，P′（βα）=1，V（βα）=1，V（γα）=V′（γα）=V′（βα）=0，于是有

limx→（βα）+g*（x）=βα-α

limx→（βα）-g*（x）=limx→（βα）-P（x）·V（x）=βα-α

所以

limx→（βα）+g*（x）=limx→（βα）-g*（x）=βα-α

同理可证

limx→（γα）+g*（x）=limx→（γα）-g*（x）=0

limx→（-βα）+g*（x）=limx→（-βα）-g*（x）=-βα+α

limx→（-γα）+g*（x）=limx→（-γα）-g*（x）=0

因此函数g*（x）在x=±βα和x=±γα处连续。

g*′+（βα）=limx→（βα）+x-α-g*（βα）x-βα=1

g*′-（βα）=limx→（βα）-P（x）V（x）-g*（βα）x-βα=1

所以g*′（βα）=g*′+（βα）=g*′-（βα）=1，同理可证g*′（γα）=0，g*′（-βα）=1，g*′（-γα）=0，因此函数g*（x）在x=±βα和x=±γα处可导。

注意到P（x）和V（x）在（-βα，-γα）∪（γα，βα）上可导。综上所述，奇函数g*（x）在（-∞，+∞）上可导。

本文利用式（3）可以构造一个新的阈值函数，即

i，k=ωi，k-sign（ωi，k）·T，|ωi，k|>βT

sign（ωi，k）P（|ωi，k|）·V（|ωi，k|），γT<|ωi，k|≤βT

0，|ωi，k|≤γT（7）

其中：γ和β为调节参数且γ+β=2，γ>0，β>0，γ<β;ωi，k为小波系数，i，k为去噪后获得的新的小波系数;T为阈值，阈值选为T=σ2lnN/（i+1）;σ为噪声标准差;N为图像的小波系数总数;i为分解尺度。

改进的阈值函数图像如图3所示。改进的阈值函数具有处处可导性以及可调性，且逐渐逼近软阈值函数，在阈值点處的图像更加光滑。

3改进阈值函数的图像去噪方法

为了更加直观的表现出改进后的阈值函数对指纹图像的去噪效果，本文选取FVC2004指纹数据库中的104_4.tif，102_2.tif，105_7.tif 3幅图像，对其加入方差为20的高斯噪声，利用Matlab进行仿真实验。阈值函数去噪方法的流程图如图4所示。

为了验证算法的可行性，下面应用软、硬阈值、文[1-3]以及本文方法对含噪图像进行去噪。由于考虑到人眼的视觉特性会在图像去噪效果的评价中产生一些主观性误差，所以为了更加客观的评价不同阈值函数去噪的优良性，建立了客观评价指标峰值信噪比

（PSNR）、均方根误差（MSE）、结构相似度（SSIM）、相关系数和扭曲程度对去噪后的图像进行分析。

峰值信噪比计算公式为

PSNR=10×log（2552MSE）

均方根误差计算公式为

MSE=1M×N∑Mj=1∑Nl=1（F（j，l）-Q（j，l））2

这里F（j，l）为原图像，Q（j，l）为检测后的图像。通常PSNR和SSIM值越大，MSE值越小，说明图像去噪效果越好，对原图像细节保护得越好。

结构相似度计算公式为

SSIM=（2μFμQ+D1）（2σFσQ+D2）（μ2F+μ2Q+D1）（σ2F+σ2Q+D2）

其中：F（j，l）为原图像;Q（j，l）为检测后的图像;μF和μQ分别表示F，Q的平均值;σ2F，σ2Q分别表示F，Q的方差;σFσQ为F，Q的协方差;D1和D2是用于稳定的常数。

相关系数反映两幅图像的相关程度，是两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标，其范围在-1和+1之间。相关系数C（F，Q）为负值、零和正值分别表示两幅图像负相关、不相关和正相关。C（F，Q）的绝对值越大，相关程度越高，其定义为

C（F，Q）=∑j，l[（F（j，l）-F-）×（Q（j，l）-Q-）]∑j，l（F（j，l）-F-）2×∑j，l（Q（j，l）-Q-）2

其中：F（j，l）为原图像;Q（j，l）为检测后的图像，F-=∑M-1j=0∑N-1l=0F（j，l）M×N和Q-=∑M-1j=0∑N-1l=0Q（j，l）M×N为均值。相关系数越接近于1，表示图像的接近程度越好。

扭曲程度直接反映图像的失真程度，其定义为

D=1M×N∑Mj=1∑Nl=1|Q（j，l）-F（j，l）|

其中：F（j，l）为原图像;Q（j，l）为检测后的图像，扭曲度越小，失真度越小。

仿真结果如图5～7及表1～3。可见，本文改进的阈值函数克服已有阈值函数图像去噪时有偏差、去噪后图像模糊、纹理不够清晰或边缘模糊的缺点，同时还具有能量自适应性。由表1、表2及表3所示结果表明，相比于传统阈值与文[1-3]方法，应用本文改进后的阈值函数对指纹图像进行去噪处理得出的PSNR，SSIM和相关系数的值更大，MSE和扭曲程度的值更小，故本文改进后的新阈值函数去噪效果更好，去噪后的图像失真更小且更加接近于原图像。

4结语

由于指纹图像的提取很容易受到噪声影响，而在对指纹图像进行分析与处理时为了得到更加精确的结果，则需要对指纹图像进行降噪处理来排除噪声的干扰。本文在总结传统阈值函数的优缺点的基础上吸取前人改进经验，提出了一个改进阈值函数的去噪方法，改进的阈值函数处处可导且具有可调性，逐渐逼近软阈值函数并且在阈值点处的图像更加光滑。改进阈值函数对含有方差为20的高斯噪声的图像去噪效果更明显，在去除噪声的同时能够较少的损失图像细节信息，并通过峰值信噪比、均方根误差、结构相似度、相关系数和扭曲程度验证了新算法的有效性与实用性。

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（编辑：王萍）