对一线串通的初等数学的思考和认识

赵红霞

摘 要：数学是其它学科的基础，是人类理解世界，对事物规律进行研究的必要工具。数学本身比较难，如何从改造数学本身入手，让数学变得更容易一些，一线串通的初等数学中，张景中先生通过对初中数学课程进行结构性改革，从简单的三角形内角和定理和三角形面积计算公式出发，打破原有的课程结构，引入正弦概念新的定义方式，在此基础上深入探究知识间的联系，解决有关几何问题，它不仅发现了解决初等数学相关问题新的思路和方法，更重要的是在学习的过程中进一步发展了学生的数学核心素养。

关键词：张景中   一线串通的初等数学   面积  正弦  创新

数学是其它学科的基础，是人类理解世界，对事物规律进行研究的必要工具。它在现实生活中发挥着很大的作用，它不仅能教给我们如何进行精密地计算，同时它还能锻炼我们的思维，使我们能通过推理论证发现事物之间存在的必然联系，进而由此及彼发现更多有用的数学，一方面为人类的进步做出巨大的贡献，另一方面用我们发现的知识去服务生活，特别是在发现知识形成的过程中，我们体会到探索知识的乐趣与获取知识的成就。在数学知识探究的过程中，我们常常将复杂的问题简单化，将未知的知识化已知，利用简单的知识解决复杂的数学问题，这是张景中先生教育数学理论中阐述的教育思想，也是数学教学中一贯有的思想和方法。张景中先生《一线串通的初等数学》中，运用简单的三角形内角和定理、三角形面积计算公式，通过建构性思考，采用两种有别于传统正弦定义方式，引入了正弦的概念，进而得出正弦定理、余弦定理等，从而把几何、三角、代数知识都通过固有的内在联系串通起来，以三角辐射带动几何并打通代数与其之间的通道，用知识的紧密联系来撬动学生的深入思考，促其学习兴趣的提高与数学素奍的提升，也从另一个层面反映出小知识撬动大思维的数学特质。下面谈谈个人读完本书之后的一些认识和思考。

一、一线串通的初等数学创新了方法

长期以来，几何教学就是数学界非常关注的内容之一，特别是用面积法解决有关问题是一个常说常新的内容，正是基于这样的思路，一线串通的初等数学中，张景中先生从最简单的、最具有普遍意义的几何解题方法------面积法入手，在大家已经熟知的面积公式的基础上，总结整理出共高定理，进而又研究出共边定理、共角定理这些看似简单但非常有用的解题工具。与此同时，张景中先生适时地将原本九年级才能提出来的正弦的概念，运用新的数学思路，采用新的方式，在七年级时，就将较为抽象的“正弦”概念引入进来，从直观的“面积”与“折扣”两方面对正弦概念作了详细的界定，得出正弦的另外的新的定义方式，这样就把三角、面积和代数联系起来，从学生学习的层面而言，这种正弦引出的方式 降低了学生学习的台阶，使得学生掌握正弦这个新概念比较顺利，而且由于抽象概念的形象描述，解决了以往在正弦定义教学中存在的让学生难于理解、太过于抽象的现象;从教学思维的视角来看，“面积”法被引进到正弦层面，是从“形的思考”开始，是学生对正弦概念层面的认识，而“折扣”则是一种从“数”的思维上来强调应用的。该定义方法比传统的直角三角形“对边比斜边”的定义更直观，更易于掌握，更与数形结合的数学思想相对应，这也就是我们之后要学习的函数理念，这样的新的课程逻辑体系将有助于学生“数形合一”，并将学生的思维空间拓展延伸到后面的学习，使数形结合的思想渗透到学生学习的全过程，为防止数学整体思维的人为割裂起到了很好的铺垫作用。另一方面正弦概念、正弦定理的引入使用，使得初等数学内容形成以三角为主线，将大量知识串联起来，在三角知识的基础上用代数展开几何的基本思路;第三是有了正弦的概念，一方面可以利用正弦来探索几何问题，获取几何知识;另一方面还可以对正弦的性质做更深入的研究，这两个方面相辅相成和相互促进。第四是正弦引进之后，它大显神通，它不但能用来定量地测算未知的距离和角度，还能够揭示任意三角形的边角关系，对图形做定性研究 。这些内容的研究，构成了张先生教育数学的思想：即“为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造”。《一线串通的初等数学》一书集成了第一批串通的初等数学，不仅降低了教学难度，而且节约了课堂时间，将人教版初中数学教科书的前前后后内容整合起来，重新构造了新的初中数学教科书系统。最后本书在对圆的性质的探索过程中，给广大学子提供了复习原有知识的很好的机会，在本书中有关圆的有些命题，就是已知命题的改头换面的重述，在推导圆的性质过程中，反复用到了等腰三角形的知识，温故知新，推陈出新，这种学习和思考的方法，在研究圆的过程中，得到了很好地体现。

二、一线串通的初等数学拓宽了思路

张景中先生认为，数学教育面临着很多的困难，数学内容本身难度高，学习起来比较枯燥，学生的学习兴趣不高，特别是学生计算能力低下，无形中影响了其它诸如物理、化学等学科的学习，如何实现将数学变得容易一些，让学生更乐于接受数学学习，提高学习效率，这就需要我们拓宽思路，创新方法。在数学中，我们常常说到换一种思路解题，其实质是用不同的术语、不同的方法和策略表达相同的事实，寻找达到目的的不同的路径，这实际上就是从不同的角度来观察同一件事物，这是重要的数学思想，这种思想常常能够把复杂的问题变得简单明白，对似乎难以下手的问题找出意外简捷的解决方案，它也会使得数学知识变得更加丰富、更活泼、更加立体、更加多元，它会和其他知识联系起来，变得更有力、更有用。新思路下正弦定义的给出，从概念出现看，出现数学新知识所用的预备知识少，再加之预备知识的起点低，这样就能使学生更容易接受新知识，思想上不再有害怕的感觉;从内容严谨性上看，正弦定义给出之后，直角正弦的面积定义比以往的定义更加严谨，从00------1800 角的各个角的正弦都有了定义，就更广泛了;与此同时，本书也將很多教学内容进行了整合，使得如正弦定理、余弦定理等这些在高中才能接触的内容也可以根据学生的实际提介入学生的学习，减少了学生学习用时。再从整本书的形成看，一线串通的初等数学也给我们很多启示，那就是：即使是看起来很简单的知识，经过一番探索思考，会有不一样的收获。数学锻炼思考，思考提高数学素质，思考能够使知识增殖。正弦概念之后引入正弦定理，使得我们解决几何的思路更为广泛，处理几何问题就有三套基本工具：一种是共高定理、共角定理、共边定理综合运用的面积方法的一种手段;另一种是运用正弦定理、余弦定理、正弦和角公式的三角法工具;还有一种就是用平行线的性质、三角形内角和定理、三角形边角的关系、勾股定理为辅佐的全等三角形与相似三角形的几何工具。这样我们用来解决有关直线构成的图形的常见问题，工具齐全，方法多样。

三、一线串通的初等数学注重了推理

数学蕴含着很强的逻辑性思想。数学中的定理与定理之间有着千丝万缕的联系，几何图形与几何图形相互依存但又各有千秋，它们通过合理的推理论证，在数学知识的积累与形成中，由单一到多样，由简单到复杂，由表面到实质，有很多意想不到的收获，也会给人融会贯通的感觉。初中学生数学核心素养中，逻辑推理能力是六大核心素养中非常重要的一项要求，它关注了学生对问题本质间联系的研究，在学生对数学知识体系的认知与建构方面有重大作用。一线串通的初等数学，从最简单的内容出发，形成新的数学思想，张景中先生非常重视数学知识的获得过程，注重逻辑推理过程，每一步、每一项内容的得出，步步为营，层层递进，有理有据，既交待了问题的来源，又清晰而又具体地交待了如何解决问题，同时在推理的基础上，张先生又非常注重新知识的建构，适时地提出如正弦的新定义方法及利用正弦知识将三角与代数计算等问题相互衔接，一线串通，打通关节，畅通计算证明等渠道，在有些内容的学习过程中，有很多知识一眼就能看明白，但张景中先生还是很关注推理过程，这就让读者明白：在数学里，看出来的事总不放心，能够证明的才算数，能够一板一眼推出来的才算数。新的数学知识的得出是依赖于已有的预备知识，新的概念的出现总是在很多预备知识的基础上得出，在学生运用推理得出新知识的同时，充分关注了数学思想方法，从而得出非常重要的命题、结论、方法，这就是数学思想和数学方法的力量。大量的新知识的涌现，使我们的眼界开阔了，使我们的认识更完善了。

四、一线串通的初等数学关注了运用

“学有用的数学”是张景中先生的教育思想，也是数学这门学科的价值所在。“有应用意识，就是乐于用学过的数学知识解决实际问题或设想的问题，善于从实际问题的设想的情景中提出数学问题”。荷兰数学家佛莱登塔尔说过：“学习数学的唯一正确的方法是实行再创造”。一线串通的初等数学是充分发挥三角形的面积公式的作用，从最简单的内角和定理和三角形的面积公式出发，在深入思考探究的基础上提出共边定理、共角定理，从而为解决三角形等图形相关问题找到新的数学思路。同时，正弦定理、余弦定理、任意三角形面积计算公式相互配合，使正弦在解决三角形问题时大放异彩，大显身手。后面本书又通过几何图形之间联系的多样性，让我们在探究三角的基础上，发掘问题并扩大战果，进一步学习了四边形，如果说前面三角部分主要关注几何图形间的数量关系，而在四边形中，本书更多关注了与几何性质有关的知识的逻辑结构，把知识由少到多，把事物由表及里细细展开，形成了平行四边形的系列性质，总结出了平行四边形的性质定理和判定定理，随后又将内容提炼和归拢，得到了平行四边形的特征属性，并由此构成了一个条理清晰、思路清晰、方法简单、过程严密的菱形、矩形、正方形的特征属性的总结和推理过程及结论。最后本书在探究四边形和多边形的基础上，进一步探究有关圆的性质，从这思路新颖、方法多样、设计合理的数学知识的获取过程中，我们在步步推进中享受由于思维变换而带来的对数学知识的探究和运用不一样的感受和奇妙，我们心旷神怡，从而体会到“学数学，其乐无穷;用数学，无处不在;爱数学，受益终生”。

总之，通过本书的学习，拓宽了我们沿着现有的数学思想深入探究运用新知识去解决有关图形内容的思路和策略，这种学科魅力作为一名数学人难以抗拒，它可以让我们在进一步体验数学作用和价值、感受数学魅力的同时，培养我们孜孜不倦的探索精神，提高我们数学运用和实践能力的意识和兴趣，激发我们更进一步去探究用数学知识解决实际问题的策略和方法。创新是一个民族进步的基石，本书对原有数学知识的创新，也从另一个方面告诫我们全体教师一定要树立创新意识，要在已有知识的基础上，去深入思考，不能墨守成规，要去合理创新，带领学生去探究知识海洋的宝藏，拓宽思路和眼界，领略不一样的风景，收获不一样的珍宝。

《从数学教育到教育数学》 张景中 [M]中国少年儿童教育出版社

《一线串通的初等数学》   张景中 [M]四川教育出版社

《几何的新方法新体系》   张景中 [M]科学出版社

《新概念几何》           张景中  [M]四川教育出版社

《重建三角，全盘皆活------初中数学课程结构性改革的一个建议 》张景中    [J]数学教学  2016（10）;

《讓我们来重新认识三角------兼谈数学教育要在数学上下功夫》

张奠宙   [J]数学教学   2006（10）;

《从数学难学谈起》 张景中 [J]世界科技研究与发展，1996（4）：

[本文系2021年度甘肃省“十四五”规划课题“张景中教育数学思想教学实验”教改实验专项课题《张景中院士教育数学思想中的“重建三角”与现有人教版初中数学教材内容融合的课例研究》（课题立项号：GS[2021]GHBZJZ003）研究成果）