基于Morgenstern-Price法考虑桩作用力的支护力计算方法

徐计云，雷庆关*，朱大勇

(1.安徽建筑大学 土木工程学院，安徽 合肥 230601;2.浙大宁波理工学院 土木建筑工程学院，浙江 宁波 315100)

抗滑桩是目前使用最为广泛的边坡支挡结构之一。设计抗滑桩主要分为2个步骤:第一步，对加固前的边坡进行稳定性分析，计算边坡加固至设计安全系数时所需要的支护抗力;第二步，根据计算的支护抗力进行抗滑桩设计。目前,计算支护抗力主要采用传递系数显式解和隐式解法，显示解法不用迭代可以手算，因此在计算机不够普及时期被长期使用，目前的规范[1-2]依然推荐使用显示解法。随着计算机的发展，基于强度折减法的隐式解法求解已不再困难，规范[3-4]现已采用隐式解法，不同规范中计算支护抗力的方法目前仍未统一。郭海强等[5]研究了隐式解和显示解之间的关系,发现拟设抗滑桩支护抗力被放大，因此造成较大差异，并引入了可靠度作为评价边坡的可靠指标。方玉树[6]发现显示解法和隐式解法计算结果的差距随着滑面倾角差的变化而变化，且变化方向不固定。赵尚毅等[7]对传递系数隐式解法进行了改进并研究了滑面倾角对计算误差的影响，发现倾角越陡，滑面内摩擦角越大，造成的误差越大。

陈颖骐等[8]对传递系数法进行了改进，同时研究了设桩处滑面倾角变化对抗滑桩推力的影响，发现滑面倾角增大时抗滑桩推力随之增大。龙盛军等[9]对比了显示解法和隐式解法的差异，结果表明隐式解法得到的安全系数略低于显示解法，当安全系数偏离于1越大时计算结果偏差越大。陈文胜等[10]基于传统的不平衡推力法研究了传递最大推力的不平衡推力法，计算出边坡最危险滑动面更大的滑坡推力，并得到较传统方法更小的安全系数。肖世国[11]基于传递系数法研究了单排桩加固边坡的受力计算方法，得到了受荷段的净滑坡推力表达式以及桩体内力和位移的上、下限解。韦秀东等[12]提出将设计滑坡推力与剩余下滑力之差作为支护抗力，理论计算结果与数值分析结果大体一致。经研究发现,不管是显示解法还是隐式解法，用计算出的支护抗力加固边坡后，验算加固后的安全系数与设计安全系数不一致，无法体现设计目标。

目前对边坡稳定性分析趋于使用严格法，朱大勇等[13-14]对Morgenstern-Price法进行了改进，只需简单的代数迭代便可快速得到边坡的安全系数，大大简化了计算过程。本文基于改进的Morgenstern-Price法研究了计算边坡支护抗力的方法，在条块受力分析中加入了抗滑桩的作用力，考虑了桩和条块之间的相互作用，设计安全系数对滑面强度参数折减，当最后一个滑块的剩余下滑力等于0时，便可求出支护抗力，用支护抗力加固边坡，验算出边坡加固后安全系数与设计安全系数一致。

1 传统方法计算支护力

传递系数显示解法和隐式解法求解滑坡推力的公式推导过程在文献[7]中均有给出，本文不再赘述。求解边坡支护抗力时，安全系数的值取规范中规定的设计安全系数，采用传递系数显示解法或者隐式解法求出边坡的滑坡推力，将得到的滑坡推力作为所需抗滑桩提供的支护抗力。

1.1 传递系数显示解法

条块受力如图1所示。抗滑桩支护抗力计算公式为

图1 条块受力图

Pi=FsTi+Pi-1ψj-1-Ri,

(1)

ψi-1=cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)tan(φi),

(2)

其中，Wi为条块自重；qi为外荷载；KcWi为地震力；Ni为条底法向作用力；Ui为条底水压力，Ui=uibisecαi；Ri为第i条块抗滑力；Ti为第i条块下滑力；Pi为第i条块剩余下滑力；ψi为第i条块的传递系数;Si为条底剪力；αi为条底倾角；bi为条块宽度；hi为条块高度。

用传递系数显示解法计算支护抗力是将下滑力乘以设计安全系数再减去抗滑力,最终得到的滑坡推力作为抗滑桩的支护力。但是在考虑条块的受力平衡条件中，如果只考虑条块下滑力的增加，不考虑因为条块正应力的增加而引起抗滑力的提高，同时直接将求解出的滑坡推力作为边坡支护抗力并不合理，没有在条块受力分析中考虑抗滑桩的作用力，力学分析不够严谨，因此计算结果误差较大。研究结果表明，运用显示解法计算的支护抗力无法使边坡加固至设计安全系数且计算结果通常偏大。

下面通过算例进行验证。计算模型的滑体高度为31 m，滑面为折线形，计算模型如图2所示。土体重度γ=25 kN/m3，黏聚力c=13 kPa，内摩擦角φ=13°。

图2 算例1计算模型(单位：mm)

未加固时边坡安全系数为0.94，此时边坡处于不稳定状态，需要对边坡进行加固处理。边坡设计安全系数取1.35，按照显示解法计算出的边坡支护抗力为1 440 kN，将1 440 kN作为支护抗力验算加固后边坡安全系数(使用Morgenstern-Price法计算)为1.44，大于设计安全系数1.35。可见，显示解法求出的支护抗力无法使边坡加固至设计安全系数。

1.2 传递系数隐式解法

条块受力图同图1，抗滑桩的支护抗力计算公式为

(3)

(4)

同样选用算例，设计安全系数取1.35，得到边坡的支护抗力为1 129 kN，将边坡1 129 kN作为支护抗力验算加固边坡后的安全系数(使用Morgenstern-Price法计算)为1.29，同样不等于设计安全系数。相较于显示解法，隐式解法更为合理，但是在条块受力分析中同样没有考虑抗滑桩的作用力，而是直接将边坡的滑坡推力作为支护抗力，造成计算误差。因此不管是显示解法还是隐式解法，通常求解出的支护抗力不能使边坡加固至设计安全系数Fs，无法体现设计目标。

2 改进后的Morgenstern-Price法计算边坡支护力

本文基于改进的Morgenstern-Price法，在条块受力分析中加入抗滑桩的作用力，在计算边坡所需支护抗力时，用规范确定的设计安全系数对滑体强度参数进行折减，当最后一个条块剩余下滑力为0时，得到的Pi就是抗滑桩所需提供的支护力。

图3 条块受力图

2.1 平衡方程

Ni=(λfi-1Ei-1-λfiEi+Wi)cosαi-(Ei-1-Ei+KcWi)sinαi-uibisecαi+qicos(ωi-αi),

(5)

平行于条底方向受力平衡：

qisin(ωi-αi)=0,

(6)

将式(5)带入式(6)整理得

φiEi=φi-1Ei-1ψi-1+Fs(Ti-Pi)-Ri,

(7)

其中条块下滑力为

Ti=-qisin(ωi-αi)+KcWicosαi+Wisinαi,

(8)

条块抗滑力为

Ri=[Wicosαi-KcWisinαi-uibisecαi+qicos(ωi-αi)]tanφi+cibisecαi+Kpi,

(9)

φi=(sinαi-λficosαi)tanφi+(cosαi+λfisinαi)Fs,

(10)

传递系数为

(11)

通过式(7)可以推出当抗滑桩设置在第x条块时，抗滑桩支护抗力计算公式为

(12)

将上面公式简单变换便可以得到边坡安全系数验算公式为

(13)

其中式(13)右边包含Fs，因此需要迭代求解。

根据条底中部的力矩平衡条件可得

(14)

由端部条件En=E0=0可以得到比例系数λ的表达式为

(15)

先取安全系数Fs0、λ0初值，代入公式计算Fs和λ，若满足|ΔFs|≤0.000 1且|Δλ|≤0.000 1，计算结束，若不满足，将计算结果代入公式重新计算至满足条件为止，此时Fs的值就是边坡的安全系数。计算支护抗务流程图如图4所示。同样选用算例1，式(12)计算边坡支护抗力为1 245 kN，验算加固后边坡的安全系数(使用Morgenstern-Price法计算)为1.35，与设计安全系数一致。

图4 计算支护抗力流程图

结果显示不管是用显示解法还是隐式解法求出的支护抗力加固边坡，加固后边坡安全系数均不等于设计安全系数，传递系数显示解法计算结果比设计安全系数增大了6.7%，隐式解法比设计安全系数减小了4.4%。用本文方法计算的支护抗力加固后边坡安全系数与设计安全系数一致。

2.2 计算结果对比

为对比几种方法的计算结果，设计安全系数分别取1.20、1.25、1.30、1.35、1.40来计算边坡所需的支护抗力，然后验算加固后边坡的安全系数，验算方法均采用Morgenstern-Price法，计算结果如表1所示。不同方法计算支护抗力如图5所示，加固后安全系数对比如图6所示。

图5 不同方法计算的支护抗力 图6 加固后安全系数对比

由表1结果可知，显示解法计算出的支护抗力大于本文方法，增大幅度在5.1%～20.5%，加固后边坡的安全系数不等于设计安全系数。加固后边坡的安全系数增加幅度在4.2%～8.6%。隐式解法计算出的支护抗力小于本文方法，减小幅度在3.9%～10.6%，加固后安全系数减小幅度在2.9%～5%之间。传递系数法计算边坡支护抗力不管是显示解法还是隐式解法均不能使边坡达到设计安全系数，无法体现设计目标。使用本文方法(公式(12))计算出的支护抗力加固边坡后，边坡的安全系数与设计安全系数一致。

表1 不同方法计算结果

3 结论

本文基于改进的Morgenstern-Price法，满足全部的平衡条件，属于严格法，受力清晰，只需简单的代数迭代即可求解。在条块受力分析时加入抗滑桩作用力，体现了桩与条块间的相互作用。计算时用设计安全系数对滑体强度参数折减，当最后一个条块剩余下滑力为0时，对应的Pi就是抗滑桩所需支护抗力。通过算例验证，结果表明显示解法的计算结果偏大，误差值在5.1%～20.5%，隐式解法的计算结果偏小，误差值在3.9%～10.6%，本文方法计算结果验算边坡加固后的安全系数与设计安全系数一致，计算结果优于传统方法。