MPCK视角下圆的标准方程教学设计

张鑫　于雪婧　赵迎春　布仁满都拉

摘 要：数学教师的教学内容知识（MPCK）是从舒尔曼提出的PCK理论中独立出来的，是近年来学术界教育领域研究的热点问题。MPCK与教师的工作经验密切相关，对课堂教学起着举足轻重的作用。本文在MPCK的视角下，对圆的标准方程教学内容进行设计，并分别以MK、PK、CK的分视角对各个环节进行分析。

关键词：MPCK;教学内容知识;教学设计;圆的标准方程

中图分类号：G424.1  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2022）04-0011-04

1 MPCK概念介绍

20世纪80年代中期，美国学者舒尔曼提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），给出了“PCK”（Pedagogical Content Knowledge）的概念[1]。此后，以Grossman为代表的国外许多学者对PCK的内涵进行了解读和研究。2000年，PCK引起以白益民为代表的国内学者的关注，并迅速成为教师知识研究领域的热点[1]。PCK有“学科教学知识”“教学内容知识”等翻译方式，这里采用后一种译法。若结合数学学科来分析PCK，即数学教学内容知识[2]（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，MPCK），释义为数学教师从事数学教学所应具备的核心知识[2]。黄毅英教授将MPCK分成MK（Mathematics Knowledge，数学学科知识）、PK（Pedagogical Knowledge，一般教学法知识）、CK（Content Knowledge，数学学习知识）三个角度[3]，三者互相影响，MPCK是三者的公共部分（见图1），且会随着教师教学经验的增长而增长。

在数学教学中，教师往往需要综合运用这3类知识，才能够把科学形态的数学有效地转化为教育形态的数学知识[4]。目前，世界各地的教育形势均表明，教师仍是学与教的核心[1]。而MPCK是决定一名教师的认知活动的基础，对教学活动起着举足轻重的作用。教师进一步理解和使用这样的知识，可以有效地提高课堂教学的效率。

2 MPCK视角下圆的标准方程教学设计

本文以圆的标准方程为例，简述从MPCK的视角分析、设计教学的过程。圆的标准方程选自人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》，主要包括圆的标准方程及其应用等内容。

2.1 教学目标

教师设计教学目标时，可结合MPCK的理论进行分析。

本节课教学难点在于使学生利用初中学习过的“圆的定义”，将圆的定义抽象化为平面直角坐标系之中坐标点的位置关系，推导得出圆的标准方程并应用。教师需要让学生理解：圆的定义并不是仅需死记硬背的普通文本，而是客观描述圆实际存在的性质的数学语言。

结合MPCK的3个分视角做分析如下。

（1）从MK的角度来说，在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中，对本节课的相关规定有：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程[5]。学生在初中已经学习过圆的定义等基本知识，在高中已经学习过使用代数语言描述直线的几何特征。对该问题的设计，可以按照从文字语言、图形语言转向代数语言，进而推导方程的顺序进行。

（2）从PK的角度来说，本节课适合以现实情境引导学生思考，同时渗透课程思政，故设计使用“讨论法”开展教学。学生以小组为单位，围绕“用代数的方法，结合圆的定义在平面直角坐标系之中表示圆”的问题展开讨论，自行推导出圆的标准方程。

（3）从CK的角度来说，高一学生语词逻辑记忆、有意记忆、意义记忆越来越成为记忆的主导，但从具体到抽象的认知能力和语言总结归纳能力较为欠缺。考虑使用动画图像直观进行引导，使学生通过课上的探究，归纳、概括所发现的圆的标准方程并使用严谨的数学语言进行表达。在实际教学中，还应结合学生实际情况，考虑学生最近发展区，适当对讲授方法做出调整和取舍。

根据以上分析，制定教学目标如下：

（1）通过类比直线方程的推导过程，能推导并掌握圆的标准方程;通过例题的训练，会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程。

（2）通过例题中的建系、画图操作，培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。

（3）通过创设情境注入课程思政，挖掘课程思政元素，激发学生的爱国情怀。

（4）通过探索圆的标准方程的知识与特点，使学生进一步感受数学中蕴含的对称美与和谐美。

2.2 设计贴合实际的情境，引导探究核心问题

根据MPCK组成之中的MK部分，本节内容是立足于初中所学知识及上一章内容的基础，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，也为后续学习其他圆锥曲线的方程奠定基础;根据PK部分，可以考虑以当前的社会热点问题作为情境引入，让学生感受学习本节内容的必要性，渗透课程思政元素;根据CK部分，引导学生使用小组讨论的学法开展圆的标准方程内容的学习是围绕“学习共同体”的理念，让学生感悟蕴含于平面解析几何中的“数形结合”思想（见图2）。

问题一 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在我国举行，请同学们观察图中的奥运五环标志，回答以下问题：这个标志是由什么几何图形组成的？這些几何图形有什么异同？

问题二 天津之眼摩天轮直径110米，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一（见图3）。2020年2月，为致敬奋斗在抗疫一线的医务工作者，自疫情结束恢复营业后至2020年12月31日，天津之眼对全国医务工作者实行免门票。请同学们回答以下问题：当摩天轮上的一个箱体绕着轴旋转一周，会形成一个什么几何图形？这个几何图形的定义是什么？

问题三 能否类比直线方程的建立过程，建立平面直角坐标系，使用“代数”的表达方法来表示圆？

问题四 设圆心A为（a，b），半径为r，M（x，y）点是圆上任意一点，根据定义，圆应该如何用代数的方式表示？

从MK的视角来看，两个问题的设计引导学生回忆了圆的定义和确定一个圆的基本要素（圆心、半径），教师重视该部分知识在整个数学知识体系之中的作用，有助于学生形成自己的知识体系。

从PK的视角来看，本部分内容是本节的核心重难点内容，教师情境引入利用图像和动画进行直观引导，从情境引入到学生自主讨论的过渡使用问题串，不仅能完成从旧知到新知的过渡，也使得课堂能在较为轻松的環境下开展。同时，对奥林匹克运动会及当前新冠疫情的描述还能够升华学生的爱国主义情操，激发学生努力学习报效祖国的学习动机，完成课程思政教学目标。

从CK的视角来看，培养学生利用“代数”的方法解决平面几何问题的能力，有利于实现学生思维中形和数的统一，促进学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学核心素养的发展。

2.3 当堂练习，学以致用

从MPCK之中MK的角度，“应用圆的标准方程解决问题”属于本节课的重难点，设计有梯度的课堂习题、解决情境导入的问题是巩固本节所学知识、突破本节课难点的有效措施，能够重点提升学生“数学运算”的核心素养;从PK的角度，考虑课堂教学采用问题—启发的教学模式，锻炼学生解题技能;从CK的角度，合作学习的学法体现学习共同体的理念，能够保证课堂思维流量。根据以上分析，设计课堂习题如下。

例1 一个圆的圆心为A（2，-3），半径长为5， 写出这个圆的标准方程。

练习1 求圆的圆心及半径

（1）x2+y2=4;

（2）（x-1）2+y2=1;

练习2 写出下列圆的方程

（1）圆心在原点，半径为3;

（2）圆心在（-3，4），半径为。

练习3 请尝试自己建立平面直角坐标系，写出情境二中“天津之眼”所在圆的标准方程。

练习4 根据以下条件写出圆的标准方程。

（1）写出经过点P（5，1），圆心为C（6，-2）的圆的标准方程。

（2）写出以线段PQ为直径的圆的标准方程，其中P（6，3），Q（4，9）。

问题一 请回答以下问题。

（1）方程（x-1）2=9-（y+3）2表示一个什么样的图形？

（2）方程x2+y2=0表示一个什么样的图形？

问题二 在刚刚做过的例题中，圆心为A（4，-6），半径为3的圆标准方程是（x-4）2+（y+6）2=9，问：如何判定M1（5，-7）和M2（-，-1）这两个点是否位于圆上？你是怎样判断出来的？

从MK的视角来看，前半部分的课堂始终围绕从圆心坐标、半径长度等元素推导圆的标准方程的逻辑进行教学，问题三、四则是引导学生已知圆的标准方程，去反推圆的其他元素。从另一个角度了解圆的标准方程所表达的意义，能够使学生对本部分知识达到更深的理解层次。

从PK的视角来看，教师使用问题—启发的教学模式，穿插板演、抢答等方法，首先带领学生运用新知识共同完成问题，再留给学生独立解决问题的空间，使学生不断经历独立思考—合作交流的过程，能极大地提升学生解决问题的能力。

从CK的视角来看，通过对同一个知识点正反双向的题目训练，学生能够体会运用代数法和几何法解决问题的特点，能够深度理解圆的标准方程的概念，发展数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

2.4 畅所欲言，总结课堂

根据MPCK中MK的角度，知识之间存在互相关联的网络，教师应帮助学生梳理巩固本节课的知识脉络（见图4），即确定一个圆的基本要素、圆的定义以及圆的标准方程，使学生达到更深的理解层次，帮助学生形成知识体系;从PK的角度，教师在课堂总结部分应给学生足够的自由发言空间，目的是通过课堂小结，尽可能地发现学生还未解决的问题;从CK的角度，学生自己梳理、总结知识脉络，是扎实数学基础、发展数学核心素养的有效途径。

从MK的视角来看，教师在本部分，按照以下方面紧扣本节课重难点进行引导总结。

（1）圆的定义与圆的标准方程息息相关。

（2）圆的标准方程与现实世界息息相关，是接下来要学习的其他平面解析几何知识的基础。

（3）推导圆的标准方程的方法及其反映的数学思想。

（4）利用圆的标准方程解决数学问题的要点。

在总结过程中，教师应适时点拨提问，并伴有鼓励性语句，让学生自我表达，提升语言总结能力和表达的精确性，体会数学要求时刻精确的思想。

从PK的视角来看，教师要求学生自由发言，课堂的学习氛围良好。

从CK的视角来看，课堂总结的思路逻辑清晰，层层递进，严密精准，学生能够很好地思考、举证、讨论，便于教师发现问题、引导学生解决问题。

3 结语

本节课的设计思路如下。

（1）通过现实情境使学生回顾圆的定义。

（2）结合情境描述圆的基本要素和几何特征。

（3）结合具体问题合理建立平面直角坐标系。

（4）使用代数语言描述圆的几何特征。

（5）得到圆的标准方程。

主要设计理念是在MPCK的视角下，坚持问题导向的方法，对学生形成有效的思维引领，帮助其塑造科学严谨的数学思维习惯，引导学生自主发现问题、分析问题，最后解决问题。

通过以上剖析，提出对教师的建议：

（1）不轻视数学中的任何一个问题，从学生立场解释知识、表征知识[6]。很多时候，教师对教学内容存在“想当然”的态度，容易使用“这是固定规则”“易证”“容易得到”等词汇。教师深入挖掘教材，站在学生的角度对每个可能的问题进行深度思考，在发现问题、解决问题的过程中引导学生深入探知、深度理解，是切实提升自身MPCK水平的有效途径。

（1）注重提升自身的数学知识。从建构主义的观点来看，教师的数学知识向数学教学内容知识转化，最终生成MPCK的过程是一个动态的建构过程，它需要教师在真实的教学情境中自主建构[7]，需要以教师自身高水平的学科知识为基础。

（3）重視教授知识过程中情境的重要性。学生要学习知识，知识为学生成长服务。知识具有情境性、实践性、个体性等性质[7]，教学活动中构建情境，能很好地兼容知识的性质，极大地提升教学效果。教师应结合数学史、实事、课程思政等设计情境，使学生体会到学科与人的关联，成长为完整的人。

（4）高水平的MPCK得益于教师从新手时期就开始的不断努力和思考。只有教师主动以理解数学知识和学生学习情况为前提，对每一节课进行再创造，整合教法知识与学科知识，积极对自身MPCK进行建构，才能切实提高专业能力。

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参考文献：

〔1〕陈子蔷，胡典顺，何穗.中国目前MPCK研究综述[J].数学教育学报，2012，21（05）：15-18.

〔2〕李渺，宁连华.数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义[J].数学教育学报，2011， 20（02）：10-14.

〔3〕黄毅英，许世红.数学教学内容知识—结构特征与研发举例[J].数学教育学报，2009，18（01）：5-9.

〔4〕胡典顺，何穗.MPCK视角下的指数函数的单调性[J].数学通报，2012，51（04）：16-18+21.

〔5〕中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

〔6〕李伟胜.学科教学知识（PCK）的核心因素及其对教师教育的启示[J].教师教育研究，2009，21（02）：33-38.

〔7〕童莉.数学教师专业发展的新视角——数学教学内容知识（MPCK）[J].数学教育学报，2010，19（02）：23-27.

收稿日期：2022-03-07

通讯作者：赵迎春（1983—），女，内蒙古兴安盟人，副教授，硕士生导师，研究方向：微分算子谱理论及其应用，学科教学论。

基金项目：赤峰学院教育硕士专业学位人才培养与基础教育教学专项（cfxyjyss12026）