群的概念教学中几个有限生成群的例子

2022-05-13 13:12霍丽君
科技资讯 2022年6期
关键词:同音同构矩阵

摘 要:群的概念是抽象代数中的最基本的概念之一,在抽象代数课程的教学环节中融入一些有趣的群例,借助于这些较为具体的群例来解释抽象的群理论,对于激发学生的学习兴趣以及锻炼学生的数学思维能力等方面都會起到一定的积极作用。该文介绍了一种利用英文字母表在一定的规则下构造的有限生成自由群的例子,即该自由群的同音商,称为英语同音群。此外,该文结合线性代数中的矩阵相关知识,给出了有限生成群SL_2 (Z)以及同构于二面体群D_3和三次对称群S_3的若干有限生成群。

关键词:群英语同音群矩阵群对称群二面体群

中图分类号:O151.2  文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2022)03(a)-0000-00

Several Examples of Finitely Generated Groups

HUO Lijun

(School of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing, 400054 China)

Abstract: The concept of group is one of the most basic concepts in abstract algebra. If we integrate some interesting examples of group into the teaching process of abstract algebra and use somespecific group examples to explain the abstract group theory, then it will have a positive effect on stimulating students' interest in learning and improving the students' mathematical thinking ability.In this paper, we introduce an example of finitely generated free group by using the English alphabet under some certain rules, which is called homophonic quotients of free groups, or briefly called English homophonic group. In addition, combined with the theory of matrix in linear algebra, we give a finitely generated groupSL_2 (Z)andseveralfinitely generated groups which isomorphic to the dihedral groupD_(3 )andthesymmetric groupon 3 lettersS_3.

Key Words: Group; English homophonic group; Matrix group; Symmetric group; Dihedral group

1 引言及准备知识

群是代数学中一个最基本的代数结构,群的概念已有悠久的历史,最早起源于19世纪初叶人们对代数方程的研究,它是阿贝尔、伽罗瓦等著名数学家对高次代数方程有无公式解问题进行探索的结果,有关群的理论被公认为是19世纪最杰出的数学成就之一[1-2]。群是一个较为抽象的概念,然而这里所谓的“抽象”并非“具体”的反义词,它实质上是将研究对象的本质提炼出来,加以高度概括进而描述其特点。在概念教学中经常举一些群的例子使概念具象化,在这一重要的教学环节中列举一些较为有趣的例子会使得课堂教学更为形象而生动。该文将结合相关英语知识的学习以及线性代数中矩阵理论来给出若干有限生成群,它们都是有限生成群的基本群例。

下面给出有限生成(自由)群、等价关系以及商群等基本概念。

定义1[3]:设G是群,M是G的任一子集,则称G的所有包含M的子群的交为由M生成的子群,记为⟨M⟩,由有限多个元素生成的群叫做有限生成群。

定义2[4]:设S为任意集合,S^(-1)=\{x^(-1) | x∈S\},集合S∪S^(-1)中有限个元素x_1,x_2,…,x_n连在一起即x_1 x_2…x_n叫做一个字,用F(S)表示所有这样的字(包括空字1)组成的集合,即

这里当n=0时,规定a_1 a_2…a_n=1。在F(S)中字x_1 x_2…x_n和y_1 y_2…y_m相等,如果n=m,且x_i=y_i,1≤ⅈ≤n,同时定义两个字的运算为

约定对任意a∈F(S),aa^(-1)=a^(-1) a=1,且1a=a1=a。此时F(S)中每个元素均有逆元,如a的逆元为a^(-1),从而F(S)对于上述运算和约定成群,叫做集合S上的自由群,S叫做此自由群的基。如果S是有限集,则F(S)叫做有限生成自由群。

自由群有着重要的作用,每个群都是自由群的商群,每个有限生成群都是有限生成自由群的商群[4]。

定义3[4]:设A是集合,集合A×A的每个子集R叫做集合A上的一个关系,如果(a,b)∈R,便称a和b有关系R,集合上的关系叫做等价关系如果它满足自反性,对称性和传递性。

特别地,如果A是一个乘法群,对A∕~中的元素a ̅,b ̅定义a ̅b ̅:=(ab) ̅,则A关于等价关系~的商集A∕~也是一个群,称为商群。

2 有限生成群的构造举例

2.1 同音群的构造

在群的研究中,有限生成群是群论研究的重要对象之一。不同于以往常见的直接给出群例的方法,下面该文结合英语单词介绍一个由英文字母表生成的群。设S是26个英文字母构成的集合,F(S)是S上的有限生成自由群。如果两个不同的英语单词的音标在字典里是相同的,那么就说它们是同音的。在F(S)上如下定义一个关系:单词A和B是等价的,如果它们是同音的。例如:bee和be的发音相同,则bee=be,再由消去律,等式两边消去be得到e=1,这里1表示同音群F(S)的单位元。显然英文单词之间的同音关系满足自反性、对称性和传递性,进而是一种等价关系。令G是自由群F(S)在此等价关系下的商,称为英文同音群[5-6],下面考察G的结构。

众所周知,即便是2生成元群在满足一定的有限性条件时都可能有非常复杂的结构,那么在这样的规定则下,在26个英文字母中有多少个等价的字母直接决定了该群的复杂程度。通过考察音标相同的词汇[7-9],易得以下结论:

(1)plum=plumb[plʌm] ⇒b=1;

(2)four=for[fɔːr] ⇒u=1;

(3)son=sun [sʌn] ⇒o=u=1;

(4)bee=be [biː] ⇒e=1;

(5)wring=ring [rɪŋ] ⇒w=1;

(6)hour=our[aʊr] ⇒h=1;

(7)knew=new[nu:] ⇒k=1;

(8)scent=sent [sent] ⇒c=1;

(9)yap=yapp [jæp] ⇒p=1;

(10)farther=father[ˈfɑːðər] ⇒r=1;

(11)primmer=primer[ˈprɪmə] ⇒m=1;

(12)would=wood[wʊd] ⇒ul=o,再由o=u=1得l=1;

(13)threw=through[θruː] ⇒ew=ough,再由e=o=u=w=h=1可得g=1;

(14)jeans=genes[dʒi:nz] ⇒j=g=1;

(15)hair=hare[her] ⇒ir=re⇒i=1;

(16)dye=die[daɪ] ⇒y=i=1;

(17)band=banned[bænd]⇒ne=1, 再由e=1得n=1;

(18)sea=see[siː]⇒a=e=1;

(19)pique=peak [piːk] ⇒ique=eak, 再由i=q=e=a=k=1可得q=1;

(20)sent=cent[sent] ⇒s=c=1;

(21)which=witch[wɪtʃ] ⇒hi=it,再由i=1可得t=1;

(22)guessed=guest [ɡest]⇒sed=t,再由 s=e=1可得d=t=1;

(23)pries=prize[praɪz] ⇒es=ze⇒z=s=1;

(24)profit=prophet [ˈprɑːfɪt]⇒f=phe,进一步由p=h=e =1可得f=1;

(25)由wax=whacks[wæks], 以及a=h=c=k=s=1得x=1;

(26)chivvy =chivy[ˈtʃɪvi] ? v=1。

由上面的推理可知同音群G事实上就是以单位元为元素的群,即单位元群。

2.2 由矩阵构造的有限生成群

在学习群的例子时,一般都会提到在数域F上的全体n阶可逆矩阵在矩阵乘法下构成一个矩阵群GL_n (F),称为一般线性群,其中所有行列式为1的可逆阵组成的群SL_n (F)称为特殊线性群。下面考察由两个二阶矩阵生成的群。

例:设Z为整数环,定义

S=((0&1@-1&0)),T=((1&1@0&1))

则S和T生成Z上的一个无限群,即特殊线性群SL_2 (Z)。事实上,易知T^k=((1&k@0&amp;1)),任取SL_2 (Z)中的元素A=((a&b@c&d)),如果cd≠0,由于矩阵A的行列式等于1,有(c,d)=1,由整数的带余除法d=cq_1+r_1其中0≤r_1<|c|,则可对A进行如下列变换:

其中b_1=b-aq_1,进一步上式两端右乘S得,((a&b@c&d)) T^(〖-q〗_1 ) S=((〖-b〗_1&a@〖-r〗_1&c)), 如果r_1≠0,则可以重复上面的步骤,因为(c,d)=1,((a&b@c&d))总可以经过以类似上面的初等变换化为((1&b'@0&1)),又注意到((1&b'@0&1))=T^b',从而任意A∈SL_2 (Z)都可以写成有限多个S,S^(-1)和T的乘积,即SL_2 (Z)由S和T生成。

下面该文利用GL_2 (F)中的元素去构造一个群,给出一个简单易懂的由两个二阶可逆矩阵生成的有限群。

例:令矩阵A=((0&-1@1&-1)),B=((1&-1@0&-1))∈GL_2 (F),现考察由A,B这两个元素生成的群会是什么结构。

定义该群的运算为通常意义下矩阵的乘法运算,单位元为GL_2 (F)中的单位矩阵I_2。通过计算容易得到:

即A,B的阶分别是3和2,且A,B满足关系:ABA=B,即B^(-1) AB=A^(-1)。从而该文得到由A,B生成的群是这样一个6阶群⟨A,B⟩={I_2 〖,A,A〗^2,B,AB,A^2 B=BA}。通过考察二面体群的结构容易知道该群同构于二面体群D_3。此外,较为熟知的三次对称群S_3的生成元a=(123),b=(12)也满足a^3=1,b^2=1,且b^(-1) ab=a^(-1),因此⟨A,B⟩和S_3也是同构的,在同构的意义下它们是相同的。

事实上,三次对称群S_3的矩阵表示形式是多样的,如根据二面体群D_3的几何意义,S_3可以同构于二阶矩阵M,N生成的群⟨M,N⟩,其中

3 结语

在教学过程中,结合数学内外的知识,将一些有趣味的数学活动渗透到抽象代数的教学过程中,可以让学生在潜移默化中体会抽象的数学思维方式,同时对于激发学生的学习兴趣以及提升课堂有效性方面都要重要的意义。

参考文献

[1]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,2002:231-256.

[2]GRAY J.A History of Abstract Algebra:From Algebraic Equations to Modern Algebra[M].Cham:Springer,2018:281-286.

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[4]冯克勤,李尚志,章璞.近世代数引论(第4版)[M].中国科学技术大学出版社,2018:49-52.

[5]ARTIN M.Algebra[M].Beijing:ChinaMachinePress,2020:37-77.

[6]MESTRE F,SCHOOF R,WASHINGTON L,et al.Quotients Homophones des Groupes Libres Homophonic Quotients of Free Groups[J].Experimental Mathematics,1993,2(3):153-155.

[7]刘明旋.英文同音字手册[M].北京:外文出版社,2000.

[8]约翰·辛克莱.同音异义词[M].张少伯,译.北京:商务印书馆,2020.

[9]胡俊美,胡作玄.美国代数学的崛起——以群论的萌起与发展为视角[J].自然辩证法通讯,2016,38(6):68-74.

基金项目:重庆理工大学本科教育教学改革研究项目(项目编号:2018QN06)。

作者简介:霍丽君(1983—),女,博士,讲师,主要从事代数学研究。

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