超低频波与带电粒子的非线性相互作用

李 莉，周煦之，宗秋刚

北京大学地球与空间科学学院，北京 100871

0 引言

地球磁层中存在着丰富的等离子体波动，包括频率在mHz 范围的超低频波，频率在Hz 范围的电磁离子回旋波以及频率范围在kHz 量级的哨声波，这些波动在辐射带能量粒子的加速、输运和损失过程中扮演着至关重要的角色.超低频波的尺度与磁层大小相当，很容易受到磁层结构的影响，从而能够反映磁层的动态变化（Cummings et al.,1969;Chen and Hasegawa,1974;Kazue and McPherron,1984;Kivelson and Southwood,1985;Anderson et al.,1990）.超低频波根据其扰动方向的不同，可分为极向和环向两种模式.极向模的磁场和电场扰动分别在径向和方位角方向上，环向模的磁场和电场扰动则与之相反，分别在方位角和径向方向上.内磁层中的能量粒子具有典型的平行于磁场的弹跳运动和垂直于磁场的漂移运动，当超低频波的频率与带电粒子的弹跳或漂移运动的频率一致时，波与粒子之间就能发生漂移共振或漂移弹跳共振，从而完成能量的传递，实现对带电粒子的加速（Mann et al.,2013;Liu et al.,2016;Sarris et al.,2017;Zong et al.,2017）.

Southwood 和Kivelson（1981）首次提出了极向模超低频波与带电粒子的漂移共振理论，给出了漂移共振的发生条件：mωd=ω，其中m是方位角波数，ωd和 ω分别是粒子的漂移角频率和波动频率.他们还根据理论预测出了探测器可观测的相互作用图像：当漂移共振发生时，高于和低于共振能量的粒子通量之间存在180º相位差.随着Van Allen Probes 等卫星的高质量观测数据的出现，人们对超低频波与粒子相互作用的认识也得到提升.Southwood 和Kivelson（1981）理论预测出的180º相位差被清楚地观测到，提供了在内磁层中存在漂移共振相互作用的明确证据（Zong et al.,2007,2009;Claudepierre et al.,2013;Dai et al.,2013;Foster et al.,2015）.然而1999 年以前，环向模超低频波一直被认为不能与粒子发生漂移共振作用，因为在方位角方向上漂移的粒子与环向模超低频波的径向电场垂直.Elkington 等（1999）提出，如果考虑日侧磁层的压缩，粒子的漂移运动在晨昏两侧会产生径向分量，此时这个分量与环向模超低频波的径向电场在同一个方向，从而可以发生相互作用.该理论得出的环向模漂移共振条件为 (m±1)ωd=ω，其中 ±1源于日侧磁层压缩产生的日夜不对称.自该理论提出后，环向模超低频波与带电粒子的漂移共振就被认为只能在特定的背景场（如较强太阳动压条件）中才能发生.Ukhorskiy（2005）指出，即使背景场存在高度不对称性，环向模超低频波的加速效率也很低，是一种高阶效应.因此早期研究基本上认为，两种模式的超低频波粒相互作用中，只有极向模波是重要的.环向模超低频波对磁层粒子的加速贡献很小.

近些年，超低频波与粒子的漂移共振作用有了新的突破.由于Southwood 和Kivelson（1981）的漂移共振理论中使用的超低频波模型显示其会一直增长而不衰减，并不符合真实情况，真实情况下由行星际激波激发的超低频波可以经历非常快速的增长过程（Zong et al.,2009;Hao et al.,2014），并且最终会衰减（Glaßmeier et al.,1984;Shen et al.,2015），同时越来越多的观测发现漂移共振发生时高于和低于共振能量粒子通量之间的相位差并不总是180º，因此漂移理论存在进一步改进的空间.Zhou 等（2016）通过引入随时间演化的波角频率虚部来表征波的增长与衰减过程，系统性地改进了漂移共振理论，理论预测的漂移共振图像也得到了相应的调整：在超低频波与粒子相互作用初期，从低能到高能粒子通量之间的相位差较小（小于180º），随后逐渐增大直到波增长到最大振幅时，该相位差可达到 180º；在超低频波的衰减阶段，该相位差会持续增大超过180º，具体表现为粒子通量谱中逐渐倾斜的条纹，直至相位混合效应使其衰减（Degeling et al.,2008;Zhou et al.,2015）.该特点在最近的卫星观测中已被明确鉴别（Zhou et al.,2016;Li et al.,2017）.在考虑时间演化过程中的漂移共振后，Hao 等（2017）、Li 等（2017a,2017b）继而考虑了空间分布的影响，通过在超低频波中引入磁经度上的局地分布特性，研究粒子在局地超低频波中的响应，理论预测与观测的高度吻合证明局地超低频波与粒子的漂移共振典型观测特征是相互作用初期就出现的显著倾斜（>180º）的粒子能谱条纹.Li 等（2017a）还利用地磁台站识别出了超低频波的局地分布特征.对于环向模超低频波，Li 等（2021）通过理论证明了即使在偶极磁场下其也可以与带电粒子发生漂移共振作用，共振发生条件与极向模相同，该结论从卫星观测上得到了证实.以上工作基于线性方法对漂移共振理论进行了比较详尽地扩展，促进了人们对超低频波与粒子相互作用过程的理解.

以上工作使用的线性方法，假设无论粒子从超低频波中得到还是损失能量，其轨道都是未扰的.此假设仅当粒子能量变化远小于其初始能量时才适用，对于振幅较大或持续时间较长的超低频波，其与粒子的相互作用无疑会改变粒子的运动轨迹，从而 产生显著的非线性效应（Li et al.,2018,2020,2021）.国内外有关超低频波与带电粒子的非线性相互作用的研究不多，Elkington（2003）简单讨论过非对称压缩磁层中粒子与超低频波作用后的非线性响应.Degeling 和Rankin（2008）认为超低频波可能会导致粒子大尺度的混沌运动，大尺度的径向扩散又可以改变空间梯度，从而能够为不稳定性提供自由能.Degeling 和Rankin（2008）也认为非线性漂移共振能在电子相空间密度分布中产生局地峰值，这种现象以前几乎只归因于高频波与粒子的相互作用（Horne et al.,2005;Chen et al.,2007）.

本文总结了近年来关于内磁层中超低频波与带电粒子的非线性相互作用的研究进展，其中第1 节为极向模超低频波与带电粒子的非线性漂移共振理论；第2 节为环向模的非线性漂移共振理论；第3节为超低频波与粒子非线性漂移共振的观测结果；第4 节讨论了非线性漂移共振的开放性问题，以供进一步研究参考.

1 极向模超低频波的非线性漂移共振理论

简单起见，我们考虑地球偶极磁场中90º赤道投掷角的非相对论带电粒子，并假设波沿方位角方向传播.极向模超低频波的电场扰动在方位角方向上，可以表示为：

其中Eφ为 超低频波的振幅，m为 方位角波数，φ为磁经度（向东为正），ω为波的角频率.由于基波和奇次谐波在赤道附近的磁场扰动极弱，该推导过程将忽略磁场扰动对粒子行为的影响.因此沿方位角方向漂移的带电粒子从超低频波中获得能量的平均变化率可表示为：

式中，W为粒子动能，L为无量纲的L 壳参数，RE为地球半径，ωd为粒子的漂移角频率（Northrop,1963），可以表示为：

其中BE是地球表面磁赤道处的磁场强度.由方程（3）可以看出，ωd会随能量W变化而变化，因此粒子的能量变化与初始能量相当时，未扰轨道假设将不再适用.由于超低频波的周期比粒子回旋周期大得多，第一绝热不变量 µ可视为是守恒的，粒子在径向上的运动会导致能量的变化.即粒子被加速时会在径向上向内运动，被减速时向外运动，该过程可以表示为：

将方程（4）带入方程（3）中消去L，可以得到：

此时，ωd仅随能量W变化，结合方程（2）和（4），可以得到方程（5）关于时间的导数：

该系统可以通过引入两个变量 ζ 和 θ进一步简化：

ζ 和 θ分别表示粒子在波静止参考系中的相位以及粒子与波的相对速度.当 θ=0时，粒子与波以相同的速度移动，满足漂移共振条件.基于方程（6）～8），可以得到：

可以看出方程（9）具有与单摆方程相同的形式，即粒子在超低频波中的非线性响应可以被一个简单的单摆方程所描述，因此粒子在波势阱中的捕获频率为：

从该式可以看出粒子的捕获频率与超低频波振幅的平方根成正比.注意这里我们假设局地区域的电场扰动沿径向有特定的分布使其旋度为零，从而暂时忽略磁场的压缩分量，不一样的电场分布会影响公式（9）中的系数，但不会影响单摆方程的形式，具体可见下一节有关环向模超低频波的理论推导.

通过从方程（8）和（9）消除t可以得到在ζ-θ相空间中粒子的运动轨迹：

该式的积分形式可以写为：

式中，不同C值代表不同的粒子轨迹，如图1a、1e所示，区别是电场大小不同（分别为1 mV/m 和6 mV/m）.这些电子的初始相空间位置用彩色空心圆圈表示，都在ζ=−9 0°、不同的 θ值处被释放，且第一绝热不变量 µ相同.图1b、1f 中分别表示电子能量随ζ 的变化；图1c、1g 分别表示相应L值 随ζ 的变化；图1d、1h 给出了超低频波电场（蓝色）和相应的静电势（橙色）.阴影和非阴影区域分别表示粒子被减速和加速的区域.对于非共振粒子（|θ|总是大于0），对应于图1a 中的洋红色、紫色、绿色、橙色线，图1e 中的紫色和绿色线，因为mωd>ωr或是mωd<ωr，这些粒子会在势阱中穿行而过，不能被势阱捕获.对于共振粒子（蓝色），由于最初位于非阴影区域，会被波场加速，对应θ和 ζ的增大，即向上和向右移动，直至到达阴影区域开始减速（向右向下移动）；随后在 ζ=90°附近处粒子能量降回到共振能量，开始向左向下移动；最终回到初始位置形成相空间中的一条闭合轨迹，捕获在势阱当中.

注意当超低频波电场增大时，势阱会加深，如图1h 所示，原先穿行的粒子可以被捕获在势阱中（例如图1e 中的橙色和洋红色）.也就是说，粒子在θ、能量和L上的捕获宽度与超低频波的振幅有关，该宽度可定义捕获与非捕获区域的分界线.由于分界线必须经过 ζ=1 80°、θ=0这一鞍点（图1a、1e 中的红点），将该点代入方程（12），可以得到分界线方程：

图1 超低频波场中电子的相空间轨迹.左列和右列分别对应不同的波幅.横轴表示电子在波的静止参考系中的位置ζ.前三栏纵轴分别表示θ、电子能量和 L值.最后一栏纵轴显示了波电场和相应的静电势Fig.1 Phase portrait of sample electron trajectories in the ultralow frequency wave field.The left and the right columns correspond to the cases with different wave amplitudes.The horizontal axis represents ζ,the phase of electron location in the rest frame of the waves.The vertical axes represent (a,e) θ,(b,f) electron energy,(c,g) L location,and (d,h) the profiles of the electric wave field and the corresponding electrostatic potential

由方程（13）可知捕获电子 θ的最小和最大值分别为 −2ωtr和 2ωtr，根据方程（4）和（5），还可以分别得到ζ −W和ζ −L的分界线，如图1b、1c、1f、1g中的黑色虚线所示.

2 环向模超低频波的非线性漂移共振理论

对于环向模超低频波，其径向方向的电场形式可以简化为：

其中Er表示波的振幅，根据法拉第定律，我们可以得到波在背景场方向上携带的磁场分量为：

其中RE表示地球半径，B∥在方位角方向上的梯度会使粒子产生径向的漂移速度，用 L壳的变化率可以表示为：

粒子在方位角方向上的漂移速度，包括E×B漂移和磁场梯度漂移，可以表示如下：

其中第一项是偶极磁场下粒子的梯度漂移速度，第二项是由B∥在径向上的梯度产生的漂移速度，第三项是超低频波电场产生的E×B漂移速度.由方程（7）和（8）可以得到θ 关于时间的导数：

将方程（15）～（17）代入到方程（18）中，可以得到：

由方程（19）可以看出，当h2和h3小到可忽略不计时，形式与方程（9）类似，共振的粒子以捕获频率被捕获在波势阱中.当dθ/dt=d2ζ/dt2=0时，满足二阶共振条件.当h2和h3不能被忽略时，粒子运动就会变得更加复杂.通过从方程（7）和（19）消除t可以得到在ζ-θ相空间中粒子的运动轨迹：

其积分形式可以表示为：

为了理解粒子轨迹（27）式，将其等号左边分解为分别由h1和h2控制的方程：

并分别将方程（27）～（29）对应的粒子轨迹展示在图2 中，三式选取了相同的波场参数Etoroidal=1 mV/m，T=220 s，m=55，大量共振电子在t=0时被释放，第一行显示了（θ,ζ,L）空间中的三维电子运动轨迹，第二行对应于第一行轨迹在（θ,ζ）空间中的投影.红色和黑色星号对应三维和二维空间的相同位置，以便更好地展示电子轨迹形成的共振岛的拓扑结构.图2I 栏中的电子轨迹与图1 相似，是关于 θ=0 对称的共振岛.图2II 中由于 cos2ζ的存在使得一个波长内产生了两个共振岛，每个共振岛都表现出很强的不对称性.图2III 栏可以被视为图2I和图2II 轨迹的叠加.由于在 ζ=π/2附近图2I 和图2II 的叠加，图2III 栏中的共振岛关于 θ=0不对称，延伸到了更广的 θ值上.但由于图2II 中位于势阱两边的半个共振岛与图2I 中的鞍点（ζ=−π/2 和ζ=3π/2）重合，不会影响图2I 中共振岛的拓扑结构.

图2 电子在超低频波场中的相空间轨迹，分别对应于方程（28）、（29）和（27）Fig.2 Contour maps of the equations (28),(29) and (27) for toroidal ULF wave.Top panels and bottom panels show the three-and two-dimensional electron trajectories,respectively.Values of C1,C2 and C are indicated by different colors

3 超低频波与粒子非线性漂移共振的观测

接下来我们考虑非线性波粒相互作用的可观测图像，这可以通过计算与波发生相互作用的粒子从波中获得的能量W来实现.为此我们建立相关的超低频波模型，如图3a 所示.这里采用与图1 一致的参数，设置相共振能量为54 keV.为了保证有限的波粒相互作用时间，此模型下假设超低频波的振幅从0 s 时的0.2 mV/m 指数增长到2 000 s 时的6 mV/m.通过沿粒子的未扰轨道将方程（2）积分到t=−∞可以得到线性理论的 δW，如图3b，可以看出线性方法能够得到从低能到高能粒子 δW上的180º的相位差.非线性理论计算结果如图3d 所示，当波场较弱（t<700 s）时，结果与线性计算的类似，存在180º相位差；然而随着波振幅的持续增长，共振能量附近出现了卷曲结构.对于电子在有增长与衰减的超低频波下的响应我们也给出了类似的分析，超低频波电场模型展示在图3i 中，其中假设波增长的时间尺度为90 s，衰减时间尺度为400 s.根据线性理论计算得到的电子能谱显示出与Zhou 等（2016）理论框架中一致的逐渐倾斜的条纹，如图3j 所示.考虑非线性效应后，逐渐倾斜的条纹在t=400 s 开始演化为卷曲结构，如图3l 所示.为了与卫星信号作对比，我们将 δW能谱图转换为相空间密度的变化 δf，两者的关系可被表示如下：

图3 理论预测的电子响应.（a）超低频波持续增长的电场；（b）线性理论计算的电子能量变化谱图；（c）线性理论计算的电子剩余相空间密度谱图；（d）非线性理论计算的电子能量变化谱图；（e）非线性理论计算的电子剩余相空间密度谱图；（f～h）对图（e）栏中的31.5 keV、53.8 keV 和79.8 keV 能档的小波谱图.右图与左图形式相同.但图（i）显示了超低频波携带有限时间尺度的电场Fig.3 Predicted electron signatures at a fixed,virtual spacecraft location.The left and right columns correspond to ULF waves with increasing amplitudes and with a finite lifespan,respectively.(a,i) The electric wave field;energy spectrum of the electron energy gain/loss from ULF waves,obtained from (b,j) the linear and (d,l) the nonlinear theories;energy spectrum of the electron residual PSD at each energy channel,obtained from (c,k) the linear and (e,m) the nonlinear theories;(f～h) and(n～p) wavelet power spectrum of the electron residual PSD obtained from the nonlinear theory,in the 31.5 keV,53.8 keV and 79.8 keV energy channels

遵循Zhou 等（2016）假设一个相空间密度分布，利用方程（30），采用与Van Allen Probes 卫星上MagEIS 仪器相同的能档结构，可将图3b、3j转换成图3c、3k，同时非线性结构图3d、3i 也可被转换成图3e、3m.注意图3e、3m 与图3c、3k 中的线性理论结果相似，这是因为粒子探测器的能量分辨率有限，使得精细的卷曲结构很难被识别，探测器对粒子某一能档的测量实际上包含着多个能量的响应，这些不同的响应通常会因为相位混合效应相互抵消（Schulz and Lanzerotti,1974）.为了将非线性漂移共振更好地识别出来，我们对每个能档做小波分析，功率谱见图3f～3h 和图3n～3p.这些小波谱都显示了大约110 s 周期的主峰，与超低频波周期一致，而在53.8 keV 共振能档附近，逐渐出现了一个在 55 s 周期（超低频波周期的一半）的次峰.实际上如果该非线性相互作用能够持续更长的时间，电子相空间密度振荡的小波谱可以表现出更高频率的次峰.因此探测器能量分辨率有限的情况下，线性和非线性漂移共振之间可分辨的区别出现在共振能量附近的能档，虽然线性和非线性的结果都显示出了超低频波频率上的振荡（小波谱主峰），但只有在非线性结果中，除了主峰之外，还存在更高频的周期性扰动（小波谱次峰），该次峰的存在和位置对相空间密度的假设不敏感.该特征可以作为非线性漂移共振发生的诊断证据.

基于Van Allen Probes 卫星观测，图4 展示了2014 年6 月7 日发生的超低频波与电子的非线性漂移共振事件.电场、磁场和电子数据是由EFW、EMFISIS 以及MagEIS 仪器提供的.图4a 为该事件的电场Ey和Ez分量，清楚地显示了大约发生在16:51:50 UT（垂直虚线标注的时间）的超低频波动，周期为110 s.图4b 中Ey的小波功率谱也可以看出周期为110 s 的超低频波动.图4c 为31.5～143.5 keV能档的90°投掷角的电子通量，以与超低频波相同的频率振荡.

图4d 显示了电子的剩余通量 (J−J0)/J0，其中J为原始通量，J0是J的滑动平均.由于能量分辨率有限，不能单从能谱图中识别出卷曲结构，因此我们通过小波分析检验小波谱中是否存在主峰之外的次峰.31.5 keV、53.8 keV 和79.8 keV 能档的电子剩余通量小波谱结果展示在图4e～4g 中，可以看出，这些能档均显示出了与超低频波周期相同的110 s 的周期，同时图4f 的53.8 keV 小波谱中有一个明显的周期为50 s（约为主峰周期一半）的次峰，出现时间为16:53:30 UT（超低频波激发2 min 后）.而该次峰不在其他能档小波谱中出现，这些特征与图3n～3p 中的理论预测非常相似，表明在该事件中发生了非线性漂移共振.注意到这里的次峰不能被解释为粒子与高次谐波的相互作用，虽然图4b 电场在16:56:30 UT 确实观测到了微弱的二次谐波，但53.8 keV 能档的次峰出现得更早，比16:53:30 UT 早了3 min.此外，如果是二次谐波调制了电子通量，那么次峰应该出现在所有能档中，而不是单一能档，因此可以推断该事件中确实发生了非线性漂移共振过程.Van Allen Probes 卫星观测到的这些特征，为非线性漂移共振提供了第一个观测证据，突出了非线性效应在理解内磁层超低频波粒相互作用中的重要性.

图4 Van Allen Probes 卫星2014 年6 月7 日的超低频波事件的观测.（a）电场 Ey和 Ez；（b）Ey小波功率谱；（c）多个能档的90°投掷角的电子通量；（d）电子剩余通量；（e～g）31.5 keV、53.8 keV 和79.8 keV 能档的电子剩余通量的小波功率谱Fig.4 Van Allen Probe A observations of an ULF wave event on 7 June 2014.(a) The electric field Eyand Ez;(b) Wavelet power spectrum of Ey;(c) 90° pitch angle electron fluxes at multiple energy channels;(d) Energy spectrum of the electron residual fluxes;(e～g) Wavelet power spectra of electron residual fluxes in the 31.5 keV,53.8 keV and 79.8 keV energy channels

4 未来展望

本文对超低频波与带电粒子的非线性漂移共振进行了总结和回顾.带电粒子的非线性捕获运动可以用单摆方程来表示，据此可以确定捕获轨迹的周期和宽度.如果粒子数据的能量分辨率足够高，我们期待在粒子能谱中看到卷曲的结构，这种卷曲结构的形成时间与势阱内共振粒子的捕获周期密切相关.但由于观测精度的限制，目前还不能直接通过粒子能谱上的卷曲结构确定非线性漂移共振的发生.在缺乏高分辨率数据的情况下，非线性漂移共振最明显的观测特征是共振能量附近的多周期振荡.Van Allen Probes 卫星已经观测到了这些特征，为非线性漂移共振提供了第一个观测证据，突出了非线性效应在磁层粒子动力学中的重要性.关于非线性漂移共振目前仍然存在着尚未解决的问题.下面列举几个方面，为希望开展此方面工作的读者提供一些参考.

（1）本文讨论的非线性相互作用仍处于单共振岛下.可以想象，当多个共振岛同时存在时，特别是当共振岛的边界相互重叠时，粒子运动将更加复杂.粒子通过穿越多个共振岛，从而经历显著的能量变化.研究这个问题将有助于我们理解辐射带粒子动力学，以及太阳系中其他行星、宇宙中的系外行星的粒子动力学.同时，观测中经常看到的局地超低频波可以认为是多个不同波数的波动叠加的结果，这也可以导致多个共振岛的存在，从而有效加速内磁层带电粒子.

（2）在目前的漂移—弹跳共振理论分析中，仍然假设粒子的轨迹不随能量变化而改变，当有大振幅或长周期的超低频波导致粒子能量发生剧烈变化时，该假设不再适用.因此可以尝试量化漂移—弹跳共振过程中的非线性效应.非线性漂移—弹跳共振的可观测特征是什么? 非线性漂移—弹跳共振会如何影响超低频波的激发过程?

（3）对于环向模超低频波与粒子的相互作用，未来的工作可将由太阳风压缩日侧磁层的日夜不对称性导致的两个共振岛与新发现的共振岛共同考虑，来研究粒子的加速过程.也就是说，即使是单色的环向模超低频波，也可以同时产生三个共振岛，如果这些共振岛的边界能够重叠，粒子将产生混沌运动，也能诱发有效的能量转移.

（4）由以上总结可以看出，超低频波的压缩磁场分量在波粒相互作用中起着重要作用.近年来，超低频波经常与哨声波和电磁离子回旋波一起被观测到，哨声波和电磁离子回旋波这些高频波的重复性激发过程与同时观测到的超低频波周期相当，被调制的高频波会进一步沉降粒子，引起极光.超低频波通过径向扩散向外或向内传输粒子，因此有可能通过调制粒子进而影响高频波的激发过程，同时，超低频波的振幅有时可达几十nT，很容易改变背景磁场环境，因此也可能通过改变磁场梯度等影响高频波的激发过程，本文的相关理论对于研究超低频波对高频波动的调制有一定的参考价值.

致谢

感谢NASA Van Allen Probes卫星，尤其是EFW、EMFISIS、MagEIS 和HOPE 团队提供的数据.数据来源：http://em_sis.physics.uiowa.edu/Flight/和https://spdf.gsfc.nasa.gov/pub/data/rbsp/.