概率问题中的误区警示

■黄林平

概率问题中有许多概念看似相似,实则不同,非常容易混淆,初学时,不少同学由于对一些事件不能正确判断而造成解题错误,现就同学们易犯的错误类型进行归纳总结。

误区1:混淆“非等可能”与“等可能”

错解:至少有1 个白球与都是红球是互斥但不对立的两个事件。应选D。

正解:“至少有1 个白球”包含“1 个白球,1个红球”和“都是白球”,A 错误。“至少有1个红球”包含“1个白球,1个红球”和“都是红球”,B 错误。C 中的两事件互斥,但不对立,D 中的两个事件互斥且对立。应选C。

感悟:正确理解“互斥”与“对立”事件的联系和区别是避免出错的关键。两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生,而两个对立事件则表示它们有且只有一个发生。

误区3:混淆“有放回”“无放回”或“有序”“无序”

例3 把大小和形状完全相同的五个小球编号为1,2,3,4,5,放在一个箱子中混合摇匀,有放回地抽取两次,求取出小球的编号是2和4的概率。

错解:有放回地连续抽取两次,所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5),(5,5),共15种情况。

正解:有放回地连续抽取两次,必须考虑抽取顺序,所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共5×5=25(种)可能结果。

感悟:构建有序实数对的基本事件空间,可使“无序”转化为“有序”。有放回抽样和无放回抽样是两种不同的基本题型,有放回抽样必须考虑抽取顺序;无放回抽样可以考虑抽取顺序,也可以不考虑抽取顺序,当作一次性抽取。