学生经验：数学解题教学的基石——由“数列通项的放缩”教学引发的思考

⦿江苏省太仓高级中学 周艳东

1 引言

最近，笔者观摩了一堂高三二轮复习课.本节课是以微专题的形式进行的，主题为“数列通项的放缩”.众所周知，数列通项的放缩一直是教学的难点、学生的痛点、高考的热点.数列放缩形式多变，技巧性极强，以微专题的形式进行针对性的突破应该是一种比较有效的教学手段，但整堂课下来，笔者发现困扰学生的问题依旧摆在那里，没有得到根本性的解决.

2 教学过程简介

上课教师首先引导学生回顾3个常用的数列通项放缩公式：

然后，进入例题讲解环节.

解题过程略.

解题过程略.

3 超出学生经验的技巧很难被掌握

4 学生经验是数学解题教学的基石

4.1 明确学生的已有经验

教师一般都有这样的经历，很多好的解题方法讲了很多遍、练了很多遍，但终究教不会，究其原因，就是这些解题方法已经超出了学生的已有经验，单纯的讲解无法对知识的内化起到积极的作用.解题并不是无源之水，无本之木，它应该立足于学生的已有经验.

4.2 建立新经验和旧经验的联系

经验具有正向和负向双重效应.一方面，经验为学生的后续学习奠定了认知基础，促进新的经验的形成；另一方面，经验很容易造成思维定式，从而阻碍学生接受新的经验.解决的唯一办法就是建立新经验和旧经验的联系，从而帮助学生打破思维定式，使经验的迁移得到发生.

因此，本节课首先要解决的是建立起数列通项放缩与学生已有经验之间的联系，从而让学生感受到这些放缩技巧、公式并不是凭空产生的，而是在已有经验基础上的延伸.

4.3 完善已有的经验

学生的已有经验直接决定了新知识与新方法的获得速度与掌握程度，已有经验越丰富越好.因此，在解题教学中，教师要转变理念，要把教学重心从传授新的解题经验转到完善已有的解题经验上.

其实，数列放缩的技巧性与思想性不是几节课就可以完成的，它需要经历一个从熟悉到陌生、从特殊到一般的建构过程.等差、等比数列是认知基础，累和、累乘是方法基础，因此，首先需要对这些基础性的经验进行完善，才能确保后续学习的顺利进行.

比如，对于比较复杂的数列，累和法能用吗？

例3已知an+1=2an+1，a1=1，求数列{an}的通项公式.

很多学生都想到套用公式an+1+λ=2(an+λ)进行求解，前提是要记住这个公式.但实际上可以直接利用累和法进行推导，an+1=2an+1，an=2an-1+1，两个式子左右两边分别作差得an+1-an=2(an-an-1)，则an+1-an=2(an-an-1)=22(an-1-an-2)=…=2n-1(a2-a1)=2n，即an+1-an=2n，接下去就交给累和法了.

变式1：已知an+1=2an+n-1，a1=1，求数列{an}的通项公式.

累乘法也能进行类似的推广.

看似简单的运算技巧照样能够展现出巨大的威力，因此，我们没必要刻意地去记忆这些放缩公式，不仅不好记，即使记住了，题目一变化，也用不上.

“学生经验”是数学解题教学的“基石”，在立足学生经验的基础上使学生经验在“破”与“立”的动态平衡中得以汇聚与积淀，最终实现“学生经验”的升级跃迁，这才是解题教学的真谛所在.Z