一道清华强基题的思考

⦿安徽省毫州市涡阳县第二中学 龚莉莉

1 引言

根据导数的运算法则可知三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中最重要、最基本的内容之一，因此以三次函数、三次方程等为问题背景的试题已经成为高考、联赛等命题的高频考点之一，倍受关注．

2 问题呈现

问题(2021年清华大学强基计划数学试卷第4题)恰有一个实数x使得x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是( ).

3 问题剖析

此题以含参的三次方程为问题背景，结合对应三次方程恰有一个实数解来巧妙设置，利用三次函数的图象与性质来确定相应参数的取值范围问题．

破解问题的关键就是合理转化题目条件中相应的三次方程，或分离参数，或巧妙构造，借助导数工具，利用求导处理，通过对应函数(特别是三次函数)的图象与性质的确定，结合三次方程的根的个数，数形结合，得以破解对应问题．在此基础上，总结相应的解题规律，拓展思维，提升品质，提高能力．

4 问题破解

方法1：分离参数法.

x -∞,-132 -132 -132,0 (0,+∞)f'(x)-0++f(x)↘极小值↗↗

且当x→0-时，f(x)→+∞；当x→0+时，f(x)→-∞；

图1

由此作出函数f(x)的大致图象，如图1所示.

故选择答案：B．

点评:根据题目条件进行分离参数处理，通过构造函数，结合求导确定导函数的零点，利用导函数的正负取值情况确定函数的单调性与极值，并结合函数性质的变化趋势确定函数的大致图象，数形结合确定参数的取值范围．巧妙分离参数，借助函数的数学建模，化抽象为直观，数形结合，直观破解．

方法2：导数的几何意义法.

解析：由x3-ax-1=0，可得x3=ax+1.

那么，恰有一个实数x使x3-ax-1=0成立⇔直线y=ax+1与函数y=x3的图象恰有一个交点.

下面直接考察直线y=a0x+1与曲线y=x3相切的情况，此时设切点坐标为A(t，t3).

由y=x3，求导可得y′=3x2.

则有t3=a0t+1，且3t2=a0，解得

故选择答案：B．

点评:将对应的三次方程转化为直线与三次函数的曲线的位置关系问题，考察直线与曲线相切的情况，通过求导，结合导数的几何意义建立相应的关系式，进而确定对应的参数值，通过直线与三次曲线的位置关系来确定参数的取值范围．构造函数进行数学建模，通过求导处理，利用导数的几何意义建立关系式，代数运算，逻辑推理，有效破解．

方法3：分类讨论法.

解析：构造函数f(x)=x3-ax-1，求导有f′(x)=3x2-a.

当a≤0时，恒有f′(x)≥0，结合三次函数的图象知方程x3-ax-1=0恰有一个实根，满足题目条件；

王振辉认为，相较于其他网络，GSSC有两个特点。第一，京东物流是一个有自己六大网络的物流企业，本身就是一家物流企业。第二，京东物流会从两个方面来进行建设，一方面是技术智能化平台的建设，另一方面，是做通路网络的建设，因为京东物流就是通路网络的实施者和运营者，所以在通路网络的建设当中，会和其他的合作伙伴一起来建设通路网络。

x -∞,-a3 -a3 -a3,a3 a3 a3,+∞ f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗

图2

故选择答案：B．

点评:直接根据三次方程构造函数模型，结合求导处理，通过参数的分类讨论，在a>0时，结合三次函数的图象与性质，通过三次图象与y轴只有一个交点，确定函数的极大值小于0得以确定参数的取值范围．直接构造函数进行数学建模，结合参数的分类讨论，利用函数的图象与性质，结合极值建立不等式来分析与处理．

5 变式拓展

探究1：根据以上问题及其破解过程，保留问题背景与考查的数学相关知识点，合理改变三次方程的根的个数，由“恰有一个实数”改变为“恰有两个(或三个)实数”，得到以下两个对应的变式问题．

变式1：恰有两个实数x使得x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是( ).

答案：C．

变式2：恰有三个实数x使得x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是( ).

答案：D．

以上两个变式问题的破解，可以参照原问题的方法1加以分离参数法处理，通过构造函数，结合求导处理，数形结合直观等步骤与方法来处理与解决．这里不多加以叙述．当然，可以进一步结合逻辑用语(如“至少”“至多”等)来确定三次方程的实根个数问题，合理构建，对应变式，综合拓展．

6 教学启示

6.1 方法总结，技巧归纳

在具体破解此类问题时，有时直接利用方程所对应的函数或函数自身加以直接分类讨论；有时通过变形转化，合理构造函数，结合求导来分析与处理；有时通过分离参数法加以巧妙转化等．无论采用何种方法切入与应用，往往都离不开求导运算，通过求导处理，结合导函数所对应的二次函数或其他相关函数类型，借助对应函数的图象以及函数的单调性、极值与最值等来分析处理．

6.2 考点类型，能力提升

利用导数法来解决与函数零点、方程实根等有关问题，一直是历年高考中的热点与难点问题，问题背景设置各异，变化多端，求解的形式与方法也各不相同．熟练掌握基本题型，把握问题实质，以不变应万变，全面提升数学品质，提高数学能力．Z