选择恰当的方法,求数列的通项公式

任霞

求数列的通项公式问题经常出现在各类试题中， 此类问题的难度一般不大，但题型多变，常以选择题、填空题的形式出现.求数列通项公式的方法很多，笔者对其进行了总结，下面结合实例详细介绍.

一、归纳猜想法

有时由数列的递推式很难求得通项公式，我们可运用归纳猜想法，从特殊的一组有序自然数入手，即通过对递推公式进行赋值，获得数列的前几项，再通过观察分析项与项数之间的关系，以探究出数列的变化规律，猜想出数列的通项公式，再运用数学归纳法进行证明.

例1.设数列{an}满足 a1=3，an+1=3an -4n .求数列{an}的通项公式.

（1）由 a1=3，an+1=3an -4n 可得 a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，

可猜想出数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，即 an =2n+1，

证明过程如下：

当 n =1时，a1=3成立;

假设当 n =k 时，ak =2k +1成立.

那么当 n =k +1时，ak +1=3ak -4k =3（2k +1）-4k =2k +3=2（k +1）+1也成立.

则对任意的 n ∈N*，都有an =2n +1成立;

通过对特例的分析，从而猜想出数列的通项公式，便能快速明确所求的目标，再运用数学归纳法进行证明，就能证明所求的通项公式满足题意.

二、公式法

对于常见的等差数列和等比数列，可以直接运用公式法求解.先判定数列的类型，求得数列的首项、公差、公比，就可根据等差数列的前 n 项和公式：Sn=na1+   d 和等比数列的前 n 项和公式：求得数列的通项公式.

例2.已知数列{xn}的各项是一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项的和，若 x1=3，x2=6， x3=11，x4=20，求数列{ xn }的通项公式.

解：由于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，故设数列{an}的首项为 a1，公差为 d ，数列{bn}的首项为 b1，公比为 q ，则xn =[a1+（n -1）d]+b1∙qn -1，

a1+b1=3，

由题意得

解得 a1=d =1，b1=q =2，

故xn =n +2 n ，

即数列{xn}的通项公式为xn =n+2 n .

在运用等比数列的前 n 项和公式解题时，要注意对数列的公比q 分 q ≠1、q =1两种情况进行讨论.

三、利用 Sn 和an 之间的关系

若数列an的前 n 项的和为 Sn =a1+a2+…+an ，则和之间的关系为，当遇到数列的前 n 项和 Sn与an 有关的问题时，可利用 Sn 和 an 之间的关系来解题，将已知关系式转化为只含an 、 an -1的关系式，再根据等差、等比数列的通项公式，利用累加、累乘法来求得数列的通项公式.

例3.若正项数列an的前 n 项和为Sn，2 =an +1（n ∈ N*），求该数列的通项公式.

解：由2 =an +1得，4Sn =a +2an +1，当 n ≥2时，4Sn -1=a -1+2an -1+1，

将上述两式相减，得4an =a -a -1+2（an -an -1），即 a -a -1-2（an +an -1）=0，

由于 an >0，在上式两边同除以 an +an -1得， an -an -1=2，

所以an是2为公差的等差数列，

当 n =1时，由4S1=4a1=a +2a1+1，得 a1=1，故 an =2n -1.

利用 Sn 和 an 之间的关系解题，要注意对当 n =1时的情形进行单独讨论，然后验证所得结果是否满足当 n =2时的通项公式，若不满足，需分段表示通项公式，若满足，可合写成一个表达式.

四、构造辅助数列法

构造辅助数列法是求数列通项公式的常用方法，是指将递推式进行合理变形，构造出辅助数列，如等差、等比数列等，然后根据等差、等比数列的通项公式求得问题的答案.

例4.设数列an前 n 项和为 Sn ，数列Sn的前 n 项和为Tn ，满足 Tn =2Sn -n2，n ∈N*.求数列an的通项公式.

解：当 a1=1.当 n ≥2时，

Sn = Tn - Tn -1=2Sn -n2-[2Sn -1-（n -1）2]=2Sn -2Sn -1-2n +1，

所以 Sn =2Sn -1+2n -1①，

即 Sn +1=2Sn +2n +1②，

由②-①得 an+1=2an +2，

设an +1+t =2（an +t），即 an+1=2an +t ，得 t =2， an+1+2

又 a1+2=3，a2+2=6，则 a1+2=2，

所以an +2是以3为首项，2为公比的等比数列，即 an +2=3∙2n -1，故 an =3∙2n -1-2，n ∈ N*.

解答本题，要首先利用 Sn 和 an 之间的关系消去 Sn ，得到an 与an +1的关系式，然后运用待定系数法构造出一个等比数列，最后根据等比数列的通项公式求解.当遇到形如 an +1=pan +q 的递推式，可以将递推式设为 an +1+t =p（an +t），将其变形整理后，与原递推式比较，得出 t，便可构造出新等比数列an -t.

例5.已知{an +1-2an}是以2为公比的等比数列，且a1=1，a2=4，求数列an的通项公式.

解：因为 a1=1，a2=4，所以 a2-2a1=2，所以{an +1-2an}是以公比为2，

首项为2的等比数列，

于是 an+1-2an =2n  ，

在上式的两边同除以2n +1 ，得 - = ， 则数列是以为公差，

=为首项的等差数列，

可得 = +（n -1）= ，故 an =n ∙2n -1.

对于形如 an +1=Aan +p 的递推式n，可在递推式的左右同时除以pn，得到 pn+1- pn =A，这样便可构造an

例6.已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n ∈ N*），则数列{an}的通项公式为______.

解：因为 an+1= ，a1=1，

所以 an ≠0，所以 = + ，即 - = .

所以是以1为首项，为公差的等差数列. 所以 = +（n -1）× = + ，所以 an = .

由形如 an+1=（A，B，C 為常数）的递推式求数列的通项公式，需将递推式变形为①若 A = C，则是等差数列，且公差为，②若 A≠ C，则采用待定系数法构造辅助数列来求解.

这里主要介绍了四种求数列通项公式的常用方法.求数列的通项公式还有许多方法，有些方法虽然叫法不同，但实质是一样的.我们在这里就不赘述了.总之，在求数列的通项公式时，要注意对递推式进行化简变形，变陌生为熟悉，变复杂为简单，这样才能化难为易，顺利破解难题.我们只要善于总结、及时归纳，就能拓宽解题的思路，使学习更加高效.

（作者单位：甘肃省兰州市兰州新区高级中学）