顺“理”成“章”：学习近似数的支点

江苏南京市百家湖小学（211100）张丽莉

苏教版教材二年级下册第三单元“认识近似数”是在学生学会了万以内数的大小比较基础上编排的，通过引导学生思考两个学校的学生人数分别接近几百人，初步体会比700多一些或少一些都是接近700，在此基础上认识“约等号”及其表示方法。随后的“试一试”是引导学生在感受一个四位数接近几千的基础上，尝试用“≈”表示大约几千，进一步感受一个数的近似数。

【课前思考】

这是一节继“多得多、多一些、少一些、少得多”之后的“生长课”，也是学生后续学习“四舍五入求近似数”的种子课。需要思考以下两个问题：

1.如何让学生体会接近整百、整千的数？从年段的教学内容看，之前的一年级有百数表，学生通过填写完整的百数表能感受数与数之间的远近及大小关系。那么如何让学生感受三位数与四位数？从本单元的编排体系看，一开始就是“认识万以内的数”，通过数一数感受万以内数的顺序，通过说一说掌握万以内数的组成，这些都是学习万以内数的大小比较的基础，同时也是认识一个数的近似数的基础。

2.如何建立近似数的概念？如何从一个数的近似数拓展到近似数的范围？仅仅按教材的例题教学，显然不够，需要教师对教材进行再挖掘。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。结合以上对教学知识点的思考，笔者不由得想：何不像郭橐驼种树一样，顺应天性，找准学生的认知起点，让学生真实经历近似数的理解过程，水到渠成地走向更深入的学习？

【教学过程】

教学片段1：通过数数感受数的大小关系。

出示要求：

（1）一千一千地数，7000前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。

（2）一百一百地数，7000前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。

（3）十个十个地数，7000前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。

（4）一个一个地数，7000前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。

师：看到这些，你有什么想说的吗？先独立思考，再与同桌交流，最后全班交流。

生1：都是在找7000前面的数和后面的数。

生2：数的方式不一样，有的是一千一千地数，有的是一百一百地数。

生3：都是在找与7000相邻的数。

生4：我发现从第（1）题到第（4）题，填的数越来越接近7000。

生5：是的，因为数的间隔越来越小。

【反思：数数是学生学习数学的开始方式。在最初数10以内的数时，学生在数数的过程中感受数的大小，继而理解相邻数的含义以及“接近”的意义。当认识的数的范围不断扩大时，学生也在数数的基础上认识整十、整百、整千数的大小关系。近似数是与准确数相近的数，通过数数能够体验“相近”以及“相近”的程度，为学习近似数做准备。】

教学片段2：理解大约7000的范围。

师：还有哪些数接近7000呢？

生1：7001。

生2：我觉得7010也接近7000，6990也接近7000。

生3：我觉得7100也接近7000，6900也接近7000。

师：到底哪些数接近7000呢？

生4：我觉得6500到7500之间的数都接近7000。

师：其他同学能听懂生4的意思吗？

（大部分学生摇头）

生5：我可以把他的意思用图表示出来（如图1）。

图1

生6：看图后我懂了，靠近7000的数，有的在7000的前面，有的在7000的后面。

生7：我也知道了，有的比7000少一些，有的比7000多一些。

生8：其实就是这个范围内的数都接近7000。

师：为什么是这个范围内的数都接近7000呢？请小组讨论。

生9：从这个数轴上看，再往前数最大是6499，它与6000相差499，但是它与7000相差501，所以6499离6000近一些，离7000远一点。

生10：按生9说的意思，从7000往后数，到7500之间的数都接近7000，再往后就接近8000了。

生11：现在我真正看懂这幅图了，我觉得6500到7500之间的数都接近7000。

师：能画出接近8000的数吗？

学生画图：

图2

师：对于接近8000的数，我们就说，这些数的近似数是8000。

师：哪些数的近似数是800呢？

生12：750到850之间的数的近似数都是800。

师：哪些数的近似数是80呢？

生13：75到85之间的数的近似数都是80。

【反思：以“哪些数接近7000”为核心问题，引导学生自主构建“求一个大数目的近似数时应根据省略部分最高数位上的数字进行判断”这一认知难点。本环节主要分三个层次：第一次是“任意说”，对于“哪些数接近7000”这个问题，很多学生说出的都是十分接近7000的数，这是对数的远近关系的直觉，但学生往往不敢说比7000小（或大）得多的数。第二次是“引导说”，借助学生画出的数轴，引导学生直观感受与7000近似的数的特点。学生的学习水平各有高低，有的学生已经学会了概括与总结，有的学生还停留在“不会”的层面，此时可以安排学生间的交流互动活动。通过小组讨论比较相差数，学生能理解为什么这些数接近7000。虽然本节课不要求学生能用“四舍五入”法求出近似数，但需要学生理解“为什么这些数的近似数是7000”，而借助数轴的直观化显示功能能渗透“四舍”和“五入”的合理性。第三次是“迁移说”，在学生理解了哪些数的近似数是7000或8000以后，紧扣数轴的直观性，让学生自主迁移到问题“哪些数的近似数是800？哪些数的近似数是80？”。这样的迁移能够再次让学生领会近似数的含义。】

【课后反思】

对近似数的认识是学生第一次从模糊的感知到数学上的理性表达。在之前的生活经验与数学学习中，学生接触的都是准确数，虽然生活中接触过“大概”“差不多”，但是用数学符号表达，这是第一次。回顾以上教学过程，笔者得出结论：只有顺应教材的编排体系，找准学生的认知起点，设计有效的问题引领，才能让近似数的学习顺“理”成“章”。

1.顺教材的静态之“理”——循序渐进成文本的结构之“章”

翻阅一年级和二年级的教材后不难发现，教材在编排一年级10以内数的认识时已经为“认识近似数”埋下伏笔。在“认识7、8、9”后编排了一道练习（如图3），学生借助学习工具——直尺，感受5与8、1的大小关系，这为后续认识“多一些，少一些”奠定了基础。在认识了20以内数及组成以后教材也编排了相应的练习（如图4）——将直观的尺子变成了抽象的数线，且每一小段表示一个数（一个一个地数），学生看着数线回答问题，感悟数与数之间的距离，得出数的大小关系。这里的“接近10还是20？”是第一次出现如何判断接近整十数。教材在一年级上册的期末复习题中将20以内的数在两条数线中以填空的形式表现出来（如图5），这是巩固与复习，同时让学生感受数的大小顺序。教材在一年级下册“百数表”和“多一些、少一些、多得多、少得多”后安排了相应的练习（如图6），这时的接近数已经变成了整百数100。随着学生对数的认识的范围不断扩大，教材对“接近”的范围不断扩充，在之后的单元复习中也安排了整十数之间的远近比较（如图7），这次的数线的每一段并不是只代表一个数，还可以表示十个数，学生对数线的认识又进了一步。

图3

图7

教材的编排是循序渐进地渗透“接近”的内涵，从直观的实物直尺到抽象的数线，再到用数线表示不一样的数。厘清教材编写的静态之“理”，也就理解了“近似数”对学生后续学习的重要性。可见，“近似数”的学习具有承上启下的作用，唯有顺应教材编排的脉络，才可以让近似数的教与学“有章可循”。

2.顺学生的动态之“理”——自然生发成学的结构之“章”

认识近似数前，学生的学习起点在哪里？基于之前的学习，学生有万以内数数的经验，也掌握了万以内数的大小比较。不同方式的数数，结果各不相同，但是却能促使学生感知数与数之间的距离，其归纳的过程也是学生思维进阶的过程。郑毓信教授说：“数学教育的一个主要目的就是帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。”有了数与数的远近感知，再找大约7000的数的范围，似乎已是水到渠成。教学过程中学生主动概括出大约7000的范围，甚至用图示表示这一范围，这是意外还是巧合？笔者认为均不是。实际上，正是学生有了之前对“接近”一词的深刻理解，还有对数线潜移默化的认知，才会自发地想用图示表达。不仅如此，由近似数是7000的数自主迁移到近似数是8000的数，再拓展到近似数是800和80的数，学生的思维一下子打开了，不限于对近似数为整千数的理解，还扩展到整百数、整十数，呈现“由线到面”的结构化学习。

史宁中教授说过：数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。掌握学生认识近似数的过程，找准知识的起点与生长点，以“联系”为纽带，以“贯通”为路径，让这一知识的学习呈现结构化，其意义不仅在于促进学生的认知、理解与掌握，更重要的是引领学生自主迁移和灵活运用。

3.顺教师的无为之“理”——润物无声成教的结构之“章”

教与学永远都是相辅相成的。教师的主导作用要基于“确保没有一个人是‘教育上的不利者’，并确保所有学生都有最充分地运用自己的潜能的平等机会”。教师在教学中既要把握知识的内在结构，更要尊重学生的认知规律，以实现“知识序”与“认知序”的有机统一，从而实现“教学序”的有效呈现。教学中教师没有过多的教学语言，而是通过两个简单的核心问题引发学生思考。在辅助学生顺利走进“最近发展区”的数数活动中，当学生用不同方式数数后，教师先以“你有什么想说的？”引发学生观察、比较，“语言是思维的外壳”，学生将数数的感受表达出来，体现数学思维的提升；教师再用“还有哪些数接近7000？”激发学生自主用数线图表示大约7000的范围。教师的看似“无为”成就了学生的“有为”。

叶澜教授说：“课堂是一种生活，如何让课堂上的学生积极、主动地展现生命的活力，是我们需要研究和反思的。”无论是教材的静态之“理”，还是学生的动态之“理”、教师的无为之“理”，都要经过一段时间的孕育，才能彰显生命的和谐统一！