例析离散型随机变量的 数学期望与方差的综合方法

摘要：高考命题的题型正逐步走向规范化、科学化，这就需要教师多方位、多角度挖掘形式多样的问题.对于中学生如何学习离散型随机变量问题，关键是需要把握公式，掌握解题方法，并需要注意公式的正确应用，特别要分清楚哪种类型，这样才能在解决离散型随机变量问题中得心应手.

关键词：标准方差;随机变量;概率分布;教学研究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0030-03

基金项目：南宁市教育科学“十三五”规划“2019年度B类课题”数学素养视域下高中数学答题规范的教学与训练的实践研究”（项目编号：2019B175）.[FQ）]

1 离散型随机变量的方差和标准差的概念

一般地，若随机变量X的概率分布见表1：则称x1p1+x2p2+…+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E（X）或μ.

一般地，若离散型随机变量X的概率分布见表1，则随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，则称为离散型随机变量X的方差，记为V（x）或σ2，那么Vx=σ2=x1-μ2p1+x2-μ2p2+…+xn-μ2pn，其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+p3+…+pn=1.随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本变化而变化，是客观存在的常数;样本方差则是随机变量，它是随着样本不同而变化的，对于简单的随机抽样，随着样本容量的增加，样本方差则可以越接近于总体方差.

2 常用的方差

（1）若X服从两点分布，那么V（X）=p（1-p）.

（2）二项分布：若X～B（n，p），那么V（X）=np（1-p）.

（3）超几何分布：若随机变量X服从超几何分

布，即X～H （n，M，N），则VX=nMN·1-MN·N-nN-1.

3 典例分析

3.1 关于离散型随机变量的方差、标准差

例1已知随机变量X的概率分布见表2

所示.

求随机变量X的数学期望、方差与标准差.

解析EX=1×17+2×17+3×17+4×17+5×17+6×17+7×17=4.

VX=1-42×17+2-42×17+3-42×17+4-42×17+5-42×17+6-42×17+7-42×17=4，

则σ=VX=2.

小结解决这类问题应该充分利用随机变量分布列的性质进行思考：一是Pi≥0，i=1，2，…，n;二是同时具有p1+p2+…+pn=1.3.2 关于离散型随机变量的数学期望与方差

例2有40名学生参加培训次数列见表3.

（1）从这40人中任意选3人，此3名中至少有2名学生培训次数恰相等的概率;

（2）从这40人中任选2名同学，用X表示这2名同学参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）.

解析（1）P=1-C15C115C120C340=419494.

（2）由题意知道X的可能值为0，1，2，则

PX=0=C25+C215+C220C240=61156，

P（X=1）=C15C115+C115C120C240=2552，

PX=2=C15C120C240=539，

那么随机变量X的分布列见表4.

则X的数学期望EX=0×6136+1×2532+2×539=115156.

小结首先列出随机变量所有取值及每一值概率;其次列出随机变量的分布列;再根据数学期望的计算公式求出E（X）;最后再利用方差的计算公式求出方差的值.

3.3 关于数学期望与方差的逆应用例3（1）随机变量ξ的分布列见表5.

已知Eξ=52，Vξ=54，则m，n，a的乘积为;

（2）已知ξ～Bn，p，且Eξ=53，Vξ=109，则Pξ=4=.

解析（1）根据分布列的性质可以知道，

a=1-14-14-14=14.

则Eξ=1×14+2×14+m×14+n×14=52.

则可以化简得到m+n=7.①

Vξ=1-522×14+2-522×14+

m-522×14+n-522×14=54，

化简，得

m-522+n-522=52.②

联立①②，得m=3，n=4或m=4，n=3.

则m，n，a的乘积为3.

（2）根据二项分布的数学期望和方差的公式得到np=53，np1-p=109.

解得p=13，n=5.

则ξ～B5，13.

故Pξ=4=C4513423=10243.小结若已知分布列的数学期望和方差，可根据此求出分布列的未知量，同时也可以解决一些实际问题，解决的方法就是先设出未知量，然后根据给出的数学期望值或方差值，列出關系式，进行解答.

3.4 关于分布列、方差与均值的综合题

综合应用题可以培养学生的学习意识和思维能力，能更多地体现出“多维”（知识层次、数学方法、数学思想等）的命题思路，充分体现背景公平，情境新颖，避开猜题压题，考查学生运用所学知识分析问题解决问题的能力.

例4甲到乙地，一货车晴天赚 230元，小雨赚163元，中雨赚90元，明天气象无雨、小雨、中雨概率分别为0.2，0.3，0.5，求期望盈利值.

解析用X表示明天发一辆汽车的盈利，{X=230}发生的充要条件是明天天气无雨;

{X=163}发生的充要条件是明天天气有小雨;{X=90}发生的充要条件是明天天气有中雨.

于是P（X=230）=0.2，P（X=163）=0.3，P（X=90）=0.5，E（X）=230×0.2+163×0.3+90×0.5=139.9.即期望赚139.9元，或一辆车平均赚139.9元，方差σ2X=230-139.92×0.2

+163-139.92×0.3+90-139.92×0.5=3028.69.标准差σX=3028.69≈55元.

小结关于分布列、方差与均值的综合题需注意求离散型随机变量X的均值与方法：一是理解X的意义，写出X的全部可能的取值;二是求X的每个值的概率;三是写出X的分布列，由均值的定义求E（X）和由方差的定义求V（X）.

3.5 数学期望与方差在实際问题中的逆应用

例5甲工程每投资10万，年收益1.2，1.18，1.17万元概率分别为16，12，13;乙工程利润和产品价格调整相关，每调价下降概率是p0<p<1，若乙一年2次独立调价，乙价格一年内下降次数X，每投10万元，X取0，1，2时，一年后相应利润是1.3，1.25，0.2万元，随机变量X1，X2表示对甲、乙各投10万元一年后利润，（1）求X1，X2概率分布和数学期望EX1和EX2.（2）当EX1<EX2，求p范围.

解析（1）由题意可以得知随机变量X1的概率分布见表6.

由题设知道乙工程产品价格下降的次数服从参数为2，p的二项分布，则X2的概率分布见表7.

所以X2的数学期望为E（X2）=1.3×（1-p）2+1.25×2p（1-p）+0.2p2=-p2-0.1p+1.3（0<p<1）.

（2）由E（X1）<E（X2），得到-p2-0.1p+1.3>1.18，则-0.4<p<0.3.

又因为0<p<1，则E（X1）<E（X2）时，p的取值范围是0<p<0.3.

故p的取值范围是0<p<0.3.

小结在实际问题中，做某件事情有两种方法，为使其中一种方法的数学期望比另一种方法的数学期望更高，这就要用到数学期望与方差的逆运算解决.

离散型随机变量的数学期望与方差知识的实质是处理好教与学的相互关系，它反映了教学的自然规律，运用的关键在于如何设置问题情境.

参考文献：

[1]

沈惠华.现象教学视角的概念生成——以“离散型随机变量的均值”为例＼[J＼].数学教学通讯，2021（21）：33-35.

＼[2＼] 赵泽民.“情境-问题-探究”模式的数学课堂教学实践——以“离散型随机变量的均值”教学为例＼[J＼].高中数学教与学，2021（14）：18-20.

＼[3＼] 原坤，周先华，刘太涛.孕育数学抽象核心素养的概念教学——以“离散型随机变量及其分布列”的教学为例＼[J＼].中小学数学（高中版），2020（10）：18-21.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：秦桂芳（1980.12-），女，广西灵川人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.