数学中的对称性及其应用

周传楷

【关键词】数学  对称性  解题

【中图分类号】G64  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2022）05-0181-03

数学当中的对称现象较多，无论是图形还是公式当中都具有一定的对称性。利用对称性解决数学问题可以丰富解题思路、减轻解题工作量，为此本文将对数学中的对称性及其应用进行简要分析。

1.对称概述

对称指的是某种意义下的平衡、对等[1]。从某种角度来看，对称象征着协调、和谐。日常生活中的对称现象有很多，如太阳、埃菲尔铁塔等，具有较强的美感。数学本身就是研究客观世界中空间形式与数量关系的学科，而客观世界中有大量的对称现象，所以对称性也是数学研究的重点。在古希腊时期，人们就开始研究数学中的对称性。例如，泰勒斯应用比例原理检测了金字塔的高度。欧几里得所著的《原本》描述了大量的对称性命题，而赫尔曼·外尔在《对称》一书当中描述了多种对称形式，如旋转对称性、双侧对称性、结晶对称性等。我国对数学中的对称性也有深入研究，例如《九章算术》中的“盈不足术”就分析了平面图形与立体图形的对称性。

2.对称性在初等数学中的表现形式与应用

从义务教育到高等教育，数学一直是重点学科。而对称性在数学中也占据着重要地位，例如对称性在初等数学中发挥着重要作用。对称性与初等数学息息相关，无论是平面几何还是立体几何当中都包含大量的對称性内容，且代数知识当中也展现出了大量的对称性。

2.1对称性在初等数学中的表现形式

对称性在初等数学中的表现主要体现在平面几何、立体几何以及公式、定理等方面。

（1）对称性在平面几何中的表现形式。

从平面几何来看，轴对称图形、中心对称图形以及平移对称图形当中都蕴含了对称性知识。第一，轴对称图形。轴对称图形指的是若沿着平面上的一条直线对一个平面图形进行折叠，且图形在直线两边的部分能够完全重合，这一平面图形就属于轴对称图形，而平面上的这条直线就属于对称轴。从轴对称的定义来看，对称轴可以将图形分为相等的两部分，且在镜面反射过程中也不会出现变化。常见的轴对称图形有等腰三角形、等边三角形以及正方形等（如图1所示）。第二，中心对称图形。初等数学中对中心对称图形的表述为“若将一个平面图形绕着平面上某一个点旋转180°后，旋转后的图形能与之前的图形完全重合，这一图形就属于中心对称图形，这一点属于对称中心”[2]。常见的中心对称图形有椭圆形、抛物线以及双曲线等。而中心对称图形与轴对称图形也有一定的关系，例如中心对称图形具有一个对称中心点，而轴对称图形具有一条对称轴;验证中心对称图形需要将图形围绕对称中心旋转180°，而验证轴对称图形需要将图形按照对称轴反转180°;在旋转之后，中心对称图形的旋转图形会与原图形重合，而轴对称图形的旋转图形会与另一图形重叠。从这些方面来看，轴对称图形不一定是中心对称图形，如等腰三角形等只属于轴对称图形，不属于中心对称图形。而中心对称图形也不一定是轴对称图形，如平行四边形属于中心对称图形，但不属于轴对称图形。也有很多图形同属于轴对称图形和中心对称图形，如椭圆、正方形等。第三，平移对称图形。平移对称图形指的是如果按照一个方向将一个平面图形平移一段距离，且平移后的图形能与原图形重合，该图形就属于平移对称图形。例如，正弦函数的图像就属于平移对称图形。

第一，面对称图形。在给定平面的反射情况下，若立体图形能够变为原图形，则该立体图形属于面对称图形。常见的面对称图形有正方体、正四面体等，其中正方体的对称面有九个，而正四面体有六个对称面。同时，球体、圆锥也属于面对称图形，且都具有无数个对称面。从某种角度来看，面对称图形与轴对称图形十分相似，所以可以将轴对称图形看作是特殊的面对称图形[3]。但是，面对称图形的对称性更加复杂，需要深入研究。第二，旋转对称图形。如果将一个立体图形绕着某一条定直线旋转任意角度，且旋转后的图形能与原图形重合，该图形就属于旋转对称图形。例如，正四面体旋转120°或240°都能与原图形重合。

（3）对称性在公式与定理中的表现形式。

第一，公式。公式对称性指的是公式当中的运算符号具有可交换性，即使互换公式中的符号也不会影响公式作用的发挥。相比于几何图形的对称性，公式的对称性不太明显，但是可以丰富公式的内涵。例如，s=属于海伦公式，具有计算三角形面积的作用[4]。在这一公式当中，a、b、c代表的是三角形三边的周长，p指的是三角形周长的二分之一。任意更换a、b、c都不会改变公式的意义。且这一公式的对称性属于对称轮换，受到了乘法结合律以及乘法交换律等因素的影响。第二，定理。大量的概念与定理当中也具有对称性的特点，如乘法与除法、加法与减法、函数与反函数等。

2.2对称性在初等数学中的应用

利用对称性可有效解决各类数学问题。

第一，可以利用对称性预测问题的结果。部分数学题目较难，应用对称性可以预测问题的答案，之后再逐步验证答案正确与否。

第三，利用对称性进行题目的转化。部分数学题目当中蕴含了对称性知识，但是很难看出来，就需要分析其中的对称性，并将复杂题目转变为简单题目。

第四，利用对称性进行正确选择。很多数学题目的解题方法都不止一种，但是为了提高解题效率需要选择最简便的解题方法。而利用对称性就可以分析题目的简单解题方法，从而提高解题质量。

3.对称性在高等数学中的表现形式与应用

对称性在高等数学中也占据着重要地位，需要充分了解对称性在高等数学中的表现形式与具体应用。

3.1对称性在高等数学中的表现形式

微积分主要是由微分学与积分学共同构成的，其中微分学包括极限理论、微分、导数等内容，而积分学包括定积分与不定积分等内容。极限理论指的是若一个函数或数列无限接近于一个常数，这个常数就是这个函数或数列的极限;微分指的是对函数局部变化率的线性描述，可以描述当函数自变量的取值发生十分微小的变化时，函数的值发生的变化;导数即当自变量的增量无限接近于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限[5]。而对称性在微积分中发挥着重要作用，需要综合分析其作用。

3.2对称性在高等数学中的应用

对称性在高等数学中的应用范围十分广泛。例如，对偶是常见的对称性表现形式。从本质上看，对偶属于极性互反关系，主要包括序对偶、逻辑对偶以及射影空间对偶等类型。其中，序对偶指的是二元关系中的≧，≦;逻辑对偶指的是存在与不存在之间的关系，某个与任意之间的关系;射影空间对偶指的是射影平面上的点与直线。射影定理指的是在直角三角形当中，斜边上的高是两个直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边都是这条直角边在斜边上的射影以及斜边的比例中项。而对偶原理在射影空间中占据着重要地位，可以利用对偶原理分析射影定理问题，判断命题的真假性。例如，若a、b、c、d屬于四个不同的平面，且a，b这两个平面的交线和c，d这两个平面的交线共面。判断，a、b、c、d四个平面共点，且a，c这两个平面的交线与b，d这两个平面的交线也共面这一命题的真假。这一问题的难度相对较大，可以利用对偶原理解决问题，从而证明命题的真假。

4.结语

根据难度可以将数学分为初等数学与高等数学，而对称性这一概念贯穿数学本身，在初等数学与高等数学中发挥着重要作用。在初等数学中，可以利用对称性解决平面几何与立体几何等问题。在高等数学中，可以利用对称性解决二重积分等问题。需高度重视对称性在数学中的应用，并通过有效措施充分发挥对称性的作用。

参考文献：

[1]李红玲.对不需要极限及无穷小概念的微积分新理论的研究[J].佛山科学技术学院学报（自然科学版），2021，39（5）：43-47.

[2]宋英平.基于专业应用下的高职数学课程微积分案例研究[J].中国多媒体与网络教学学报（中旬刊），2021（10）：152-154+117.

[3]荆素风.高等数学微积分教学中数学思想方法渗透策略[J].山西财政税务专科学校学报，2021，23（6）：69-71.

[4]尹松庭.对称性在积分计算中的运用[J].乐山师范学院学报，2021，36（12）：1-4.

[5]姚青.生活数学新教材中数学模型思想的渗透 ——以人教版《生活数学》二年级“得数是3的加法（合一合）”教学为例[J].现代特殊教育，2021（23）：51-53.

[6]刘红梅.二重积分计算巧用对称性简化求解[J].普洱学院学报，2018，34（6）：45-47.

[7]王湘萍.浅谈对称性和奇偶性在积分学中的应用[J].数学学习与研究，2019（22）：127-128.