从黑盒子到因果律：寻找量子物理的信息原理

陈怡颖，王子竹

(电子科技大学基础与前沿研究院 成都 611731)

量子理论作为现代物理的两大基石之一，为物理研究提供了全新的表达方法。然而，量子系统作为一个基于四大基本假设提出的数学空间，其数学符号和动力学方程并不能体现出自然的物理原理。众所周知，狭义相对论可以从“惯性参考系的等价性”和“光速不变”两大公理中完整推导出来，因此，众多物理学家试图寻找隐藏在量子理论的数学描述中的物理原理。

1935 年 ， Albert Einstein、 Boris Podolsky、Nathan Rosen 三位物理学家提出了第一个物理原理[1]：定域实在论(local realism)，并对量子力学的哥本哈根诠释提出质疑：量子力学对物理实在的描述是完备的吗？文章建立在定域实在论的假设之下，规定在某区域发生的事件以不超过光速的传递方式影响其他区域，且认为在系统不受任何干扰的情况下，如果可以准确地预测某物理量的值，那么该物理量具有实在性。文章表明，若定域实在论成立，则可以推导出量子力学不完备。这就是量子力学史上著名的“EPR 佯谬”。

然而，“EPR 佯谬”并没有提出一个好的办法能够检验量子力学是否提取出与定域实在论有关的物理原理，将两者进行公平地比较。这导致物理界对“EPR 佯谬”的可靠性争论不休。一方面，Niels Bohr 作为哥本哈根学派的创始人之一对“EPR 佯谬”提出异议[2]。他认为量子力学中的物理量与测量情景密切相关，这使得“EPR 佯谬”物理实在性在量子物理中的定义本质上模糊不清，其结论并不可靠。另一方面，David Bohm 认为存在一个没法观察到，但又存在的确定性物理机制阻碍了量子力学的完备性。1952 年，Bohm 提出量子力学的隐变量因果解释[3-4]，试图从量子力学的概率特征中找到一种潜在的不可访问的机制原理，能够验证“EPR 佯谬”。虽然Bohm 的隐变量不满足定域性，但其观点促进了一系列关于隐变量理论的物理原理研究。

1964 年，John Bell 首次提出将定域实在论中的物理概念提取出来，用一个不依赖于特定理论形式的数学模型表示[5]。文章将量子力学和定域实在论放入其中进行平等地比较，证明量子力学不能用局部隐藏变量理论(local hidden variable theory, LHVT)解释。Bell 的理论框架采用黑盒思想(black-box principle)，将实验室描述成具有有限输入、输出集的黑盒子。Bell 根据定域实在论做出假设，分离的黑盒之间不存在超光速通信。因此，所有输入输出之间的关联性都来源于黑盒之间共享的资源。如图1，以两体系统为例，Alice 和Bob 的输入值分别为 {x,y} ， 输出值分别为 {a,b}。因此，局域隐藏变量模型可以理解为Alice 和Bob 之间共享一种不可测量的资源λ，或者说具有共同的策略λ。

图1 两体局域隐藏变量模型

种种研究和实验结果表明量子态可以是一种非定域资源，以某些量子态为资源的信息传输似乎能够以超光速行进。随着量子力学中量子纠缠这一概念慢慢被人们熟知，物理学家们开始分析非定域和纠缠的关系。事实上，两个概念并不是等价的，不是所有的纠缠态都可以破坏Bell 不等式，非定域性是比纠缠更强的量子特性[12]。Bell 非定域性与同时期进行的量子互文性的研究构成了对物理实在性理解的两大冲击[13]。量子互文性来自于Andrew Gleason 对希尔伯特空间的封闭子空间上的测度研究[14]。Gleason 证明了所有这样的测度都可以用量子物理的测量基本假设构造出来：测量结果的概率为测量算符与被测量的密度矩阵乘积的迹。Kochen-Specker(KS)定理表明Gleason 的上述定理直接决定了某些满足物理实在性要求的测量结果并不是确定性的，而是和这些测量算符与另外哪些测量算符放在一起测量有关[15]。通过对Bell 定理和KS 定理的研究，可以得出结论：物理实在性并不像“EPR 佯谬”所描述的那么经典[16-18]。

可以看出，Bell 定理启发了物理界对定域性、物理实在性等一系列物理概念的深入理解，对量子基础研究的贡献功不可没。Bell 的模型框架作为定域实在论的抽象表示，为后续物理学家们从量子力学中总结出物理原理提供良好工具。概率和概率关联性是任何物理理论都可以实现的物理量，是一种基本的数学语言。因此，局域隐变量模型可以看作是一种与某个具体的理论无关的物理原理表示。这一思想又被称为器件无关原理(device-independent principle)，这样一种脱离物理实验器件限制的统一模型可以用于公平地比较量子理论与其他可能的理论，更好地了解量子理论的显着特征。这是一个剥离物理概念的过程，让其尽可能地摆脱其物理载体的限制，凝练出具有普适意义的物理原理。这样的一个过程在其他领域也有类似的例子。在计算领域，人们将算术从算盘或计算器等物理载体中抽离出来，把算术规律抽象成不拘泥于器件形式的算法用以开展研究。器件无关原理贯彻整个“重构量子理论”基础研究，是一种重要的思考方式。

1992 年，在Bell 模型的基础上，“无信令”原理作为相对论因果律在量子力学中的对应原理，从量子理论中抽象出来[19]。相对论因果律在物理系统中被描述为“子系统之间的信息传输速度不得超过光速”，文献[19]将该物理概念凝练为量子理论的“无信令”原理(no-signaling principle)。如图2 所示，其本质上描述的是任何子系统的测量和其他子系统测量结果之间的独立性。该模型和Bell 局域隐变量模型类似，可以将“无信令”原理投射到与某个特定物理理论无关的广义模型中使用。准确地说，“无信令”模型又称为PR box，可以看作是Bell 局域隐变量模型进一步放宽对子系统间关联的限制，黑盒之间不再共享资源。

图2 两体“无信令”模型图

一时之间，如何找到准确刻画量子理论的物理原理成为了诸多物理学家关注的热点。为达到重构量子力学的最终目的，不仅要从实际应用的物理理论中剥离可靠的物理原理，还需要通过一些操作性语言推导已知的物理原理，复原理论结构，以确保物理原理是量子理论的充分必要条件[20-22]。这样一种推导物理原理以重构物理理论的过程类似于计算领域中通过用编程语言操纵数据，实现抽象的算法的过程。诸多物理学家纷纷尝试在此领域深耕，以期探寻其中的奥秘[23-25]。

广义概率论(generalized probability theories, GPT)便是物理学家们提出的第一种“编程语言”[26-27]。广义概率论作为一个用于实现物理原理的操作性框架，不受特定理论的限制，延续和推广了Bell 模型的基本思路。该理论以黑盒为研究单位，带有限输入、输出集的黑盒之间可以通过并行或串行的方式组合成复合系统，并在此基础上考虑物理系统的状态、演化和测量[28]。该框架中的所有理论，包括经典理论和量子理论，都具有两个基本的共性：1) 子系统之间遵循“无信令”原则；2) 复合系统的状态可以由定域测量结果之间的关联性决定。

这样一个脱离量子物理形式的统一操作语言试图利用提取的简单物理原理作为条件，推理出一系列思想理论。通过附加或者放宽某些物理原理的限制实现对理论的调整，使其最终等价于量子理论。其中最具代表性的理论为广义无信号理论[29](generalized nonsignaling theory, GNST)，又称为盒世界理论[30](box world)。这一理论仅由“无信令”公理刻画，是非定域性最强的理论，量子理论中被认为特殊的性质在该理论中变得非常普遍。研究盒世界理论对于了解量子理论的特性，探究量子理论的理论构造有着十分重要的意义。

随着量子信息理论的新兴和发展，越来越多的人开始注意到量子计算具有明显的优势，理论的非定域性在信息处理上能够提升通信协议[31-34]。2007年，文献[29]试图从信息处理的角度建立GPT 的操作语言，研究物理理论的信息计算特点，为量子理论的研究提供了新的思路。包括在GPT 操作框架下深入研究盒世界的物理性质[30]，以及从量子计算等方面研究量子电路和盒世界电路的计算能力[35-37]。研究发现，尽管盒世界拥有更强的量子非定域关联，其几何对偶的测量空间却有相对定域的性质，不存在类似量子隐形传输(quantum teleportation)、量子稠密编码(quantum dense coding)等非定域的测量性质。

此外，与GPT 操作框架中根据物理原理重建理论不同，不少物理学家延续了“无信令”原理的思想，仅用某些物理原理约束即可推导量子理论的概率相关性，无需进一步将理论细化。如：信息因果原理[38-39](information causality)，宏观定域原理[39-40](macroscopic locality)和定域正交原理[41-42](local orthogonality)，但这些原理都不能将量子关联性和其他非定域关联性完全区分开来。目前为止，最为贴近量子物理特征的理论描述是“Almost quantum”的理论[43]。

另一方面，既然相对论因果律作为唯一刻画量子理论的物理原理是远远不够的，一些物理学家试图从反向推理。相对论因果律确定了概率模型中各个黑盒子之间的因果顺序，且物理原理的普适性要求黑盒内部的运行机制不拘泥于某一理论形式；相反，若指定概率模型中每个黑盒子内部遵循某一特定理论，允许黑盒之间的因果顺序存在不同方式的组合，只要求其满足该理论的基本数学描述，所有黑盒子之间的概率关联性满足现有的因果律吗？答案是否定的。

2012 年，全局因果结构在量子物理中受到新框架模型的挑战[44]：当不再对全局因果顺序做出假设，规定个体实验室内部产生输出的过程服从量子力学时，该物理系统的粒子关联性将如何描述？该框架模型建立在器件无关思想下，通过研究黑盒的输入输出信息剖析其中的全局因果结构。为更好地描述各个黑盒与系统整体的信息，文章利用Choi-Jamiołkowsky 同 构 (Choi-Jamiołkowsky isomorphism)构造高维的量子超映射M(quantum supermap)[45]和过程矩阵W(process matrix)。量子超映射作为将量子操作映射到量子操作的高阶变换，体现了物理系统内部的全部操作信息，而过程矩阵作为系统外部信息的高阶映射，表示物理系统的整体因果结构。文章通过物理系统的量子超映射M及过程矩阵W，将判断物理系统是否具有全局因果结构的标准从“物理系统是否打破因果不等式”简化为“过程矩阵是否可写成单信道系统过程矩阵的凸组合形式”，最终得出结论：在子系统遵循量子力学但不考虑各个子系统之间因果顺序的前提下，物理系统可能出现违背因果不等式的关联性。这种奇特的因果顺序是否真的违背了量子理论？物理学家们并不能找到确凿的证据肯定地回答这个问题：量子理论或许比我们先前的理解更加匪夷所思。

文献[44]的思想启发了人们对因果结构的研究，开始展开一系列在此基础上的针对经典理论的分析。当物理系统局限于经典概率理论中时，三体及以上的多体系统也会出现未预定义的因果关联(correlations without predefined causal order)[46]。不仅如此，过程矩阵W在经典系统中存在等价表征，在几何上可以表示为不确定因果结构组成的凸多胞体，用于优化因果博弈问题[47]。针对经典系统的系统研究进一步发展和丰富了物理理论中因果结构的研究。

随着量子计算的发展，量子电路开始走进人们的视野，其中量子电路中对操作顺序的控制是真正实现广义量子电路的关键[48]。电路控制作为量子电路中因果结构最直接的体现，引发物理学家们展开一系列研究。2021 年，针对操作控制的量子电路系统理论在具有不同控制的电路中分类讨论了量子超映射[49]。其中包括利用经典态控制因果顺序的经典开关[50](classical switch)，以及利用量子态控制因果顺序的量子开关(quantum switch)[50]等。此外，一系列相关研究进一步阐明了不确定的因果顺序在量子信息处理中具有一定优势[51-72]。

多年来，物理学家们不断地尝试从实际应用的量子力学中抽象出所有物理原理，并利用这些物理原理重新推导量子理论的逻辑结构。各方围绕“重构量子理论”这一深刻的基础问题展开了诸多讨论，试图找到理解量子理论的关键线索。为梳理研究脉络及未来研究方向，本文首先引入研究通过物理原理刻画真实与假想物理理论关联性强度的重要工具——广义概率论，以及其中的典型非定域理论——盒世界理论。随后，介绍一系列尝试用于唯一定义量子关联性的器件无关原理。最后，文章介绍量子物理研究中的另一奇特现象——不确定的因果结构，及其在量子电路中的应用。

1 广义概率论(generalized probability theories, GPT)

1.1 基本性质

广义概率论是不拘泥于特定物理理论的一般操作框架，通过推导从物理概念中抽离出来的物理原理构造某一假想理论，从而验证物理原理和物理理论是否一一对应。经典概率论和量子理论只是作为其中的特例出现。广义概率论旨在通过通用的概率关联性语言和操作要素研究不同的物理理论，体现了器件无关原理的中心思想。该理论作为一种操作工具，有助于人们利用其对不同理论的物理原理展开调整或修改，从而复现量子物理的基本结构。

2001 年文献[28]提出通过5 个公理推导量子物理。为得到与设备无关的广义操作模型，文章研究最普适的量子演化类型，将典型的实验场景概括为3 个部分：制备装置、变换装置和测量装置。这一普适化的实验框架为GPT 理论的发展和丰富奠定了基础。

1.2 盒世界理论 (box world)

GPT 理论通过一些简明扼要的公理刻画物理理论，试图从通过对这些公理进行微调找出量子理论的物理特性。盒世界理论作为其中非定域性最强的理论，在对比研究量子理论方面具有十分重要的研究价值。盒世界理论是一个仅由“无信令”原理刻画的理论，其概念起源于根据相对论因果关系提出的一种称为PR box 的无信令物理模型[19]。该模

2009 年，文献[30]对盒世界理论的测量空间进行了全面详尽的研究。文章指出，盒世界理论中有一类称为“基本测量”(basic measurements)的系统测量，可以分解为一系列顺序作用于子系统的基准测量，且基准测量之间存在明确的关联。后面执行的基准测量xi∈{0,1}选择取决于前一个测量ai−1∈{0,1}的 结果，且最终的系统测量结果r可以看作基准测量结果a的 函数r=f(a)。总的来说，基本测量可以看作是一套具有确定顺序的系统测量方案。如图3，以一个作用于两体系统的基本测量m1为 例，m1可以分解为如下过程：首先选取基准测量x2=0作用于子系统Bob，并产生第一个基准测量结果a2。接着进行第二个子系统Alice 基准测量，其测量选择等于第一个基准测量结果，即x1=a2， 最后，系统结果r由函数r=a1给出。其数学描述如式(6)，元素m(a1,a2|x1,x2)=1表示执行结果为a1,a2的系统测量x1,x2。根据基本测量中的关联性x1=a2=0/1，可以得出，所有实现的分量中若m(a1,a2|x1,x2)=1，则一定存在非零元素

图3 两体系统基本测量示意图

该文章证明当物理系统为单体或两体系统时，盒世界理论中的所有有效测量都可以看作是基本测量的凸组合。其中，单体系统的所有合法测量都对应一个等价的基准测量，符合基本测量的定义。换句话说，单体或两体系统中的合法测量都可以分解为一系列输入与其他输出相关联的基准测量的凸集合。然而，这种直觉上顺理成章的定理在三体及以上的多体盒世界理论中却不成立。文章指出，三体系统中存在无法分解成基本测量的合法测量。文献给出如下示例，测量m2是一个合法的三体系统测量。通过矩阵表示可知，实现的测量分量有m(001|000),m(110|000),m(000|100),m(100|100),m(101|010),m(111|010),m(010|001),m(011|001)。可以看到所有执行的测量ai及 结果xj中 ，并无关联性存在。m2无法通过基本测量复原，是一类特殊的合法测量。

文献[30]的发现使物理界开始关注合法态空间和合法测量空间之间的平衡关系。此外，盒世界理论在态空间和测量空间上极大的非定域性反差使得该理论在解决计算问题方面的能力变得扑朔迷离，盒世界理论会拥有比量子理论更强大的计算能力，亦或是和经典理论不相上下？

为探究这一问题，文献[36]从算法的角度重新解读GPT，定义与之相对的计算操作电路，试图分析这类基于基本物理原理的广义理论的计算能力，和量子理论一决高下。文献[73]将GPT 框架内任意理论G 能有效解决问题的复杂度类定义为BGP。当理论G 指定为量子理论时，该复杂度类特指BQP[73]；若理论G 指定为经典理论，则复杂度类相应地类比为BPP。文章证明BGP 类包含于经典复杂度类AWPP[74](A WPP ⊆PP ⊆PSPACE) 中，即BGP ⊆AWPP ⊆PP ⊆PSPACE。事实上，AWPP 经常出现在量子计算背景下，AWPP 是BQP 计算上限的最小经典复杂度类。文章的结论表明，量子理论中已知的结论 B QP ⊆AWPP[75]在GPT 中普遍存在，任何遵循层析定域性(tomographic locality)，即复合系统的状态可以由定域的测量刻画的理论都包含于AWPP 内。不仅如此，一些仅遵守层析定域性而违背“无信令”因果原则的理论也存在这样的结论。这一结论为量子计算带来全新的思路：不受因果律限制的量子理论或许可以有效解决某些对现有量子计算机来说很难的问题[76]。

除此之外，研究证明具备对测量结果进行后选择(post-selection)能力的量子理论复杂度类PostBQP等价于概率图灵机(probabilistic Turing machine)在多项式时间内可解决的一类决策问题PP，即PostBQP=PP。由PostBGP ⊆PP 可以得出，任意遵循层析定域性的后选择GPT 理论PostBGP 能够有效解决的问题都可以被后选择量子计算机有效解决。因此在后选择前提下，量子理论在所有GPT理论中是最优的理论。另一方面，文献[37]提出，若放宽对量子态的限制，存在一个由层析定域性和“无信令”因果性刻画的非理论G，使得BGP=AWPP，且BQP 无法到达该边界。这表明AWPP 服从因果律，任何非因果的层析定域理论都可以由遵循因果定律的计算模型有效模拟。该结论清晰地阐述了非定域关联性和计算能力之间的关系，非定域性越强的理论在计算能力上有越强的优势性。

这一系列针对计算复杂度的理论研究一方面从信息论的角度提取GPT 理论的物理特性，总结物理原理；另一方面分析所有非定域关联性集合的计算能力，致力于探究量子计算优势的物理源头，并将该计算优势合理最大化，为寻找更多的存在量子加速的算法提供指引。

2 三大量子原理

归根结底，GPT 框架研究的最终目的是将已知的物理原理放在包括态制备、演化、测量的统一操作框架下推导出一系列与量子理论相似的物理理论，并通过对物理原理对应的数学描述进行微调使其最终成为量子理论。另一方面， PR box利用描述量子关联性的Bell 广义模型从量子力学中提炼和相对论因果律相关的“无信令”原理[19]。这项工作为寻找量子物理的信息原理研究提供了另一种思路：根据物理理论在系统中产生的关联性进行分类和研究，从中抽象出物理原理。这种方法仅从观察到的统计数据中考虑原理，而无需对系统进行任何理论建模。尽管“无信令”原理的研究表明两者无法完全刻画量子关联性，但仍激发了物理学家们继续探索一种具有深刻洞察力的物理原理，为量子关联性的非定域程度做出直观解释[39,77]。经过一系列的探索，物理学家们总结出器件无关原则下的三大物理原理：信息因果原理、宏观定域原理和定域正交原理。这些物理原理试图从不同角度证明量子理论之外的关联性违反这些合理原则。

2.1 信息因果原理(information causality)

图4 随机访问编码任务示意图

为了排除盒世界等非定域性强于量子关联性的理论，文献[38]对共享资源提出限制，要求共享的资源不能提供Alice 有关x的任何信息，并提出信息因果原理的明确定义：利用所有的本地资源和带宽为m比 特的经典信道，Bob 可以最多获得m比特关于Alice 未知数据的信息。为进一步量化Bob和Alice 之间的共享信息，定义Bob 输出数组 βy携带关于xy信息量的互信息(mutual information)为：

信息因果原理可以在(2,2,2,2)实验中复现Tsirelson 界限[80]，从而从众多GPT 理论中挑出量子理论，这使得信息因果原理被许多物理学家视作量子理论基本原理的候选。在把它当作量子物理的基本原理之前还有一些问题需要进行深入研究。一方面，违背信息因果原理的必要条件尚不清楚[81]；另一方面，将其应用于多体量子系统的方案实现也困难重重[82]。但不可否认的是，信息因果原理是量子理论拥有的自然属性，是区别于其他非定域关联性的重要物理依据。

2.2 宏观定域原理(macroscopic locality)

物理学家们尝试通过建立量子理论和经典理论之间的关联获得对物理原理更深刻的理解，宏观定域原理的概念由此而来[40]。这一概念主张任何物理理论在宏观极限中都应该可以被经典物理描述。研究表明，微观结构宏观化的一个重要手段是粗粒化(coarse-graining)。通过减少描述动力系统的演化方程组，量子理论允许在测量值足够粗粒度时被经典动力学描述[83]。宏观极限下的量子系统将不再以粒子作为研究对象，取而代之的是对粒子束的探测。因此，粗粒化处理之后的测量结果为粒子束的强度分布。以两体系统为例，设两体系统可能的输

2.3 定域正交原理(local orthogonality)

2.4 “Almost quantum”理论

这一系列基于量子关联性展开的物理原理研究始终围绕一个关键的问题：是否可能存在一些物理原理能够从所有可能的关联性集合中唯一地识别出量子关联性？想要肯定回答这个问题则需要找出量子概率关联性与其他关联性的区别。然而，2015年文献[43]提出一个包含量子关联性的理论，称为“Almost quantum”。该理论证明在各种不同的关联性理论中，量子理论并不那么特殊。

虽然Almost quantum 是一个严格大于量子力学的理论，但有证据证明Almost quantum 集合满足大多数试图刻画量子关联性的物理原理，包括信息因果原理、宏观定域原理和定域正交原理。例如，对两体系统而言，Almost quantum 关联性等价于NPA 层次结构中的第1+AB级关联性集合Q1+AB。而关联性集合满足定域正交原理的充分必要条件是属于NPA 结构的第一级集合 Q1。由NPA 的结构特点可知，Q1集 合包含Q1+AB集合，Almost quantum 理论完全满足定域正交原理。并且根据现有数值结果，有理由猜测Almost quantum 理论能够完全符合信息因果原理与宏观定域原理。因此，这些原理都不能充分描述量子关联的非定域程度。从某种程度上说，仅仅通过定义态空间关联性的物理原理只能止步于表征Almost quantum 理论，无法更加接近量子物理的真相。此外，研究表明尽管Almost quantum 和量子理论的态空间十分相似，但Almost quantum 理论的测量空间中存在一些无法排除的不合法测量。文献[92]试图在GPT 理论框架下重现Almost quantum 关联性，发现若存在这样的理论，它将不满足无限制假设(the no-restriction hypothesis)，该假设规定GPT 理论中的合法测量集是态集合的对偶。这一结论更进一步印证了量子物理中态和测量空间的特殊性。想要准确定义量子关联性，还应该进一步限制系统上可能测量的规则。

总而言之，物理学家们尝试在量子理论的物理特性中总结出规律，并使其成为不拘泥于某一特定理论形式的物理原理，最终重构量子理论的物理逻辑。这个过程中有两个主要的研究路线。一方面，通过GPT 中可操作的公理基础推导量子力学的理论结构。另一方面，从概率关联性空间中提炼相关的物理原理，在任何可能的关联性集合中筛选出量子关联性。

在所有器件无关原理和GPT 广泛操作框架研究中，具有抽象含义的黑盒模型是贯穿其中的基本思想。这样一种最普遍的模型可以用于任意物理理论，在统一的理论背景对各种不同理论进行平等比较，更好地了解量子理论的特性。另一方面，黑盒思想促进了人们对因果律的认识。物理学家们仅要求黑盒的内部遵循某一特定物理理论，针对黑盒间的信道组合展开一系列研究，尝试在现有因果律下对其进行解释。

3 不确定因果顺序 (indefinite causal order)

“无信令”原理作为黑盒思想下一个十分重要的物理原理，是GPT 操作框架下的基本原理。该原理来自量子理论中对相对论因果律的一个自然描述，要求任何物理理论条件下，黑盒之间的信道都具有明确的因果关系。然而， PR box 的研究表明，“无信令”原理作为唯一描述量子理论的物理原理不够的，且在此基础上的一系列补充和调整都没有完全成功。与此同时，一些物理学家们开始试图将黑盒内部限制为已知的物理理论，而不对黑盒之间的组合方式做明确要求，只通过黑盒的输入输出信息重构黑盒间遵循的因果关系。

因果关系可以理解为定义一系列事件发生的先后顺序。如图5 表示复合系统中若存在Alice 发送信号给Bob 的信道，则视为事件A是事件B的因果过去(causal past)，表示为 A ≼B，或者说事件B是事件A的因果未来(causal future)，表示为B≽A，且事件先后顺序的固定使得AB之间限制为单向传输，即B⋨A。通常来说，两体系统具有预定义因果顺序(predefined causal order)表示联合概

图5 确定因果顺序 A ≼B的两体系统示意图

3.1 量子系统中的不确定因果顺序

2012 年，文献[44]量子电路中的因果律提出新的设想，构造了一个摒弃全局因果顺序的量子电路。该基本框架包括3 个假设：1) 随机变量，每个实验室的输入变量是自由随机选择的；2) 封闭的实验室，实验室生成输出的过程不受外界环境和其他实验室的影响；3) 局域量子性有效，规定每个实验室内部遵循量子力学，但不对整个复合系统做要求全局要求。该研究继续沿用器件无关思想，将每个实验室看作是具有有限输入和对应输出的黑盒，在此基础上研究因果结构对量子关联性的影响。

为测试框架内的系统关联性是否真的存在未预定义的因果顺序，文章设计了一些模型用于因果结构的量化比较。如图6，以两体系统为例，假设Alice 和Bob 分别具有随机输入x,y(x,y∈{0,1})，通过一系列本地操作之后，a和b将分别作为系统Alice，Bob 的输出值(a,b∈{0,1})。同时，规定物理系统中存在随机变量b′(b′∈{0,1})作为“裁判”，用于判定Alice 或者Bob 是否成功猜测对方输入值，即a=y或b=x。在这当中，我们假定Alice 可以通过单信号通道将实验信息发送给Bob(Alice ≼Bob)。因此，物理系统成功的概率可以通过数学公式表示为：

图6 因果不等式示意图

图7 不预定义全局因果顺序的量子两体系统示意图

3.2 经典系统中的不确定因果顺序

文献[44]提出的因果框架引发诸多关于过程矩阵与因果模型之间的研究[95-97]，其中关于经典极限下两体系统必然存在确定因果顺序的结论引发质疑。研究发现，在三体或多体系统中，可能存在一些与任何预定义因果顺序都不兼容的信道[46]。文章设计了一个因果博弈游戏，该游戏在具有预定义因果顺序的场景中获胜概率严格小于1，但在没有预定义因果顺序的情况下一定获胜。并证明，在局部兼容经典概率论的三体系统中，存在特殊的过程矩阵使因果博弈游戏始终能够获胜。2015 年，文献[47]对经典系统中的因果顺序进行了数学刻画与深入分析。

图8 不预定义全局因果顺序的经典两体系统示意图

由于在任意本地操作下系统的总测量概率为1，且测量概率非负，因此可以得出，在两体经典系统中，所有局部适用经典概率论的模型满足以下要求：以等价为以下形式，3 个实验室之间相互影响，互为因果，形成因果循环(如图9)，不能用预定义全局因果顺序解释。

3.3 量子电路的经典控制与量子控制

此外，固定因果顺序的量子电路中存在一类特殊的量子电路：具有并行操作的量子电路W||(quantum circuits with operations used in parallel, QCPARs)。该电路中存在多个可以同时进行的操作电路，以任意可能的固定顺序将操作应用于内部映射，在辅助系统的额外帮助下得到相应输出的过程，所有操作有且只能执行一次。

图10 固定因果顺序的量子电路示意图

图11 经典开关电路示意图

图12 量子开关电路示意图

总而言之，以上3 类量子电路对应的量子超映射都是具有确定的超映射，因此又被称为“超信道”(superchannel)[122]。这类超映射具有保迹性，若将要求进行适当的放松改为迹非增映射，则可以得到概率过程矩阵。若一组概率过程矩阵之和为一个确定过程矩阵，则称之为“量子超器具”(quantum superinstruments)[123]。

如图13，不同量子电路的特点与关系总结如下。首先，固定因果顺序的量子电路是最小的集合，包含一个确定因果顺序的电路，且所有过程矩阵具有因果可分性[97,124-125]。然而，QC-FCs 并不是一个凸集，通常情况下不同顺序的QC-FCs 的凸组合并不是一个合法的QC-FC，不能用一个简单的确定因果顺序电路模拟。然而，具有并行操作的量子电路W||是一个例外。根据定义可得，QCPARs 与任何顺序的QC-FC 兼容。其次，经典控制因果顺序的量子电路作为一个凸集包含QC-FCs，其过程矩阵仍具有因果可分性，其中典型代表是经典开关WCS，能够利用经典比特离散地控制因果顺序。值得注意的是QC-CCs 并不是多个QC-FCs 的简单概率混合，过程矩阵WQC−CCs等式中的任何一个子项W(k1,k2,···,kN,F)都不满足合法性条件。最后，量子控制因果顺序的量子电路是QC-CCs 的拓展，典型电路包括量子开关WQS。QC-CCs 与QC-QCs都是动态建立因果顺序的量子电路，后面的量子操作顺序取决于之前的操作[95,97,99,124]。此外，这两类过程矩阵都是因果可分的，不能违背因果不等式。因此，QC-QCs 不包含文献[44]提出的量子模型WOCB，是所有合法量子超映射的真子集。

图13 过程矩阵分类图[49]

关于量子电路的操作控制的研究可以为尝试设计各种实验以实现不确定因果顺序的模型提供理论基础。不难看出，这种通过自下而上的方法构建广义量子电路的研究仍存在一些开放性问题，如QCQCs 类之外的量子超映射是否具有物理解释？具有何种性质？

4 结 束 语

寻找量子物理的信息原理是围绕量子理论的根本问题而展开的基础研究，试图以物理的角度看待由希尔伯特空间等数学语言描述的量子理论，从中抽象出最基本的原理，解释薛定谔方程背后的物理意义。“无信令”原理作为第一个从量子理论中总结出来的反映相对论因果性的器件无关原理，是整个研究的基础。一方面，GPT 规定框架内的所有公理推导遵循“无信令”原理，所有黑盒之间具有确定的因果关系。GPT 作为一个普适的操作框架，有利于在统一的理论背景下对公理推导而来的理论结构进行公平对比，并通过部分修改还原量子理论的特性和逻辑结构。另一方面，“无信令”原理作为Bell 概率模型的延伸，描述了量子关联性的重要特征。有关“无信令”原理的研究激励着更多物理学家从关联性中提炼能够唯一识别量子关联性集合的所有物理原理，将其与其他关联性集合完全区分开来。这种方法不再考虑通过操作公理推导理论结构，仅从观察到的统计数据中考虑原理。然而，另一项研究有着和“无信令”原理完全相反的思维逻辑。不确定因果顺序结构在特定的物理理论限制下，通过放宽对黑盒间信道的全局假设，允许其在不违背该理论数学描述的前提下出现不同的组合方式。该研究可以证明，目前人们对于因果律在量子理论中的物理描述并不完全清楚。这一发现或许可以为完善量子物理原理的基础研究提供新的思路。

回顾寻找量子物理的信息原理之路，有一些迹象表明，当前研究无法准确定义量子关联性的原因可能在于我们将满足全局因果关系的黑盒子与满足特定物理描述的黑盒子当成两个不同的问题来研究。也许在数学中无处不在的对偶思想在量子物理的基本原理上还没有得到很好的体现[126]。黑盒子与因果律的关系也许比我们现阶段了解到的还要更近一些。