精设探究 聚焦目标 生长能力

郑金 范明明

［摘  要］ 文章以一节“平行四边形的判定（第1课时）”教学为例，在分析其中出现的问题的基础上提出优化建议，并在此基础上谈谈对教学的几点思考.

［关键词］ 问题分析；优化建议；教学思考

2021年5月底，笔者所在学校组织了一场“青年教师教学基本功大赛”，笔者有幸受邀成为比赛的评委之一. 其中，Z教师上课的课题为“平行四边形的判定（第一课时）”（北师大版八年级下册第六章第二节）. 通过观察发现其教学过程中存在一些问题，从而引发了笔者的思考，现整理成文，与同行交流.

课堂简述

环节1：课前复习

教师引入：同学们，我们已经学过了平行四边形的有关知识，请大家思考：

问题1：平行四边形的定义是什么？

问题2：平行四边形有哪些性质？

环节2：新课引入

教师引入：学习了平行四边形后，小明回家用细木棒定制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示. 小辉问道：你凭什么确定这个四边形就是平行四边形呢？大家都困惑了……

问题3：我们可以通过什么方法判定四边形是不是平行四边形？（提示：可以参考等腰三角形的判定方法）

生1：可以根据平行四边形的定义即两组对边是否平行来判定.

Z教师给予了该生肯定与鼓励，并明确提出“定义法是判定一个四边形是否为平行四边形的一种方法”，接着给出了规范的符号语言.（教师板书略）

生2：可以用量角器测量两组对角，看对角是否相等来判定四边形是否为平行四边形.

针对此回答，Z教师表示此种方法不能作为平行四边形的判定方法，但未给出明确的理由，该生一头雾水.

环节3：定理探究

活动1：请同学们尝试用小棒拼出平行四边形，观察后猜想怎样能拼成平行四边形.

生3（上黑板）：如图1所示，我猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

生4（上黑板）：回答同上.

问题4：你能证明这个猜想吗？

Z教师引导学生给出了详细的证明（略），并在此基础上明确提出平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 同时给出了规范的符号语言.（教师板书略）

例题1：如图2所示，在四边形ABED中，AD= BE，C为BE的中点，且AC=DE，判定四边形ACED的形状.

活动2：A4纸上有四条直线（如图3所示），其中a与c平行，请同学们选择两根小棒与其中的两条直线摆放在一起，使两根小棒和两条直线的四个端点恰好是平行四边形的四个顶点. 观察后猜想怎样能拼成平行四边形.

生4：如图4所示，我猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

问题5：怎么驗证我们的猜想？

Z教师引导学生给出了详细的证明（略），并在此基础上明确提出平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 同时给出了规范的符号语言.（教师板书略）

例题2：如图5所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点. 求证：四边形AECF是平行四边形.

问题6：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？能举出反例吗？

环节4：巩固练习

练习1：下列条件中，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（  ）

A. AB∥CD，AB=CD

B. AB∥CD，BC∥AD

C. AB∥CD，BC=AD

D. AB=CD，BC=AD

练习2：如图6所示，AC∥HD∥GE，AG∥BF∥CE，则图中平行四边形的个数一共是（  ）

A. 7  B. 8  C. 9  D. 10

练习3：如图7所示，在四边形ABCD中，E是CD的中点，BC=CF，若添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，则下列条件中可选择的是（  ）

A. AB=CD B. AD=CF

C. ∠F=∠DAE D. ∠B=∠D

练习4：如图8所示，小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了其中的两块碎玻璃，其编号应该是________.

练习5：如图9所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF=________.

环节5：课堂小结

（1）平行四边形的判定方法.

（2）数学思想方法：操作—观察—猜想—验证.

问题分析与优化建议

问题1：在“新课引入”环节，Z教师提出了问题“我们可以通过什么方法判定四边形是不是平行四边形？”由于担心学生不知道如何回答，还非常贴心地给了“提示”：可以参考等腰三角形的判定方法. 我们知道等腰三角形的判定方法有两种，一种是从边的角度，即有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；另一种是从角的角度，即有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 所以，当Z教师给出“提示”后，学生自然也会从边和角两个角度去思考. 于是，从边的角度可以想到定义，从角的角度可以想到“两组对角相等”，这也就不难解释生2的回答了. 笔者认为，能想到“两组对角相等”（不管是经过严格论证还是凭直观感觉）的学生无疑是值得肯定的，因为两组对角相等的四边形确实是平行四边形. 若要从“定理”的角度来看，它又不能作为判定定理，但是这种“人为的规定”又很难跟学生解释，其结果只能以该生一头雾水匆匆收场. 可以说，Z教师的提示具有明显的误导作用.

优化建议：去掉“提示”，直接提问：同学们，刚才我们回忆了平行四边形的定义及其性质，你能从中找到判定一个四边形是否为平行四边形的方法吗？

教学说明：问题指向明确，很容易得出定义法. 当学生得出定义法后，教师还需要引导学生理解“定义”具有“性质”和“判定”双重身份，即由“平行四边形”可以推导出“两组对边平行”；反之，由“两组对边平行”亦可推导出“平行四边形”. 这对后面学习菱形、矩形及正方形的判定方法有迁移作用. 随后再提问：还有别的判定方法吗？从而引出下面的探究活动.

问题2：在活动2中，Z教师给出了四条直线（如图3所示），让学生选取其中的两条直线与小棒摆放在一起，并猜想形成平行四边形的条件. 于是，学生很自然地摆出了图4所示的图形，并顺利得到了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的结论. 表面上无可非议，实际上值得商榷.若从活动目的的角度来看，此探究活动的重点在于让学生发现并理解位置关系（平行）和数量关系（相等）之间的联系（一组对边）. 但Z教师的设计无意中指明了小棒摆放的位置关系，虽为学生指明了探究方向，但同时也让学生失去了自觉思考问题、主动设计方案的机会. 此时的探究与其说是教师辅助学生“学”，不如说是学生配合教师“教”，即学生非常配合地按照教师的思路将小棒放在指定的位置上. 笔者认为，Z教师给出的四条直线的设计看似合情合理，实际上代替了学生思考，削弱了学生的探究过程，其结果是学生的自主探究浮于表面、流于形式，带有明显的机械性.

优化建议：去掉四条直线，设计如下：同学们任意选择两根小棒，在桌子上随意摆放，如果要使两根小棒的四个端点恰好是平行四边形的四个顶点，那么这两根小棒需要满足什么样的条件呢？当学生有了猜想后再引导学生证明猜想.

教学说明：学生在活动探究的过程中需要思考两个问题，即如何选择（选择等长的还是不等长的）和如何摆放（平行摆放还是不平行摆放）. 具体操作时，小棒从选择到摆放必然会经历从数量关系（不等长到等长）到位置关系（不平行到平行）变化的动态过程，这一过程大致如图10所示. 当然，这一过程也可能在头脑中完成. 相比原来的设计，此时的探究需要学生经历分析和思考、设计方案和执行方案、提出猜想和验证猜想等一系列过程，学生的思维更具开放性，真正能体现自主探究的价值和意义.

问题3：Z教师设计问题6的目的在于，帮助学生理解“平行且相等”的必须是“同一组对边”. 笔者认为这是必要的，因为这对定理中关键信息的“辨识”能加深理解. 但令笔者不解的是，为何没有对前一定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）中是“两组对边”而非“两组邻边”进行“辨识”？是Z教师的疏忽，还是认为没有必要？其实，对于学生来说，理解为什么是“一组对边平行且相等”而非“一组对边平行、另一组对边相等”并不难，因为大多数学生都能想到“等腰梯形”这个“铁证”，毕竟这是他们的“老朋友”了；但对于为什么一定是“两组对边分别相等”而非“两组邻边分别相等”，很多学生不一定能理解，毕竟不少学生的头脑中还没有形成“筝形”这一图形和概念. 因此笔者认为，相比“一组对边平行且相等”，“两组对边相等”更需要“辨识”. 但在Z教师的教学过程中恰恰缺少了“更需要”的环节.

优化建议：（1）在例题1后添加一个问题：定理中的“两组对边分别相等”能否换成“两组邻边分别相等”？请说明理由. （2）在重新設计的活动2中，保留原问题6.

教学说明：教师教学时要注重将两条定理中关键信息的辨识充分融入探究活动中，即教师要引导学生摆出“筝形”和“等腰梯形”来说明理由. 通过活动探究的形式不仅能使抽象的问题变得具体、直观，加深对定理中关键信息的理解，还能有效积累数学活动经验，提高数学学习的兴趣.

问题4：本节课涉及的判定方法有三种，但严格来说，定义法并不是本节课的核心内容，本节课的教学重点应该是后两种判定方法. 因此，在“巩固练习”环节应该重点检验学生对后两种判定方法的理解与掌握. 在“巩固练习”环节，Z教师共设计了5道练习题，若从考查目的的角度来看，练习1综合考查的是三种判定方法，练习2考查的是定义法，练习3涉及对三种判定方法的理解，但重点考查的是“一组对边平行且相等”的判定方法，练习4考查的是定义法，练习5考查的也是定义法. 这5道练习题中竟然有3道考查的都是定义法，而本节课最核心的两个判定方法只在练习1和练习3中有所涉及；并且，就算考查定义法，练习4和练习5考查的重点也不在此. 以练习5为例，虽然解题的过程中用到了定义法（即用定义法构造平行四边形），但其重点在于利用平行四边形对边相等的性质对线段的长度进行转化，也就是说，本题虽然涉及定义法，但主要考查的绝非定义法，考查的重点更倾向于平行四边形的性质而非判定定理，放在“平行四边形的性质”一课中可能更加合适. 练习4也存在类似问题.

优化建议：保留练习1和练习3，去掉练习2、练习4和练习5，补充两道练习题：

（1）如图11所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D，AB∥CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

（2）如图12所示，在四边形ABCD中，AB=CD，过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，且AE=CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

教学说明：题（1）考查的是定义法或“两组对边分别相等”判定定理，题（2）考查的是“两组对边分别相等”判定定理或“一组对边平行且相等”判定定理. 教师要通过上述两题充分引导学生用两种方法进行证明，让学生感受和体会到不同方法之间的区别与联系，从而加深对平行四边形判定方法的理解和掌握.

教学思考

1. 探究活动的设计应促进学生自主探究

随着课程改革的推进，探究式教学备受大家的青睐，许多教师在教学过程中尝试设计各类各样的探究活动. 但有学者调查发现，目前的数学探究活动存在许多不如意的地方，如探究的“机械性、浅表性”等［1］. Z教师设计的活动2（给出四条直线）就削弱了学生的探究过程，阻碍了学生探究思维的发展，带有明显的机械性和浅表性. 那么，教学中应如何设计数学探究活动？笔者认为，数学探究活动的设计应促进学生自主探究，具体表现为：要“关注数学思维方法”和“探究活动的‘内化”［2］. 如在笔者优化后的活动2中，学生要想完成整个探究过程，需要从思考“如何选择木棒”和“如何摆放木棒”两个问题开始，经历分析和思考、设计方案和执行方案、提出猜想和验证猜想等一系列过程，相比Z教师使学生自觉思考问题、主动设计方案，优化后的设计在数学思维方法上明显给予了更多的关注. 此外，动态的操作过程不仅让学生积累了丰富的数学活动经验，更实现了数学知识和探究方法的内化. 当然，课前设计毕竟只是一种“预案”，教学中并非一定要实现，因此在探究活动的设计中应侧重把握大致“轮廓”，在实际的教学操作中还需要创造性的教学发挥［3］.

2. 巩固练习的设计应聚焦课堂教学目标

根据教学内容确定本节课的教学目标主要有以下几点：（1）经历平行四边行判定条件的探索过程，发展合情推理能力；（2）探索并证明平行四边形的判定定理，发展演绎推理能力；（3）利用平行四边形的判定定理完成相关证明，进一步发展演绎推理能力；（4）在探索并证明平行四边形判定定理及利用判定定理完成相关证明的过程中体会归纳、类比、转化等数学思想. 课堂教学目标既是一节课学习的起点，也是一节课学习的终点. 因此，巩固练习的设计需要聚焦课堂教学目标，即遵循与课堂教学目标相一致的原则［4］. 就本节课而言，“定理探究”环节作为本节课的重点，其教学设计主要聚焦目标（1）、目标（2）和目标（4），而“巩固练习”作为对判定定理的理解和应用环节应该聚焦目标（3），并在实现目标（3）的基础上进一步达成目标（4）. 由于本节课涉及的判定定理是“两组对边分别相等”和“一组对边平行且相等”这两种，并不包括定义法，所以笔者优化后的四个问题虽然也涉及对定义法的考查，但考查的重点并不在此，只是作为思路的拓展或方法的补充. 需要说明的是，笔者在优化建议中补充的两道题原本是在Z教师的教学计划中的，只是由于时间不够Z教师选择了“跳过”，直接来到了最后一道题（即练习5）. 或许Z教师觉得练习5的难度更大，更能考查学生的数学能力. 但遗憾的是，偏离了教学目标的考查很难起到应有的作用，难免使得学生“根基不稳”，数学能力的提升更是“空中楼阁”.

3. 教学数学定理应关注学生能力的生长

数学定理是数学知识的基础，也是学习数学知识的前提. 初中学段中教学数学定理既是重点也是难点，因为“数学定理的教学不单纯是让学生知道和了解定理本身，更是培养学生数学推理能力、逻辑思维能力和创新意识的重要途径，定理学习的过程是学生探究学习的延续和发展，更是学生探索发现、提升思维和发展能力的过程.”［5］因此，教学数学定理应该在引导学生理解并掌握数学知识和方法的基础上更加关注学生数学思维的发展和数学能力的生长. 就本节课而言，在操作（摆小棒）环节可以发展学生的动手能力、观察能力和探究能力；在猜想环节可以发展学生的合情推理能力和归纳概括能力；在定理证明环节可以发展学生的演绎推理能力和论证表达能力. 当然，关于定理的证明还可以引导学生探索不同的证明思路和方法. 如证明“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理时，既可以转化为定义法也可以转化为“两组对边相等”判定定理进行证明. 通过对不同方法的比较和讨论，不仅可以激发学生证明数学定理的兴趣，还可以发展学生思维的广阔性和灵活性，进而提高学生的逻辑思维能力.

参考文献：

［1］ 陈冬. 初中数学有效探究活动的策略研究［J］. 课程·教材·教法，2011，31（03）：55-60.

［2］ 顾继玲，张新华. 初中数学教材探究活动设计的思考［J］. 數学教育学报，2012， 21（03）：63-66.

［3］ 彭祥彬，尹升. 中学数学探究性课堂教学设计的几点思考［J］. 数学教学通讯，2005（04）：16-17.

［4］ 徐英姿. 试析小学数学课堂练习优化设计的策略［J］. 天津教育，2021（01）：150-151.

［5］ 袁虹. 基于核心素养的定理教学微课设计［J］. 中学数学教学参考，2019（14）：56-59.