注重解题策略 优化数学思维

魏绮芸

［摘  要］ 注重解题策略的培养，能优化学生的思维，帮助学生快速找到问题的突破口，提高解题能力. 文章从数形转化解题策略、整体性解题策略、特殊化解题策略、具体与抽象解题策略四方面展开阐述，以飨读者.

［关键词］ 解题策略；思维；突破口；解题能力

解题不仅能检验学生对知识的理解与掌握程度，还能让学生在错综复杂的情境下，灵活应用自身已有的知识对具体问题进行有条不紊地分析，通过再创造性的思考，感知探究问题的过程，从而解决问题. 解题策略对解题能力的形成，具有举足轻重的影响. 但在实际教学中，仍有部分教师只注重学生的解题结果，而忽略了解题策略的引导，导致有些学生遇到一些复杂的问题时，感到手足无措，无法变通. 因此，笔者特别针对解题策略在数学教学中的应用谈一些拙见.

[?] 数形转化解题策略

数形转化解题策略是指将数或形的问题，从一种形态转化为另一种形态或互相转化的策略，它既是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想. 解题时，我们常在问题提供的“数”中思考相应的“形”，或在问题提供的“形”中寻觅相应的“数”，将两者严密地结合在一起，互相转化，则能达到解题的目的.

纵观近些年的高考试题，会发现新颖的问题层出不穷，对学生思维的深度与灵活性的要求越来越高. 数形转化解题策略的应用，不仅能解决一些抽象的问题，还能优化学生的思维，培养学生的创造意识. 这种转化方法常用于解决函数最值与值域、不等式以及三角函数等问题，简化问题难度是它最大的优势，在填空题与选择题的解决中，其优越性更加明显. 因此，教师应注重培养学生的数形意识，形成“见数思图”“见图知数”的习惯.

例1 直线y=1与函数y=2sin

+ωx

（ω>0）在（0，π）内存在三个交点，求ω的取值范围.

分析：从题设条件来看，这是直线与函数位置关系的图形问题，常规思维认为通过画图来解题是最便捷的. 但观察问题的条件，会发现本题的函数图像并不容易画出来，同时，问题还涉及三个无法一眼就能确定的交点位置，因此从“形”的角度着手思考，不一定是最便捷的方法. 若转化思考本题的方向，从“数”的角度去分析，也就是应用方程来解题，则容易得多.

解析：根据2sin

+ωx

=1可得+ωx=+2kπ（k∈Z），或+ωx=+2kπ（k∈Z），也就是x=（k∈Z），或x=（k∈Z）. 因为x∈（0，π），所以x=，x=，x=，x=，x=. 根据题意，x∈（0，π），x?（0，π），所以

≥π，

<π，所以<ω≤.

从本题来看，虽然图形具有直观、形象的特征，但过于复杂的“形”还需要依靠“数”来分析. 这就需要充分挖掘问题中的条件，结合图形的几何意义与性质，准确地将图形数字化，达到解题的目的.

[?] 整体性解题策略

整体性解题策略是指将问题中的一些元素视为一个整体，通过对这个整体条件与结论的研究，达到简化问题难度、提高解题效率的目的. 这种方法能有效地避免多个小问题带来的信息干扰. 新课授学时，教师将数学的整体结构进行点状分割，以帮助学生更好地理解知识结构；复习时，又将这些点状的知识点有机地整合到一起，让学生通过整体结构发现数学本质，完善认知；解题时，从知识的整体性出发，联系各知识点之间的结构特征进行分析，可提高解题效率.

例2 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），且f（1）=-，证明f（x）在（0，2）上有零點.

分析：根据题意，f（1）=-<0，依照零点存在定理，仅需判断f（0）与f（2）的正负即可，但这个方向难度较大，需要分类讨论. 若从整体思想的角度来考虑，则能有效简化本题难度，呈现耳目一新之感. 此题还隐藏着一个重要的“二分法”思想，即1为区间（0，2）的中点.

解析：根据题意，f（1）=-<0，a，b，c的和为-，则b+c=-，因此f（0）+f（2）=4a+c+2b+c=4a+2×

-

=a>0，因此f（0）与f（2）中必定有一个为正，由此可确定f（0）·f（1）<0与f（1）·f（2）<0中必定有一个是成立的，因此函数f（x）在（0，1）或（1，2）上存在零点，因此f（x）在（0，2）上存在零点.

为了巩固学生对整体性解题策略的应用，教师可以设计变式，供学生自主探究，达到启发思维、深化思考、熟能生巧的目的.

变式：已知函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），且2a+3b+6c=0，证明f（x）在（0，1）上有零点.

此变式比较“狡猾”，虽然问题与原题类似，但条件却很隐蔽，需要学生从“二分法”的角度去思考，也就是f

的正负. 由此可见，该变式主要考查学生的思维变通能力.

解题时，若遇到过程过于烦琐或干扰条件过多时，不妨换一种思维模式，另辟蹊径，让思维“整体转化”，将一些条件视为一个整体进行解题，有可能会出现“柳暗花明又一村”的景象. 高中数学中常用的整体性解题策略包括整体代换、整体判断、整体换元等. 不论应用哪种方法，都需要用战略性的眼光去看待每一个问题，以突破解题思维的瓶颈，达到优化思维、提升解题能力的目的.

[?] 特殊化解题策略

特殊化解题策略主要是以特殊数值、图形、角、位置或数列等代替问题中的普遍条件，从所获得的特殊结论来推导、论证出命题的正确性的方法. 特殊化解题策略不仅具有“探路”作用，还能在很大程度上简化运算与推理过程，提高解题效率. 纵观近些年的高考试题，结合特例法解答的问题占比有上升趋势. 因此，教学中教师应引导学生勤加训练，使学生能敏锐地发现更简便的解题方法.

数学中有很多问题都存在着一定的结构特征与内在规律，只要有敏锐的观察能力，就能快速洞察到其特点，这对解题具有深远的影响. 如看到问题中有3，4，5这样的数字，就能快速联想到勾股定理，这种对数字、式子或图形敏感的能力，能让学生快速发现问题的本质，从而化繁为简，巧妙求解.

例3 函数f（x）定义在

，π

上，且满足f′（x）-tanx·f（x）>0，下列说法正确的是（  ）

A. f

B. f

>f

C. f

<0

D. f

>f

解法1：运用“特例法”，设f（x）=1，f（x）满足原题条件，利用“排除法”，很快可将B，C，D排除掉，确定本题选A.

解法2：将题设条件更换成cosx·f′（x）-sinx·f（x）<0，令g（x）=cosx·f（x），那么g（x）<0，因此g（x）在

，π

上单调递减，通过代入检验的方式，可得选项A是正确的.

对比以上这两种解题方法，发现解法1给大家带来了一种大快人心的感觉，设f（x）=1就轻轻松松把一道题给解决了. 此过程不仅呈现了数学简洁美的魅力，还体现了思维的灵活性与敏锐性对解题的影响. 应用特殊化策略解题，除了要有扎实的基础知识外，还要有良好的数感，遇到问题时才能灵光乍现. 而要获得这种数感，就需要日常的思维训练和核心素养的培养.

[?] 具体与抽象解题策略

生活中，有些事物我们可通过切身体验感知它的存在，而有些事物却无法用我们的感觉器官去感知. 生活如此，解题亦如此. 有些开放性问题，我们可以通过实践获得真知，但有些问题无法通过具体实践获得答案. 这就需要学生充分发挥想象，将抽象的事物具体化或将具体的事物抽象化，在两者的互相转化中找到突破口解题.

同时，抽象思维与具体思维又是相辅相成、相对而言的. 有些学生虽然有良好的具体思维能力，但抽象思维能力有所欠缺. 这种特征导致他们更擅长解决一些具体问题，对于抽象问题则容易产生畏惧心理. 因此，教师应注重学生抽象思维与具体思维互相转化的培养，为核心素养的发展奠定基础.

例4 已知函数f（x）=log（+x）+2018x3，且f（x2+2x）+f（x-4）>0，则x的取值范围是多少？

分析：观察本题，虽然题设条件给出了具体函数，但若想用“代入法”求解，有一定难度. 换个角度，抽象发现该函数是奇函数，且为增函数，根据此性质解题，则简单很多.

解析：已知函数f（x）为奇函数，同时在R上是增函数，根据f（x2+2x）+f（x-4）>0，可得f（x2+2x）>-f（x-4）=f（4-x），因此x2+2x>4-x，即x2+3x-4>0，解得x>1或x<-4. 因此x的取值范围为（-∞，-4）∪（1，+∞）.

本题充分体现了具体与抽象互相转化对解题的直接影响. 较好的抽象能力，能把控好问题的整个格局. 有时抛开一些具体、零散或繁杂的干扰条件，常能抽象出问题的核心与本质，让人产生一种“拨开云雾见天日”的感觉，解题能力与思维品质也在这种转化中得以螺旋提升.

总之，解题策略是考查学生对知识的掌握程度，衡量学生思维能力与解题能力的重要指标之一. 有效的解题策略能让学生利用最少的时间，高效、准确地完成解题. 然而，解题策略有很多，究竟该如何选择，这就需要教师培养学生根据问题特征與认知情况，用科学、合理的策略解题，达到优化思维品质、提升核心素养的目的.