怎样借助数学思想求角的度数

孙乾

求角度問题是初中几何中的常见问题.在具体求解时除了需运用角的平分线性质，角的和、差、倍、分等运算技巧以及一些基本图形的性质外，还需合理借助相应的数学思想，如分类讨论思想、转化思想、方程思想等来解题.下面举例进行分析说明.

一、借助分类讨论思想求角的度数

所谓分类讨论思想，就是当要求解的问题包含两种或两种以上的可能情况时，需要根据不同的情况进行分类讨论，分析、综合结论，得到答案.在求角度时，若问题存在多种情形，就需要采用分类讨论思想，对每种情形加以具体讨论.进行分类讨论时需要注意两点：一是确保分类标准统一;二是讨论全面，确保不重、不漏.

例1 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.

分析：本题没有图，作图时应考虑 OC 落在∠AOB的内部和外部两种情况. 解：（1）如图1，当OC 落在∠AOB的内部时，

∵ OM 平分∠AOB，ON 平分∠BOC，

∴∠AOM=12∠AOB=12×100°=50°，∠BON=12∠BOC=12×60°=30°，

∴∠MON=∠AOB -∠AOM -∠BON=100° - 50°-30°=20°;

（2）如图2，当OC 落在∠AOB的外部时，∵ OM 平分∠AOB，ON 平分∠BOC，∴∠BOM=12∠AOB=50°，∠BON=12∠BOC=30°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.

评析：当图形之间的位置关系不明确时，往往要进行分类讨论，不能片面考虑一种情况从而造成漏解.尤其在解答无图几何题时一定要慎重，要利用分类的思想分析满足条件的图形有几种情形，确保解答的完整性.

二、借助整体思想求角的度数

整体思想就是从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察、分析、探究问题.在求解与三角形有关的角度问题时，局部求解比较困难，就可利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三个内角的和等于180 等相关定理，运用整体思想求解，进而使问题化繁为简，化难为易.

例2 如图3，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，如果∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A=______.

分析：连接 BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC +∠DCB=40°，∠GBC +∠GCB=70°，所以∠GBD +∠GCD=30°，再根据角平分线的定义求出∠ABG +∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A=80° . 解：连接 BC，如图4，

∵∠BDC=140°，

∴∠DBC +∠DCB=180° - 140°=40°，

∵∠BGC=110°，

∴∠GBC +∠GCB=180° - 110°=70°，

∴∠GBD +∠GCD=70° - 40°=30°，

∵ BE是∠ACG的平分线，CF是∠ACD的平分线，

∴∠ABG +∠ACG=∠GBD +∠GCD=30°，在ΔABC中，∠A=180° - 40° - 30° - 30°=80° .

故答案为：80° .

评析：整体代换是一种重要的解题策略.在解题时，当单个对象无法求出时，可考虑将几个单个的对象作为一个整体来考虑.在解答本题过程中多次运用了整体思想，才使问题顺利得解.

三、借助转化思想求角的度数

转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解答的一种思想方法.在求解角度问题中运用转化思想可将题干中的条件、结论转化，从而将分散的条件适当集中，使线段与线段，角与角，形与形之间建立联系. 例3在小学阶段我们已经掌握了三角形内角性质：三角形的三个内角之和等于180°，如图 5 所示，△ABC的内角和∠1+∠2+∠3=180°，请回答下列问题：

（1）对于图 6中的四边形 ABCD，其内角和∠1+∠2+∠3+∠4=_______;

（2）（2）平角等于180°，试求图 5中∠4+∠5+∠6的大小，以及图 6中∠5+∠6+∠7+∠8的大小.

分析：题目初始引出了三角形的内角和知识，实则是引导同学们运用该知识进行角度之和问题的转化.计算角度之和常用的方法有两种：一是直接将多角之和转化为一角，然后计算该角的大小;二是结合等角转化，将所求角度转化为相关角之间的数量关系，即等角代换.

解：（1）已知三角形的内角和为180°，则可以通过添加辅助线，将四边形 ABCD 转化为两个三角形，连接 AC，显然四边形的内角和等于两个三角形内角和的叠加，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°×2=360°.

（2）根据平角定义可知：图5中，∠4+∠5+∠6=180°-∠1 + 180°-∠2 + 180°-∠3=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°;

图6中，∠5+∠6+∠7+∠8=180°-∠1+180°-∠2+180°-∠3+180°-∠4=720°-（∠1+∠2+∠3+∠4）=360°.

评析：在上面的解题过程中，计算图形中的角度之和，采用了恒等代换的策略，将所求角度之和转化为关联角的和差关系，进而利用三角形内角和等相关知识来解答.

四、借助方程思想求角的度数

方程思想就是将数学问题中的数量关系，运用数学语言转化为方程模型，即将问题中的已知量与未知量转化为一元一次方程或二元一次方程组，从而求解问题.在求解几何角度问题时，可以根据三角形内角和、外角和以及三角形内角与外角的关系构建关于几何角的方程. 例4 如图7所示，D 和 E 分别是△ABC的边 BC、AC 上的点，已知∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠BAD=30°，试求∠EDC的度数.

分析：题目所示图形存在多个三角形，题干给出了相应的角度关系，可利用方程思想，设出其中的未知角，根据其中的内角和、外角和构建方程，从而确定角度.

解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y.

∵∠ADC为△ABD的外角，由外角性质可知∠ADC=∠B +∠BAD=y +30°.

由∠AED为△CDE的外角，

得∠ADE=∠AED=∠EDC +∠C=x + y.

由于∠ADC=∠ADE +∠EDC，

则y + 30°=x + y + x，

解得x=15°，

所以∠EDC=15°.

评析：上述解法充分利用了方程思想，设出未知角，根据三角形外角性质，以及几何等量关系构建方程.方程思想是中学数学中的重要思想，不仅适用于常规的代数问题，在求解线段、角度问题中同样有着重要作用.

上期《〈不等式与不等式组〉巩固练习》参考答案

1.A;2.D;3.A;4.B;5.B;6.1;7.6; 8. b < c < a ;9. a > 34 ;10. 25 < t < 28 ;

11.（1）不等式组的解集为-4 < x ≤ 2 ; （2） m的整数值为-1、0、1、2.

12.解：（1）设购买 A 种型号健身器材 x 套，B 种型号健身器材 y 套，依题意得：ìí?x30+0yx=+5400，0y=16000，

解得：.

答：购买 A 种型号健身器材 40 套，B 种型号健身器材10套.

（2）设购买 A 种型号健身器材 m 套，则购买 B 种型号健身器材 （50 - m） 套，

依题意得：，

解得：m≥19.5，

又∵ m为整数，

∴m的最小值为20.

答：A 种型号健身器材至少要购买20套.

上期《〈銳角三角函数〉拓展精练》参考答案

1.B;2.B;3.A;4.A;5. 3 3 + 3或3 3 - 3 ; 6.2.4;7. 66 ;8. 265 ; 9（. 1）BC的长为7; （2）∠ACB的正切值为6.

10.解：（1）由题意得：∠CAE=15°， AB=30（米），

∵∠CBE是ΔABC的一个外角，

∴∠ACB=∠CBE -∠CAE=15°，

∴∠ACB=∠CAE=15°，

∴AB=BC=30（米），

∴斜坡 BC的长为30（米）;

（2）在RtΔCBE中，∠DBE=53°，BC=30（米），

∴CE=12 BC=15（米），BE=3CE=15 3（米），在RtΔDEB中，∠DBE=53°，

∴DE=BE ? tan 53° ≈ 15 3×43=30 3（米），

∴DC=DE - CE=20 3 - 15 ≈ 20（米），

∴这棵大树 CD的高度约为20（米）.