谈谈求数列的通项公式的思路

周涛

求数列的通项公式问题经常出现各类试题中，常以选择、填空题的形式出现.此类问题，通常要求根据已知递推式关系式或数列的和式，求数列的通项公式.其命题形式多种多样，常见的解法有利用 an 与Sn的关系、递推法、构造法、累加法、累乘法等.那么，如何选择合适的方法进行求解呢？下面结合实例进行探讨.

一、根据 an 与Sn的关系求解

有些问题中直接给出了数列的前 n 项和及其关系式，在这种情况下，可以根据数列的通项公式an与其前 n 项和 Sn的关系{a（a）1（n） S（S）1，（n）n（-） n1-，1， n ≥2，来求数列的通项公式.在解题时，需先根据数列的前 n 项和 Sn及其关系式求得 Sn -1，然后将其与 Sn相减，得到在n ≥2的情况下数列的通项公式，再检验当 n =1时，a1是否满足所求an的表达式.若满足，则 an的表达式即为数列的通项公式;若不满足，则需分情况表示数列的通项公式.

本题的已知条件中含有数列的前 n 项和，需根据数列的通项公式 an与其前 n 项和 Sn的关系， a1= S1，n =1，来求得数列的通项公式.将 n 替换成 n -1，求得 Sn -1的关系式，然后将两式作差，即可求得在 n ≥2时的 an ，最后进行检验，即可求得问题的答案.

根据数列的通项公式 an 与其前 n 项和 Sn 的关系{an = Sn - Sn -1，n ≥2， a1= S1，n =1，求数列{an}的通项公式，一定要考虑当 n =1时的情形，否则得到不完整的答案.若当 n =1时 an 的表达式满足当 n ≥2时的通项公式，则可忽略对 n =1的情况的讨论.

二、通过累加求解

累加法是求数列的通项公式的常用方法，该方法主要适用于由形如 an - an -1 = f （n）的递推关系式求数列的通项公式.其步骤为：①将已知递推关系式转化为an - an -1 = f （n）的形式;②将 n 或 n -1个式子累加，可得 an =（an - an -1）+ （an -1 - an -2）+…+（a2- a1）+ a1， 求得 f （1）+ f （2）+…+ f （n）的和，即可求得当 n ≥2时的 an ;③判断当 n =1时，a1是否满足所求的表达式 an ，进而得到数列的通项公式.

解答本题的关键是明晰 an +1 - an =2n 与 an - an -1 = f （n）的结构一致，然后令 n =1 ，2，3，…，n -1，再将这 n -1个式子累加，借助累加法求得数列的通项公式.

三、通过累乘求解

运用累乘法与累加法求数列的通项公式的思路较为相似.累乘法主要适用于由形如 an an -1 = f （n）的递推关系式求数列的通项公式.令 n =1，2，3，…，n ，再将这 n 个式子累乘，即 an = an an -1 × an -1 an -2×… × a2 a1× a1，求得 f （n）×f （n -1）×…× f （1）的值，即可求得数列的通项公式.最后，还需根据问题所给条件求出 a1，判断 a1是否满足 an 的表达式，综合所有情况，就能得到数列的通项公式.

解答本题，需先根据数列的通项公式 an 与其前 n 项和 Sn 的关系求得 an 的表达式.而该式形如 an an -1 = f （n） ，于是将 n 个式子累乘，借助累乘法求得数列的通项公式.一般地，an - an -1 = f （n）、 an an -1 = f （n）只满足当 n ≥2时的情形，运用累加法、累乘法求数列的通项公式，一定要讨论當 n =1时的情形.

四、通过构造等比数列求解

当遇到形如 an = pan -1 + q、an = pan -1 + f （n）的递推关系式时，可考虑运用构造法来求数列的通项公式.在解题时，需引入待定系数λ，将 an = pan -1 + q 、an = pan -1 + f （n）设为 an +λ = p（an -1+λ）或 an +λf （n）= p ?（an -1+λf （n -1）），从而构造出等比数列{an +λ}或 {an +λf （n）}，以便根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.

递推关系式an +1=3an +3?2n 形如an +1 + f （n）= 3（an +f （n）），于是引入待定系数，将其变形为 an +1+λ?2n +1=3（an +λ2） n ，从而构造出等比数列{an +3?2} n ，根据等比数列的通项公式来解题.

上述几种方法适用的情形均不相同，因此在求数列的通项公式时，要注意观察递推关系式或已知关系式，如是否含有 Sn ，递推式是否形如 an - an -1 = f （n）、 an an -1 = f （n）、an = pan -1 + q 、an = pan -1 + f （n），结合递推关系式或已知关系式的特点，选择合适的方法，如根据 an与Sn 的关系、利用累加法、累乘法、构造法来求数列的通项公式.在求数列的通项公式时，还要注意一些细节，如当 n =1时的情况，an 或已知递推式满足的条件，以便得到完整的答案.