自组织理论视域下的高中数学教学研究

方晓燕

[摘  要] 概述自组织理论的思想渊源与自组织理论在教学领域的基本观点，以“二项式定理”教学为例，提出了自组织理论视域下的高中数学教学路径，以使学生在自我经历中实现自我适应、自我改造和自我完善，真正实现学生的可持续发展.

[关键词] 自组织;二项式定理;高中数学

自组织指的是事物内部的各部分都是为了其他部分和整体而存在，各部分之间会发生相互作用而构成一个有机的整体. 自组织理论强调系统内部各个要素自发地进行非线性作用，注重各要素的自行组织和自行发展，系统之外的外界条件只能影响而不能主导系统的发展. 将自组织理论引入教学领域，对教学系统各要素的自组织现象进行探究，对于进一步丰富教育教学理论、弥补传统课堂的缺陷具有重要作用.

[?]自组织理论概述

1. 自组织理论的思想渊源

自组织理论产生于20世纪60年代，但自组织理论的思想根源却源远流长. 我国古代著作《周易·序卦》中记载“有天地，然后万物生焉”，其中就蕴含着朴素的自组织思想;道家的代表作《道德经》中记载“道生一，一生二，二生三，三生万物”，这也是自组织思想的哲学观念. 以上观点都认为，万事万物的产生和发展是在一个没有外界特殊干扰的情况下发生的自组织过程. 在古代西方，也孕育出了朴素的自组织思想. 古希腊哲学家泰勒斯认为，万物由水产生，最后又复归于水，也体现出了朴素的自组织思维意识. 康德最早从哲学的角度提出了自组织的概念，他做过这样的比喻：钟表虽然有组织但并不是自组织的系统，它不能自创生、自演化、自修复，需要钟表匠这种外力的作用. 1900年，法国青年物理学家贝纳德在其论文中首次阐释了自组织现象;20世纪60年代后，随着耗散结构理论、突变论、协同论的诞生和发展，自组织理论体系最终确立起来. 由此可见，自组织理论是一个理论群，并非单一理论[1].

2. 自组织理论在教学领域的基本观点

自组织理论认为，真正意义上的学习应该是学生的自主学习. 自主学习、合作学习和探究性学习才是教学本源的回归. 高效的教学有时并不在于教师的设计有多么精细、教师的分析有多么透彻，也不在于教学的方法有多么精湛，而在于学生是否真正参与到了学习的过程当中、学习活动究竟有没有实际发生. 如果教学设计不能使学生真正实现思维和情感上的参与，那么无论学习材料多么重要，也与学生无多大关联. 因此，在自组织理论视域下，教学过程应该是教师、教材、学生和环境相互协同、相互作用的过程，是学生在掌握知识的同时，认知系统由无序走向有序、由被组织走向自组织的过程. 正是基于上述认识，我们必须认识到，学生是学习活动的主体，掌握知识、发展思维、提升能力和素养，终究是学生与外部环境相互作用的过程. 所以，教师进行教学设计时，必须充分考虑学生的自组织特性，为学生自组织提供外部条件，从而促进学生的发展[2].

[?]自组织理论运用于高中数学教学的研究

自组织理论的提出为我们更好地实现数学教育的价值提供了崭新的思路和愿景. 笔者现以“二项式定理”教学为例阐释自组织理论在高中数学教学中的运用，以飨同仁.

1. 创设教学情境，引发认知冲突

自组织理论认为，形成自组织的系统必须远离平衡状态，因为处于平衡状态的系统不可能与外界有物质、能量和信息的交换，也就难以有新的发展. 而要打破系统内部的平衡状态，就需要引发学生的认知冲突. 创设情境是引发学生认知冲突的有效路径，教学中教师可以通过创设情境，引发学生认知冲突，将学生置于一种“心求通而未达，口欲言而未能”的不平衡状态.

师：《道德经》中说道：“合抱之木，生于毫末;九层之台，起于垒土;千里之行，始于足下.”这句话启示我们，无论做什么事情，都应该从最基本的做起，经过长期的积累和坚持，才能有所成就. 同学们，如果我们每天都能进步一点点，哪怕是0.01，一年后我们也会取得很大的进步;相反，如果我们每天退步一点点，哪怕是0.01，一年后我们也会在不知不觉中有较大的退步. 你能用数学语言或者数学符号来表达这样的事实吗？

（学生讨论）

生1：我们可以用（1+0.01）365和（1-0.01）365来描述上述事实.

师：在不借助计算器的情况下，我们怎样才能快速计算出它们的大小呢？

（学生讨论并尝试写出两个式子的展开式）

生2：我们只能写出（a+b）2和（a+b）3的展开式，根据现有知识，我们还无法计算（1+0.01）365和（1-0.01）365的大小.

师：要解决上述问题，就要用到二项式定理的相关知识.

教学中，教师创设生活化的教学情境，引导学生用数学的视角看世界，揭示探究二项式定理的必要性，引发学生认知冲突，激发学生的学习兴趣.

2. 以问题为“抓手”，搭建思维的阶梯

自组织理论认为，教学过程是教师、学生、教材与环境相互作用、相互协同的过程[3]. 如何实现这种“相互作用、相互协同”呢？笔者认为，当教师能够切中要害不断向学生提出问题并得到学生积极回应时，那么教师就已经在不断地接近自己的目標了. 尽管自组织理论强调各个要素的自然发展，但是其用意并非要让教师被动地追随学生自然发展的进程，而是要求教师瞄准学生的最近发展区，向学生提出具有一定挑战性的问题，从而为学生搭建思维的阶梯，使学生在问题的引导下逐步加深对知识的理解，使学生的思维经历一个缓慢爬坡的过程，最终做到“跳一跳就能够摘到桃子”.

比如，教学中教师为学生设计了以下问题：

问题1：你是怎样得到（a+b）2，（a+b）3的展开式的？

设计意图：问题1意在激活学生已有的知识储备和认知经验，使学生思考组合数的由来，引导学生通过对较为简单的特殊情况的分析，得出具有普遍性的基本规律，通过这种从特殊到一般的分析过程提高学生的归纳推理能力.

问题2：展开式中的项是怎样确定的？

设计意图：问题2意在引导学生建立起多项式乘法法则和推导二项式定理的联系.

问题3：你能尝试写出（a+b）4的展开式吗？

设计意图：问题3意在引导学生根据多项式乘法法则探求展开式中每一项的构成及项数.

问题4：如何用组合数表示上述展开式中的系数？二项式系数的本质是什么？系数的本质又是什么？

设计意图：问题4既是对以上问题的总结归纳，也为解决问题5、问题6铺垫了道路.

问题5：你能根据以上三个式子，猜想出（a+b）n的展开式吗？

设计意图：问题5意在使学生经历观察、归纳和猜想的数学思维过程，让学生参与到数学知识探究当中，感受知识产生的真实过程，积累数学思考的基本经验.

问题6：二项式定理有哪些重要特征？

设计意图：问题6是对以上问题的总结和深化，意在引导学生用数学语言描述数学本质，提升学生的数学理解能力和表达能力.

在自组织理论的指导下，教师以问题为“抓手”，让学生经历发现、交流和反思的过程，体验数学的发生和发展过程，真正实现既“知其然”，又“知其所以然”.

3. 注重分析梳理，实现知识内化

“编筐编篓，重在收口.”梳理总结、建构体系既是一个知识内化的过程，也是一个学生对所学知识自组织的过程. 教师引导学生梳理知识线索，既能促进学生对所学知识的理解，还能让学生的思维更有条理，培养学生的学习能力，提升学生的科学素养，实现学生的自适应、自改造、自完善.

比如，教师可以引导学生自主对二项式定理从展开式的结构（项数、指数、系数和二项式系数）等方面进行回顾和梳理，从而使学生实现对知识精准、深刻的理解;教师还可以引导学生自主对本节课所用到的“从具体到抽象，从特殊到一般”的思想方法进行梳理和总结，使学生真正看到知识背后的本质，把握数学思想方法;除此以外，教师还可以对课堂初始创设的情境进行回应——让学生估算（1+0.01）365和（1-0.01）365的数值，得（1+0.01）365≈37.8，（1-0.01）365≈0.026. 此时，学生一定会感到非常惊讶，感悟到“积少成多，集腋成裘”的数学和哲学意蕴，数学教育的人文价值顿时显现.

以学生为主体的分析梳理过程，是由“他组织”到“自组织”转变的重要途径. 通过梳理，学生形成了思维体系，将新知识纳入原有认知体系，由此实现知识的同化与顺应.

运用自组织理论指导高中数学教学是一个崭新的课题. 它要求教师转变教学理念，从强调以外部力量来改造学生的“他组织”教学理念转变为顺应学生需要、培养学生自主求知的“自组织”教学理念，让学生在自我经历中实现自我适应、自我改造和自我完善，真正实现学生的可持续发展！

参考文献：

[1]  李忠贵，郭建華. “自组织”理论下的数学解题教学的实践与思考[J].中小学数学（高中版），2021（05）：54-58.

[2]  李善良. 自组织理论视域下的数学教学过程[J]. 江苏教育，2020（51）：22-24.

[3]  沈俊. “序”与“续”：自组织理论的教学意蕴[J]. 中小学教师培训，2020（05）：51-57.