运用概念教学的一般思维路径解决新定义问题

王林林

【摘 要】  本节课以北京市西城区期末试卷中的一道新定义问题为例，运用概念教学的一般思维路径，以具体的实例作为起点，引导学生在观察、实验操作、抽象概括的过程中总结出“新定义”的本质特征，然后用“新定义”解释或推理得到性质，最后运用性质解决问题，帮助学生在研究问题、解决问题的过程中积累思维经验，形成思维路径，提高思维水平.

【关键词】  新定义;概念教学;思维路径

1  引言

新定义问题是指在题干中定义了一些教材以外的数学概念，要求同学们现场读懂题意，理解新定义的含义，并结合已有知识解决问题的一种题型.自2012年起，北京市中考数学的最后一道压轴题都是新定义问题.

在新定义问题讲解过程中，经常会出现学生听得懂课但是无法自己独立探究的现象.究其原因，在于课堂上老师只是讲解了显性的具体做法，而缺乏对隐性的研究数学概念的一般思维路径的剖析与提炼，致使学生的思维能力并没有得到真正提升.

概念教学，一般要经历这样的几个过程：教师提供具体典型的案例，引导学生观察归纳共同特征得到概念的定义;再指导学生通过对正例和反例的比较、分析和概括等思维活动，明确概念的关键属性;最后学生通过应用概念，将新概念纳入已有的知识体系中，形成概念系统[1].新定义问题的课堂教学也应遵循概念教学的一般的思维路径，从概念的定义出发，探究概念的性质，最后运用性质解决问题.

下面以2020—2021学年下学期北京市西城区期末试卷的一道附加题为例，展示笔者是如何开展新定义问题课堂教学的.

2  内容分析

题目呈现：在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），记d x=|x 1-x 2|，d y=|y 1-y 2|，将 d x-d y 称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）= d x-d y .若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）.

（1）A（0，-2），B（1，4），

①μ（A，B）的值是 ;

②点K在x轴上，若μ（B，K）=0，则点K的坐标是 .

（2）点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ=6，点M的坐标为（-5，0）.

①当点Q的坐标为（0，1）时，求μ（M，PQ）的值;

②当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时点P的坐标.

从代数的角度来看：|x 1-x 2|指的是A，B两点横坐标的差，|y 1-y 2|指的是A，B两点纵坐标的差， d x-d y 指的是这两个差的差.从几何的角度来看，分别过点A，B作x轴的平行线、垂线，交于点C，得到 Rt △ABC，|x 1-x 2|、|y 1-y 2|分别指的是线段AC，BC的长， d x-d y 指的就是 Rt △ABC中两条直角边长度的差.

μ（A，PQ）是以μ（A，B）定义的.根据后面题目的设置，我们重点研究线段PQ在y轴上时的特殊情况.过点A作AG⊥PQ于点G.根据G与线段PQ的位置关系的不同，可以分为图1中的两种情况：点G在线段PQ上和点G在线段PQ的延长线（或反向延长线）上.

点B为线段PQ上任意一点，此时d x=|x 1-x 2|=AG，是固定值.（1）当点G在线段PQ上时，要使得μ（A，B），即 d x-d y 最大，只需d y最小.根据图形可知，当点B与点G重合时，d y最小为0，此时μ（A，B）最大为AG的长.（2）当点G在线段PQ的延长线上时，d y=GB.如圖2，在直线PQ上一定存在一点A′使得GA=GA′，此时μ（A，A′）=0.μ（A，B）=|GB-GA|=|GB-GA′|=A′B.根据图形可知，无论线段PQ是否经过点A′，μ（A，B）的最大值即为A′P和A′Q中的较大值，也是μ（A，P）和μ（A，Q）中的较大值.这就是μ（A，PQ）这个新定义的本质特征，也是本节课的教学重点.

3  学情分析

一个36人的班中，该题目中四小问能够做对的人数分别为36，27，14，3.学生不能用μ（A，B）的定义将“μ（B，K）=0”这个条件进一步化归;不理解μ（A，PQ）与μ（A，B）这两个概念之间的关系;最后一问是求“最大值的最小值”，这本身就难以理解.

由此确定本节课的教学难点为：理解线段PQ关于点A的横纵偏差的概念，并探究其性质.

4教学与学法

教师采用启发式教学方式，将数学题目拆分为几个核心问题，通过问题串引导学生解读概念、探究本质、应用性质解决问题.在学法上，学生通过观察、计算、归纳得到性质，并回归定义解释性质.

4  教学过程

4.1 解读μ（A，B）的定义

问题1  你是如何理解点A，B的横纵偏差的定义的？如何计算μ（A，B）？它的几何含义是什么？μ（A，B）何时为0？

师生活动：学生能够说出μ（A，B）的代数含义和几何含义.

教学说明  引导学生从几何角度理解μ（A，B）的含义.学生在遇到问题时，要不断回到基本概念中去，养成从基本概念出发思考问题、解决问题的思维习惯.

4.2 探究μ（A，B）的变化规律

师：μ（A，PQ）这个概念是以μ（A，B）的最大值定义的.为了更好地理解μ（A，PQ），我们首先研究μ（A，B）的变化规律.我们以第（2）问的条件为例.在y轴上任意取一点N，探究μ（M，N）的变化规律.

问题2  因为y轴的正、负半轴是关于x轴对称的，先研究原点及y轴正半轴上的点.当N的纵坐标分别取0～10的整数时，计算对应的μ（M，N）的值.思考：当N自原点沿y轴正半轴运动时，μ（M，N）的变化规律是什么？并说明理由.

追问：当点N自原点沿y轴负半轴运动时，μ（M，N）的变化规律又是什么？

师生活动：学生通过计算、观察、总结归纳出当N自原点沿y轴正半轴运动时μ（M，N）的变化规律，然后回归μ（A，B）的定义解释规律.由对称性可得，当点N自原点沿y轴负半轴运动时的变化规律.最后，教师用几何画板动态演示.

教学说明  学生充分经历计算、归纳、推理、验证等活动过程，归纳出点N在y轴运动时，μ（M，N）值的变化规律，培养了归纳概括的能力和合情推理的意识;回归定义解释变化规律，再次强化从基本概念出发思考问题、解决问题的思维习惯，培养了代数推理能力.几何画板动态演示，增强几何直观.最后，学生总结思维经验，形成思维路径.

4.3 解读μ（A，PQ）的定义

问题3  根据μ（A，PQ）的定义可知，点N在线段PQ上，那么μ（M，N）的最大值就是μ（M，PQ）的值.当点Q的坐标为（0，1）时，画出图形，求μ（M，PQ）的值.

师生活动：学生画出图形，根据定义得到，当点N与点Q重合时，μ（M，N）最大，最大值为4，即μ（M，PQ）=4.

教学说明：通过实例分析，明确对于确定的点M和线段PQ，μ（M，PQ）的值唯一确定.

4.4 探究μ（M，PQ）的变化规律

问题4  根据线段PQ与x轴位置关系的不同，可以分成哪几类？类比探究：当线段PQ自Q点从原点沿y轴正半轴运动时，μ（M，PQ）的值是如何变化的？如何理解μ（M，PQ）的最小值.当线段PQ在y轴负半轴运动时呢？当线段PQ与x轴相交时呢？

师生活动：学生沿着从特殊到一般的研究路径，通过画图、计算、观察、归纳：当线段PQ自Q点从原点沿y轴正半轴运动时，μ（M，PQ）先变小后变大，当Q（0，2）时，μ（M，PQ）最小为3，此时P（0，8）.由轴对称得到：当线段PQ自P点从原点沿y轴负半轴运动时的变化规律.当线段PQ与x轴相交时，μ（M，PQ）=μ（M，O）=5.回归定义解释变化规律.

教学说明  用相似的路径研究不同的问题.学生通过对多个特例进行计算、观察、对比、归纳概括得到μ（M，PQ）的变化规律，再回归定义解释规律，巩固思维路径，形成思维经验，培养了分类讨论、类比的数学思想方法，发展抽象概括能力和逻辑推理能力.4.5 解决问题

问题5  当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此時点P的坐标.

师生活动：根据变化规律直接可得结果.同学们还分享了代数推理的方法和反证法.

教学说明  解决问题的方法的多样性和发散性是课堂数学思维活动充分展开的必然结果.

4.6 变式练习

问题6  已知M（m，0），P（0，9），Q（0，1），直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时m的值.

师生活动：学生独立思考，类比探究.教师全班巡视，个别辅导.

教学说明  通过变式练习，检验教学效果.  5  对教学的启示

教师根据学生的作答情况，分析学生思维的难点，将新定义问题转化为一串需要探究的数学问题.教师引导学生沿着概念教学的一般思维路径研究“新定义”，以具体的实例作为起点，在画图、计算、观察、对比、抽象、概括的过程中总结出“新定义”的本质特征，然后用“新定义”解释或推理得到性质，最后运用性质解决问题.学生在分析与解决问题的过程中提高思维水平.

同时，在日常教学中，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、对比、分析、推理、验证等活动过程，在活动中积累分类讨论、数形结合、特殊一般、方程思想、逆向思维等基本思想和基本活动经验，迁移运用到新定义问题研究中去.

参考文献

[1] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].3版.北京：北京师范大学出版社，2014：112-117.