基于“三个理解”的幂函数教学设计

晏鸿 符强如

摘   要：理解数学、理解教学、理解学生是提升学生数学学科素养的必备条件.指向 “三个理解”的幂函数教学，以学生抽象概括、动手实践、主题探究、参与梳理等方式，学习高中数学的基本函数-幂函数，梳理一般函数的内容、方法和路径，让学生在融入函数这一套“话语” 方式"的进程中，经历函数图象与性质的多种探究方式，体会数与形的紧密联系，为后续研究其它函数打好基础，更好地完善函数主线单元的方法体系、思想体系和知识体系.

关键字：幂函数;图像性质;数形结合

章建跃博士指出“三个理解”是教师专业水平和育人能力的集中体现，理解数学、理解教学、理解学生是提高数学教学质量和效益的决定性因素，也是有效地提升学生数学学科核心素养的必备条件[ 1 ].“三个理解”对我们的教学具有指导性的意义，笔者基于“三个理解”对幂函数教学进行评价、反思.

1  基于“三个理解”的“幂函数”的认识

1.1  深度理解数学  明确把握知识的来龙去脉

理解数学就是教给学生什么.在2019年人教A版高中数学教科书中幂函数位于必修第一册第三章第三节，是本章“函数的概念及其表示”和“函数的基本性质”的延续、拓展和应用，也是后面研究“指数函数与对数函数”的模板示范，在高中函数内容的学习中具有承前启后的功能.幂函数是一类重要的基本初等函数，实际生产生活及科学研究中涉及的很多函数都是由幂函数及其他基本初等函数进行运算、复合得到的. 从这个角度来说，幂函数的学习是在此基础上的自然延伸.另一个角度来说，一方面，在学生系统学习了一般函数的概念、表示法和基本性质之后，幂函数作为一类最基本的函数，承载着从一般到特殊应用所学知识来研究和表达具体函数的功能;另一方面，幂函数作为高中阶段学生研究的第一类具体函数，以幂函数作为载体，让学生体会用函数图像和代数运算的方法研究函数是研究函数性质的重要方法;研究一类函数的内容：定义域、值域、单调性、奇偶性等;研究函数的基本思路：定义-表示-图像与性质-应用[ 2 ]. 对后续学习其他函数起着一定的示范性作用.

1.2  充分理解學生  问学生所想 解学生所难

理解学生就是以学生的认知基础、认知规律提出问题.本节课的授课对象是乌鲁木齐市一批次高中的学生，在初中一次函数、反比例函数和二次函数的学习中，学生已经掌握了三个最典型的幂函数y=x，y=x2，y=x-1，这个是教学的立足点，已经熟悉研究具体函数的图像、单调性、奇偶性等基本性质的方法，具备一定的抽象推理和运算能力.具备初步理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，但是局限于仅从代数运算或图像直观一方面来研究函数，然这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.

通过学生动手做题，让学生感受幂的指数对函数图像的影响，发现第一象限的分布规律及奇偶性间的关系，从而推广到其他幂函数，这个是新知的生长点.然而对于研究一类函数的思路过程尚未形成框架和系统，要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但由于研究目标不明确，抽象出幂函数概念的素养不够，所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.

1.3  深刻理解教学  在问题引导中渗透思想方法

理解教学就是要把握教学的基本规律，按教学规律办事儿[ 1 ].学生在初中阶段学习过一次函数、反比例函数和二次函数，对于函数的研究积累了一定的经验，但缺乏方法的梳理和总结. 本节课先引导学生对经验进行梳理，总结出函数的研究内容、方法和路径，为本节课的研究提供了方向，为后续指数对数三角函数的研究提供了路径.初中阶段，学生基本都是通过列表、描点作出函数的大致图象，再根据图象直观感知函数的性质. 经过前面的学习，学生掌握了用符号语言刻画判断函数单调性和奇偶性的方法，也就是说可以直接通过代数运算分析函数的单调性和奇偶性，这使得函数图象与性质的探究方式有了更多的可能.本节课中，教师引导体验y=x探究过程中感受数与形的相互转化.

2  教学过程及分析

2.1  情境建模，引入新课

开场白 同学们，前面课程我们学习了函数的概念、表示，以及用概念和对图像观察研究了函数的一些性质，接下来我们研究一类新的函数.研究函数一般路径：概念-表示-性质-应用.

情境  2020 年的春天注定难忘，新冠肺炎疫情打破了春节的宁静.艰难时刻，钟南山院士、无数医务人员、全国各地党员干部、普通群众纷纷走到前线，主动请战;各地防疫物资第一时间运输到武汉并且仅用十几天时间相继建成火神山、雷神山和十几座方舱医院，安置数以万计的病人住院，创造了一个又一个奇迹.假设我们是武汉抗疫保障团队，要准备抗疫场地、设施、物资等，在准备中有如下问题需要同学们思考：

（1）如果某志愿者参加口罩的生产，每分钟可以生产一只口罩，那么他生产的口罩数p （ 只） 和时间w（ 分钟） 之间有何关系？这里p是w的函数吗？

（2）如果新建的方舱医院占地为正方形，且边长为a，那么方舱医院的占地面积S是多少？这里S是a的函数吗？

（3）如果新建隔离室为正方体且棱长为b，那么该隔离室的体积V是多少？这里V是b的函数吗？

（4）如果方舱医院正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c是多少？这里c是S的函数吗？

（5）如果防疫物资运送车辆t秒内行进 1 km，那么车辆的平均速度v是多少？这里v是t的函数吗？

师生活动：其中，对于（5）中可以用v=t-1.对于（4）中c=也可以记作c=S;必要时可做这样解释=x，等式右边x的次数和左边x的系数都是1次，由于左边是两个相同的式相乘，那么这两个数的次数一定是相同的，即都为次，即=x.

设计分析 函数是用来描述客观世界中变量关系和规律的. 从这一系列实际问题中，学生可以感受到数学源于生活，大千世界中许多变量关系可以用幂函数表示，让学生体会到研究幂函数的必要性.初高中阶段学习的几种函数都有着具体的实际背景. 幂函数是高中阶段学习的第一类具体函数，从实际背景中抽象出幂函数的概念，对高中阶段指对三角函数的研究具有示范作用.

问题1：观察这些函数在解析式，他们的结构上有什么共同特征？

追问1：5个函数解析式是否可以变换成以x为自变量，y为因变量的形式？

师生活动：一起得到y=x、y=x2、y=x-1、y=x、y=x-1.老师可强调函数本质是两个数集之间的单值对应，并非字母.学生通过观察，发现一下特征：（1）底数在变，指数不变.（2）系数为1，形式都一样，都是幂的形式，（xa的运算结果叫做幂，必要时可以补充数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方，清末大数学家李善兰把“Power”这个词译为“幂”.这样“幂”就转译为若干个相同数之积.（3）这些函数的函数值都是自变量的若干次方.

追问2：强调这几个函数是研究幂xa随底数x的变化而变化的规律，引入幂函数的定义： 一般地，y=xa函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.

设计分析  先体会函数的本质是两个数集之间的单值对应，而不同的符号或形式表示是非本质的.从实际背景中抽象出数学模型是一个较难的思维过程，需要教师耐心引导.学生经历并体会这个从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，舍弃非本质性特征的抽象过程，对发展数学抽象素养有很大帮助.

2.2  问题驱动  合作探究

2.2.1 梳理研究内容，明确研究路径

问题 2：结合初中学习函数的经验，我们应该如何研究幂函数？

师生活动：教师引导学生回忆初中研究一次函数、二次函数和反比例函数的内容、过程和方法.学生总结经验，归纳出研究具体函数的基本路径：定义—图象—性质—应用.

设计分析  学生初中阶段学习过一次函数、二次函数和反比例函数，初步积累了研究函数的基本活动经验.调动学生回忆初中研究函数的内容、过程和方法，通过对这些基本活动经验的明确幂函数的研究路径：定义—图象—性质—应用，给后续课程中其他函数的研究做出示范.

追问1：如何作出幂函数y=xa的图象？

师生活动：发现幂函数y=xa是一类函数，指数a的取值不同，函数就不同，图象也是不一样的. 教师引导学生回忆初中探究正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质时对参数的处理方式. 学生根据初中研究函数的经验想到从特殊到一般.对a取一些特殊值进行研究，考查图象是否存在规律性. 从a为正整数中选取较简单的，即y=x、y=x2、y=x3.从a为负整数中选取较简单的y=x，从分数中选取较简单的，即y=x進行研究.对于其他幂函数的图象，让学生课后自行探究.

设计分析  引导学生以初中研究函数的基础， 找到处理幂函数中参数的方法，确定从特殊到一般的研究思路.

追问2：作出具体函数图象后可以研究哪些内容？

师生活动：学生回忆本章所学内容，提出值域、单调性、奇偶性等，教师板书列表呈现研究内容，如表1所示.

设计分析  梳理一个具体函数的研究内容并用表格呈现出来，也为学生建立研究具体函数的一般思路和构建基本框架.

2.2.2 探究五个幂函数的图象与性质[ 3 ]

问题3：将函数y=x、y=x2、y=x-1的图象和性质填入表格相应位置.如表2.

问题4：如何得到函数y=x3的图象？如何探究函数y=x的图象和性质？

追问1：函数y=x图像性质能不能从前面所学通过代数运算先得到函数y=x的一些性质？

学生发现函数y=x的定义域不关于原点对称，从而判断出函数y=x为非奇非偶函数.

追问2：那么单调性是否也可以直接判断呢？用定义判断函数单调性的步骤是什么？

学生回忆前面所学知识，回答出“任取—作差—变形—断号—结论”的步骤.进而师生依照步骤判断函数y=x的单调性.其中，“变形”这一步对学生而言是个难点，学生很难独立想到“分子有理化”这方法，需要教师介绍.师生共同完成对函数单调性判断.即函数的定义域是[0，+∞），?x1，x2∈[0，+∞），且x10，所以f （x1）< f （x2），即幂函数f （x）=在[0，+∞）上是增函数.

追问3：根据函数的定义域、奇偶性和单调性，你能否画出它的示意图？完成表格3.

设计分析  初中阶段，学生大多数情况下只能通过图象来直观感知函数的性质. 高中学习用精确的符号语言定义了函数的单调性和奇偶性，学生可以直接通过函数的解析式分析函数的性质.也可以根据函数的性质分析图象的特征，从而丰富了得到函数图象的方法. 对函数y=x的图象与性质的教学设计，让学生感受多种探究方式的特点，为今后更加灵活、高效地 研究具体函数做准备.

2.2.3 探究幂函数y=xa的性质[ 3 ]

问题 5：通过对这五个函数的分析，我们发现他们的图象和性质有着各自的特点，那么它们作为一类函数，有没有什么共性呢？我们将这五个函数的图象放到同一坐标系中观察一下，有什么发现吗？

师生活动：教师通过信息技术展示五个幂函数在同一坐标系下的图象.学生观察图象发现它们存在公共点，师生从数的角度说明这个点是所有幂函数的必过点.学生还可能发现这五个函数图象都经过第一象限，都不经过第四象限. 教师可以引导学生从函数的奇偶性、单调性、渐近性等角度对这几个函数的性质进行梳理. 学生通过前面总结的表格容易猜想奇偶性方面：“a”为奇数的幂函数是奇函数，“a”为偶数的幂函数为偶函数”，证明留给学生课下完成.  对于单调性方面：幂函数在（0，+∞）上的单调性，“a>0”幂函数在（0，+∞）上的单调递增;“a<0”幂函数在（0，+∞）上的单调递减.建议学生课后作出更多幂函数的图象来进一步验证猜想必要时加以计息技术论证.

设计分析  幂函数作为一类函数，是否存在共性和规律呢？这是由特殊到一般的探究思路. 学生通过研究五个特殊幂函数的图象和性质，容易对一般幂函数的性质进行猜想. 在这个过程中，学生从形到数，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决部分问题的过程，体会数与形的联系.

3  幂函数的应用

问题6：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.

（1）（-1.5），（-1.4）;（2），;

4  课堂小结

问题7：通过今天的学习，你认为对一个新函数应该研究哪些内容？如何研究？

引导学生用简短语言归纳幂函数内容：定义域，根式求;一象限，图都有;

二和三，看奇偶;四象限，都没有;正递增，负递减;都过 1，正过 0;奇偶性，看指数;指奇奇，指偶偶。

师生共同归纳出研究具体函数性质的方法：函数图像.研究函数步骤：定义-表示-性质-图像-性质-应用

设计分析  总结幂函数学习内容，学生回顾研究函数的过程、内容和方法，强化基本活动经验. 用精确的符号语言定义函数的性质后，体会函数图象与性质的研究方法，感受数与形的联系更加密切，数与形的转化更加灵活.

参考文献：

[1] 章建跃.理解数学是较好数学的前提.[J] 数学通报，2015 54（1）：61-63.

[2] 章建跃.第三章“函数的概念与性质”教材介绍与教学建议.[J] 中学数学教学参考，2019（28）：17-24.

[3] 王琦，雷晓莉 .幂函数教学设计.[J] 中国数学教育，2020（12）：14-16.