攻克高中数学中几种易错代数运算

谢秋凤

【摘  要】代数运算是高中数学的拉墙筋，渗透高中数学的每一个章节，更强调基础运算的应用。针对学生运算能力较差的现实情况，教师需要弄清各种基础运算的作用，分析学生运算出错的原因，帮助学生攻克运算难关，提高学生解题能力。

【关键词】高中;数学;代数运算

初中数学在小学整式运算基础上，增加了代数式的运算，从了解到强化这些运算，为高中数学夯实基础。高中数学主要应用到哪些代数运算呢？整式乘法及合并同类项、通分因式分解、配方、通分逆运算及繁分式的化简是整个高中数学应用较广、出错率较高的基本代数运算。下面就来看看这些基本运算在各章节中的应用，它们的作用和出错情况，抓住运算的作用和目的，用“细心”“耐心”和“信心”攻克这些运算难关。

一、整式乘法及合并同类项

整式乘法及合并同类项的作用：将整式化简整合，适用于各种含参量运算。

例1：已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为MN，当l⊥x轴时，|MN|=3。

（1）求椭圆C的标准方程;（2）在x轴上是否存在一点P，使得当l变化时，总有PM与PN所在的直线关于x轴对称？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。

解析：（1）略;（2）当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点都满足PM与PN所在直线关于x轴对称，当直线l不垂直于x轴时，假设存在p（t，0）满足条件，设l的方程为y=k（x-1），M（x2，y1），N（x2，y2），联立y=k（x-1）

3x

+4y

=12，当直线l垂直于x轴时，x轴上任意一点P都满足PM与PN所在直线关于x轴对称;当直线l不垂直于x轴时，假设存在p（t，0）满足条件，设l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2），联立y=k（x-1）

3x

+4y

=12得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0;

可得x+x=，xx= ①

∵PM与PN所在的直线关于x轴对称

∴+=0 ②

∵MN两点在直线y=k（x-1）上，∴y1=k（x1-1），

y2=k（x2-1）代入②得，==0，

∴2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0 ③，将①代入③得，

==0，要使上式与k的取值无关，则t=4。

综上所述，存在p（4，0），使得当l变化时，总有PM与PN所在直线关于x轴对称。整式乘法及合并同类项比较典型的是应用于“直线与圆锥曲线”交点问题中，解方程组时代入消元，通过整式乘法及合并同类项，解出方程或设而不解。学生往往在这个过程中出错，导致本大题一分不得。在此类问题中，我们应耐心、细心地降次排列好，关注系数有没有遗漏错误，及时纠正再往下写。

二、通分、因式分解

通分的主要作用是将几个异分母分式（数）化为一个分式，通过分析分子与分母两个式子的因式求根或判号。因式分解的作用：将整式分解成几个因式的乘积，便于求根或判号。判号在高中数学中主要用于两个方面。

（一）比较大小“作差”

例2：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=x+-4。

（1）求函数f（x）在R上的解析式;（2）用单调性定义证明函数f（x）在区间（，+∞）上是增函数。

解析：（1）略;（2）证明：设

f（x2）=x1+-x2-=（x1-x2）+=（x1-x2）（1-）=（x1-x2），∵3，∴

f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

本题考查函数单调性的证明，很多学生往往在“作差”之后，没有变形到位就开始讨论判号，没有充分的依据判号。这题的变形就需要通分、因式分解，这样通过各个因式的符号判定最后的符号，就解决问题了。只有弄清通分、因式分解的作用是判号，为什么要进行这样的变形，才能应用运算。

（二）判断导函数的符号，研究单调性

例3：已知函數f（x）=aln x+x2-ax（a∈R）。（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间;（2）求g（x）=

f（x）-2x在区间[1，e]上的最小值h（a）。

解：（1）f'（x）=+2x-a（x>0），∵x=3是函数f（x）的一个极值点，∴f'（3）=+6-a=0，解得a=9，∴f'（x）=，∴03时，f'（x）>0，

（2）g（x）=aln x+x2-ax-2x，x∈[1，e]，g'（x）=，①≤1即a≤2时，g（x）在[1，e]递增，g（x）min=g（1）=-a-1;②1<

综上h（a）=-a-1，a≤2

aln

--a，2

a（1-e）+e（e-2），a≥2e。

讨论函数的单调性，本题抓住导函数通分、因式分解，通过判定导函数的正负符号，研究函数的单调性。同学们在学习导数时，对导函数与原函数关系的理解，需要转换到导函数正负符号与原函数单调性的关系上，将原函数单调性问题转化为导函数判号问题。

三、配方法

配方法就是将整式化成完全平方的形式，把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和。配方常用于“判号”，广泛应用于“二次函数问题”，主要作用是找到二次函数的顶点、对称轴和最值。

（一）判号

例4：已知函数f（x）=x3+3x，（1）求证：函数f（x）为奇函数;（2）求证：函数f（x）为增函数。

解析：（1）略;（2）证明：设x1

=（x13-x23）+3（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x22+x1x2+3）

=（x1-x2）[（x1+x2）2+x22+3）]，又由x10，即f（x1）-

f（x2）<0，则函数为增函数。

本题中x12+x22+x1x2+3=（x1+x2）2+x22+3，运用配方再判号。

（二）解决二次函数问题

例5：已知向量=（-3，2），=（2，1），=（3，-1），t∈R.

（1）求|+t |的最小值及相应的t值;若-t 与共线，求实数t.

解析：因为=（-3，2），=（2，1），所以+t =

（-3，2）+t（2，1）=（-3+2t，2+t），所以|+t|===≥=。

当且仅当t=时取等号，即|+t |的最小值为，此时t=。

（2）略。

本题中=，这样通过配方解决了二次函数问题，而二次函数是高中数学中最广泛的函数之一。

配方时可先将二次项和一次项组合并提取二次项系数，再配出一次项系数的一半，最后考虑常数项。如ax2+bx+c=a（x2+x）+c=a（x+）2+c-，这里“”和“c-”是出错率较高的地方，运算时我们应及时验算是否有误。

四、通分的逆运算

通分的逆运算则是将一个分式用除法的分配律，分成几个整式或分式的和。比较典型的有分离常数，可以降低分子的次数。

例6：求下列函数的值域：（1）y=;（2）y=;（3）y=。

分析：（1）y===3-，将分子分母一次型转换为反比例函数模型。（2）y==2x+-2，化为双勾函数。分子二次分母一次的，也可用此法转换为其他函数解决。当然，函数y==2x--2，可以直接利用函数单调递增来研究。（3）y===2-，这种分离常数的做法，将分子分母二次型转换为分子一次型考虑，令3x+1=t，即可转换为上一类题型。

这类问题，很多学生的困惑在于不知道这种运算能降低分子的次数，从而将复杂的函数转换为我们熟悉的基本函数。当我们熟练掌握这一技巧，遇到这样的分式函数，就有信心顺利地解决。

五、攻克运算难关方法

以上是笔者对高中数学中几种易错代数运算应用的理解，在教学过程中，我们又该如何攻克这些运算难关呢？

（一）专题例谈各种基本运算

通过上述举例，学生对这些基本运算的作用有了初步了解，懂得恰当运用这些运算是成功解決数学问题的首要步骤。高一、高二应根据教学内容局部举例，高三可采取专题例谈各种高中易错基本运算。

（二）设计专项训练

对高一、高二学生而言，新学内容更需要知道这些运算所起的作用，针对学生易错情况，做针对性练习。对高三学生而言，提高易错警惕，专项训练，提高解题准确性和解题速度。

（三）用“细心”“耐心”和“信心”攻克这些运算难关

对高三学生增加专题例谈各种基本运算，在系统地了解到各种基本运算的作用后，更能以清晰的思路将大题转化为小题，做针对性训练，查漏补缺。用“细心” “耐心”和“信心”攻克这些运算难关。

【参考文献】

[1]张大同.高中代数解题思路与技巧[M].太原：山西教育出版社，1996.

[2]程志国.高中数学解题方法[M].北京：气象出版社，1991.

[3]李正兴.高中数学微专题代数篇[M].上海：上海社会出版社，2020.