“两边夹法则”在解题中的使用

王静林

【摘要】通常情况下，在解决各种数学问题的时候，会用到各种数学方法、数学思想和数学法则等.作为数学解题工具的“两边夹法则”，将其应用在实际的数学题目中，不仅能够给解题带来很大的便利，还能够从中探究出数学题目解答的规律，从而帮助学生更好的掌握和学习数学知识.本文从“两边夹法则”在各种数学题目中的解题应用出发，对数学解题方法进行深入的揭示.

【关键词】两边夹法则;解题应用;数学解题

“两边夹法则”的性质是“若a≤x≤a，那么x=a”，根据两边夹法则的这一性质能够解决很多数学方面的问题.将“两边夹法则”在数学解题当中应用的时候，必须要先理解数学问题的题目意思，由此建立起相关的不等式关系，然后借助两边夹法则确定下来其中的参数值，最终完成不等向相等、变量到常量、运动到静止状况的转变[1].用具体的数学实例来进行具体的说明，具体内容如下：

1 利用“两边夹法则”解方程

例1 是否存在一个常数c，能够使不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤ xx+2y+y2x+y对于任意正数x，y成立.

解 令2x+y=a，x+2y=b（a>0，b>0），

则不等式可以转化为x2x+y+yx+2y = 2a-b3a +2b-a3b=43 -13（ba + ab）

≤43 -23 = 23，

当且仅当ba = ab ，即x=y的时候取“=”.

因为x2x+y+yx+2y≤c对于任意正数的x，y成立，

所以（x2x+y+yx+2y）max≤c，

此时c≥23. ……①

同理，xx+2y+y2x+y=23（ba + ab）-23

≥23×2 —23 = 23，

当且仅当ba = ab ，即x=y的时候取“=”.

因为c≤xx+2y+y2x+y对于任意正数的x，y成立，

所以c≤（xx+2y+y2x+y）min

此时c≤23.……②

由①和②综合可得c=23.

2 利用“两边夹法则”求解函数解析式

例2 已知二次函数fx=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）这个点，并且x≤fx≤12x2+12恒成立，求二次函数fx的函数解析式.

解 由二次函数fx=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）这个点，

得a-b+c=0，  ……①

又x≤fx≤12x2+12恒成立，

则可得1≤f1≤1，

即f1=a+b+c=1，  ……②

结合①和②可得a+c=12，b=12，

所以fx=ax2+12x+12 - a对于x∈R都成立，

由此x≤ax2+12x+12 - a≤x2+12对于x∈R都成立，

即ax2+12x+12-a≥x，ax2+12x+12-a≤x2+12对于x∈R都成立，

所以ax2-12x+12-a≥0，1-2ax2-x+2a≥0对于x∈R都成立，

所以Δ1=14-4a（12-a），a>0，Δ2=1-8a1-2a≤0，1-2a>0，

解得a=14，

所以c=12-14=14.

由此可得出二次函数的解析式为fx=14x2+12x+14.

3 利用“两边夹法则”求角的大小

例3 已知在三角形ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c满足sinA（sinA+2 3sinBsinC=3sin2B+3sin2C，则C的大小为.

分析 两边夹法则有两个层面[2]：

（1）如果同时有不等式fx≤fx+γ（γ≠0）成立，

则利用两边夹法則可以得出：f（x+γ）= f（x）.

（2）如果同时有不等式fx≥a，fx≤b（a

利用两边夹定理可得a≤fx≤b.

结合题目相关的条件和性质以两边夹定理进行分析和求解.

通常情况下，两边夹法则的应用是在题目条件不足的状况下[3].

解 根据正弦定理可知，

sinA（sinA+2 3sinBsinC）=3sin2B+3sin2C

a2+2 3absinC=3b2+3c2  ……①

在△ABC当中根据余弦定理可得

c2=a2+b2-2abcosC     ……②

根据①和②可知，

a2+2 3absinC=3b2+3a2+3b2-6abcosC

又 3absinC+3abcosc=a2+3b2

即可得 3sinC+3cosC=ab+3ba

又2 3sin（C+π3）=ab + 3ba

又2 3sin（C+π3）≤2 3，ab + 3ba ≥2 3

所以sin（C+π3）=1

C=π6

4 结语

在应用两边夹法则解题的时候，不仅可以解方程、求函数解析式和求三角形中角的大小，还能够用于比较大小、求参数的值以及探究问题等数学问题当中，学生要能够灵活运用两边夹法则，保证数学问题得到解决.

参考文献：

[1]刘一鸣.利用两边夹法则解竞赛题[J].数理天地（初中版），2021，（09）：31+33.

[2]张滨.例说“两边夹法则”在解题中的应用[J].初中数学教与学，2021，（15）：37-38.

[3]虞懿.应用“两边夹”法则求解竞赛题[J].数学通讯，2018，（23）：51-53.