赏析数学竞赛中的代数求值技巧

刘贤华

【摘要】 代数式的求值问题是各类考试的重要考题，这类题目有利于考查和培养推理论证、数学运算等能力，本文精选几例探究其解题规律.

【关键词】 数学竞赛;代数求值;技巧

当前的试题越来越重视逻辑推理、数学运算等数学核心素养，代数式求值问题是各类模拟题和竞赛试题的必考题型，解题方法灵活多变，因题而异，怎样才能快速、准确地求出代数式的值呢？下面提供几种常见的技巧.

1 利用恒等式求值

例1 已知1b+1c-1a=34，abc+bac+cab，b2|c|-2c2|b|-4（|b|-2|c|）=0，b与c同号，且b≠2c，求a4+b4+c4的值.

解 由题意知

b2|c|-2c2|b|-4（|b|-2|c|）

=|b||bc|-|bc||2c|-4（|b|-2|c|）

=|bc|（|b|-|2c|）-4（|b|-2|c|）

=（|bc|-4）（|b|-2|c|）

=0，

因为b与c同号，且b≠2c，

所以bc=4.

由1b+1c-1a=34，得

ac+ab-bc=34abc=3a.①②

由abc+bac+cab=32，得

a2+b2+c2=32abc=6a.②

因为[a-（b+c）]2=a2+b2+c2-2a（b+c）+2bc，

将①②代入上式，可得

a=b+c.

由a2+b2+c2=6（b+c），得到

2（b+c）2-2bc=6（b+c），

即2（b+c）2-8-6（b+c）=0，（b+c）2-3（b+c）-4=0，

由此得b+c=4或b+c=-1（无解）.

所以b=2，c=2.

于是a=4.

故a4+b4+c4=288.

注 先对题目条件中的等式分别化简，利用恒等式求各字母的值，进而求得代数式的值.考查数学运算素养和逻辑推理素养.

2 利用整体思想求值

例2 若实数a，b，c满足（a+b+c）1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b=95，求（a+b+c）1a+1b+1c的值.

解 记a+b+c=x，ab+bc+ca=y，abc=z，则

（a+b+c）1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b

=x1x-6a+1x-6b+1x-6c

=x[3x2-12（a+b+c）x+36（ab+bc+ca）]x3-6（a+b+c）x2+36（ab+bc+ca）x-216abc

=x（-9x2+36y）-5x2+36xy-216z，

结合已知条件可得

x（-9x2+36y）-5x2+36xy-216z=95，

整理得xy=272z，

所以（a+b+c）1a+1b+1c=xyz=272.

注 化繁为简是数学解题的基本思路，代数换元、整体代入都是最重要的数学方法，需要较强的数学运算能力.

3 巧用放缩法求值

例3 记[x]表示不超过x的最大整数，若S=1+12+13+…+11020100，则[S]=（）

（A）1010.（B）2018.

（C）2019.（D）2020.

解 因为

n-1+n<2n

所以2n+1+n<1n<2n-1+n，

即2（n+1-n）<1n<2（n-n-1），

从而可知2（2-1）<11=1，

2（3-2）<12<2（2-1），

2（4-3）<13<2（3-2），

……

2（1020101-1020100）<11020100

<2（1020100-1020099），

以上各式相加，得

2（1020101-1）

又因為1020101>1020100，

所以2（1020100-1）

因为1020100=1010，

2（1010-1）=2018，

所以2018

所以[S]=2018，

故选（B）.

注 本题考查放缩的方法，取倒数，运用叠加法，根据新定义得到答案.此类问题是训练学生逻辑思维和数学运算的好素材.