数学竞赛中的圆

孙中权

【摘要】 圆是日常生活中的常见图形，是中學数学的一个重要知识点，是中考试题和数学竞赛的“嘉宾”，圆的性质及其应用值得我们深入研究.

【关键词】 圆;三角形;数学竞赛

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性，因为圆的独特性质常常出现在各类数学竞赛中.垂径定理、圆与多边形的内切外接、三角形的等面积公式、勾股定理等都是常考内容，下面略举几例以窥一斑.

1 三角形的内切圆

例1 在△ABC中AC=8，BC=6，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.若△ABC，△ACD，△BCD的内切圆的半径分别是r1，r2，r3，则r1+r2+，r3的值是.

解 如图1，AC=8，

BC=6，

∠ACB=90°，

所以AB=AC2+BC2

=10.

由题设易知

Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD.

于是AC2=AD·AB，

CD2=AD·BD，

从而AD=AC2AB=8210=6.4，

BD=AB-AD=10-6.4=3.6，

CD=AD·BD=6.4×3.6=4.8.

设△ABC，△ACD，△BCD的内切圆分别为⊙O1，⊙O2，⊙O3，则由内切圆的性质知

r1=12（BC+AC-AB）=12（6+8-10）=2，

r2=12（AD+CD-AC）=12（6.4+4.8-8）=1.6，

r3=12（BD+CD-BC）=12（3.6+4.8-6）=1.2，

于是r1+r2+r3=2+1.6+1.2=4.8.

注 本题利用勾股定理和三角形相似及圆的切线长相等等性质，将三个三角形的内切圆的半径分别求出即可.

2 多圆外切与最值

例2 图2

如图2，在边长为2018的等边△ABC内有 n个依次外切的圆，记为⊙O1，⊙O2，…，⊙On，它们都与边AB，AC相切.若⊙O1的半径为1，则⊙On的半径最大值.

解 作如图所示的辅助线，显然

O1A=2r1=2，

又r1+r2=2（r2-r1），

可得r2=3r1.

同理r3=3r2，…，rn=3rn-1，

又设m=（1+2）+2×3+2×32+…+2×3n-1，

则3m=（1×3+2×3）+2×32+2×33+…+

2×3n，

两式相减得2m=2×3n，

解得m=3n.

显然36<2018×32<37，

所以最多有6个圆，第6个圆最大，

半径为r6=36-1r1=243.

注 本题涉及到一列后项与前一项的比为同一个常数的数字求和问题，不等式问题，解题关键是找到相邻两圆半径之间的关系.

3 三角形的内切圆与外接圆

例3 已知二次函数y=x2-2与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，则△ABC内切圆的半径为，外接圆半径为.

解 如图，由题设可知A（-2，0），B（2，0），C（0，-2）.

则|OA|=|OB|=2，

|OC|=2，

|AB|=22.

在Rt△AOC 中，由勾股定理，得

AC=|OA|2+|OC|2

=（2）2+22

=6，

同理BC=6.

设△ABC内切圆的半径为r，则

12（AC+BC+AB）·r=S△ABC=12·AB·OC，

即12·（6+6+22）·r=12×22×2，

解得r=226+2=3-1.

因为AC=BC，

所以△ABC外接圆的圆心在y轴上，设其坐标为（0，y），

则（y+2）2=y2+（2）2，

解得y=-12，

于是△ABC外接圆的半径为

-12+2=32.

注 以二次函数为背景，考查了圆的最基本最重要的性质——垂径定理，三角形的内切圆与外接圆的性质等基础知识.