悬臂转子系统气流激励下的动响应分析

王晋中 谷艳玲

摘 要：本研究以离心式压缩机悬臂转子系统为研究对象，对由气流激励引起的间隙激振力影响下的转子系统进行动力学稳定性分析。采用Timoshenko梁单元来模拟离散后的系统各轴单元，使用集中质量来模拟叶轮在转子系统中受到的影响，引入Alford气流间隙力模型、Muszynska迷宫密封力模型、滚动轴承力模型，建立系统的动力学方程，使用Newmark-β隐式积分数值计算方法进行求解。分别研究不同转速下Alford力、密封力、滚动轴承力对转子系统的影响。结果表明，密封力对转子系统的稳定性有促进作用，滚动轴承力会引起密封力，从而导致系统锁频频率偏移，Alford力对系统的振动幅值有较小的影响。

关键词：悬臂转子;Alford力;密封力;滚动轴承;动响应分析

中图分类号：TH113.1     文献标志码：A     文章编号：1003-5168（2022）9-0032-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.09.006

Dynamic Response Analysis of Cantilever Rotor System under Airflow Excitation

WANG Jinzhong    GU Yanling

（College of Mechanical Engineering Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China）

Abstract：In this study，taking the cantilever rotor system of centrifugal compressor as the research object，the dynamic stability of the rotor system under the influence of clearance excitation force caused by airflow excitation is analyzed.Timoshenko beam element is used to simulate the discrete shaft elements of the system，and the concentrated mass is used to simulate the influence of the impeller in the rotor system.Alford air gap force model，Muszynska labyrinth sealing force model and rolling bearing force model are introduced to establish the dynamic equation of the system.Use  Newmark-β numerical calculation method of implicit integration solved the differential equation.The effects of Alford force，sealing force and rolling bearing force on the rotor system at different speeds are studied.The results show that the sealing force can promote the stability of the rotor system，the rolling bearing force will shift the frequency locking of the system caused by the sealing force，and the Alford force has a small influence on the vibration amplitude of the system.

Keywords：cantilever rotor;Alford force;sealing force;rolling bearing force;dynamic response analysis

0 引言

转子系统作为离心压缩机中的主要做功部分，其稳定性对离心压缩机的运行有着极大的影响，其运动失稳不仅会使离心压缩机组产生故障，也会造成轴承、轴、叶轮等零件的局部损坏，严重时甚至会导致整个机组被破坏[1-3]。随着转子动力学研究的不断深入，大功率复杂透平机械动力学模型中需要考虑的关键因素不断增加，不仅要考虑转子本身的机械结构等基本要素，还要考虑轴承和密封件等其他因素对转子的影响。因此，对非线性动力学模型的研究是非常有必要的。而离心压缩机转子系统中主要的气流激励力是由叶轮后端的密封力及叶轮叶尖间隙力即Alford力组成。袁振伟等[4]基于Jeffcott转子模型，建立了加载Alford力的系统运动方程，发现了Alford力促进正进动抑制反进动的特性。罗贵火等[5]采用有限元分析法建立了Alford力作用下的转子运动方程，经计算求解后得出了不平衡量、转速、支承刚度、阻尼及圆盘位置对该转子系统稳定性的影响。李彬等[6]将叶片视为悬臂梁，建立了Alford力作用下叶片弯曲振动的系统模型，分析得出Alford力使系统的稳定性更复杂且失稳区域扩大的结论。成玫等[7]通过Jeffcott转子模拟风机转子系统，研究Alford力下滚动轴承参数对转子系统的影响。黄若等[8]将车用涡轮增压器转子简化为Jeffcott转子进行动力学建模，采用Black密封力模型和Alford叶尖间隙力模型，研究转子系统中球轴承在加速度不同的情况下系统动力学响应变化。對于密封力，罗跃纲等以转子试验台为研究对象，应用滚动轴承力模型和Muzynska密封力模型，研究了转速、偏心量及密封参数对转子系统的影响[9]，也研究了密封转子在摩碰故障下的特征变化[10]。

本研究以悬臂转子为研究对象，应用有限元法及质量集中法来模拟转子系统矩阵，在其对应位置添加叶轮间隙力、密封力和滚动轴承力，组建系统动力学方程，在不同转速下研究三种非线性力对转子系统的影响。

1 转子-密封-轴承模型的建立

为了有针对性地研究气流激励对转子系统的各种响应，通过有限元方法建立了如图1所示的转子-密封-轴承系统模型。采用Muszynska密封力模型来计算密封安装部位转子运动时由转子偏心所产生的密封力，采用Alford叶轮叶尖间隙力模型来计算叶轮部位叶轮转动时由转子偏心产生的径向力，而轴承部位则采用角接触球轴承的非线性力模型。

图1为转子-密封-轴承模型的二维結构简图，在整个转子系统上建立长均匀轴段，最终将系统离散化成为28个轴单元，即系统共有29个节点。图2为Timoshenko梁单元的示意图，轴段存在两个断面节点A和B，每个节点有6个自由度。这里只研究径向响应，忽略z轴方向的位移及转动角两个自由度，则轴段单元的每个节点均存在4个自由度。

1.1 迷宫密封力模型

本研究选取基于大量试验且更接近于实际、能够更好地反应密封力非线性特性的Muszynska迷宫密封力模型。该模型引入了密封间隙的流体运动平均流速为τ，将流体作用力视为以平均角速度τω转动的力密封力计算公式如式（1）所示。

[Ff xFf y=-     K-mfτ2ω2      τωD      -τωD            K-mfτ2ω2]

[xy-     D         2τωmf-2τωmf      D    xy-mf     00     mfxy]

（1）

式中：K、D、mf分别表示密封力的当量刚度、阻尼和质量;且K、D、τ均为与扰动位移x、y有关的非线性函数。本研究选取的密封参数如表1所示。

1.2 滚动轴承力模型

图3为滚动轴承的轴向截面示意图，滚动轴承在运行过程中，内圈通过过盈配合与转轴固定在一起，外圈则固定在轴承座上，滚动体在滚道中等距排列且假设为纯滚动。其中，滚动体的数量为Nb，轴承外径为R，内径为r，内圈与转轴的转动速度为ω。滚动体与外圈接触点的线速度Vout为0，与内圈接触点的线速度Vin为ω×r，保持架的角速度ωc，计算公式见式（2）。

[ωc=（ω×r）/2（R+r）/2=ω×rR+r]     （2）

假设转轴在转动中在X方向和Y方向上产生的振动位移扰动分别为x和y，且轴承间隙为c0，则第i个滚动体和滚道的法向接触变形δi计算公式见式（3）。

[δi=xcosθi+ysinθi-c0] ;   （3）

式中，θi为滚动体在轴承中的接触位置角。

[θi=ω×t+2πNb（j-1），i=1，2，...，Nb]  （4）

由非线性赫兹接触理论可知，当δi>0时，第i个滚动体与滚道才会接触产生接触压力Fi，引入阶跃函数H，其计算公式见式（5）。

[H（δi）=1，     δi>00，     δi≤0]      （5）

则滚动体承受的力Fi计算公式见式（6）。

[Fi=cb×δai×H（δi）×cosa]    （6）

式中：α=3/2，cb为赫兹接触刚度轴承对转轴的总支承力，如式（7）所示。

[Fx=i=1NbFix=i=1NbFicosθiFy=i=1NbFiy=i=1NbFisinθi]    （7）

1.3 Alford力模型

传统的Alford力模型如式（8）所示。

[FxFy=0       ka-ka     0][xy]    （8）

对于转子系统的运动方程来说，相当于增加了交叉耦合刚度ka，计算公式见式（9）。

[ka=τβDH]        （9）

式中：τ为流体作用在叶片上的扭矩;D为叶片中径;H为叶片高度（或长度）;β为单位间隙变化引起的动力效率变化系数。

对于压缩机叶轮来说，流体作用在叶片上的扭矩如式（10）所示。

[τ=9 550 Pn]       （10）

式中，P为电机传递给转子的功率。

本研究中设定的叶轮各项参数如表2所示。

1.4 悬臂转子系统的动力学方程及求解

根据拉格朗日方程得到整个转子系统的动力学方程如式（11）所示。

[Mu+（C+D）u+Ku=Fp+Ff+Fk+Fa+G]

（11）

式中：M为转子系统的质量矩阵;D为陀螺矩阵;K为刚度矩阵;C为系统的比例阻尼矩阵;[Fp]为偏心力向量;[G]为重力向量;Ff为密封力向量;Fa为叶轮间隙力向量;Fk为轴承力向量。

2 仿真结果及分析

2.1 无密封力情况下的系统响应

在悬臂转子系统无气流激励的情况下，在转子上设置600 mm·g的偏心量，在轴承力节点处将轴承支承设置为刚度阻尼支承，利用Newmark-β求解后得到其在不同转速下稳速运行的轴心轨迹图、时域波形图、频谱图和Poincaré截面图，如图4所示。

对图4中的Poincaré截面图分析后发现，随着转速的上升，系统旋转逐渐发生失稳，由周期运动逐渐转变为拟周期运动;从频谱图可以看出，随着转速的增加，频域主要体现为转频，并且幅值逐渐增加;从时域图可以看出，随着转速的上升，振动幅值逐渐变大，并且在14 000 r/min时幅值产生较明显的波动。

2.2 有密封力情况下的系统响应

除叶轮外，离心压缩机气流激励的主要来源就是密封力。在转子系统轴封安装位置的节点处施加Muszynska密封力，通过数值计算得到不同转速的轴心轨迹图、时域波形图、频谱图和Poincaré截面图，如图5所示。

从图5可以看出，在低转速情况下，系统做稳定的周期运动，但频谱上出现了细小的二倍频成分。随着转速的上升，系统逐渐失稳，Poincaré截面图为一条几乎闭合的环状曲线，说明系统处于拟周期运动;频谱中出现的其他成分能量主要来自密封力，且频率锁定不变，但幅值随着转速的升高而变大，在转速为14 000 r/min时，频谱中出现了明显的转频和锁频组合频率;转频幅值相对于无密封时总体有所减小，说明密封力对转子系统的稳定运行具有积极的作用。

2.3 密封力、轴承力作用下的系统响应

将轴承力模型施加在转轴相应的节点上，计算得到不同转速的轴心轨迹图、时域波形图频谱图和Poincaré截面图（见图6）。

从图6可以看出，在低转速下，系统处于混沌状态，但振动能量成分明确，仅有工频及其二倍、三倍频。随着转速的增加，在93.33 Hz左右出现锁频，一倍频的幅值有所减小，但锁频幅值在增大;在添加轴承力以后，高转速下系统的稳定性有所增加，处于倍周期运动状态;相较于8 000 r/min的转速，转速为14 000 r/min的频谱图能量成分更加清晰，但是在锁频和一倍频两个频率处的振动幅值都有明显上升，且锁频频率相对于只有密封力时有所增加。

2.4 密封、轴承、Alford力共同作用下的系统响应

离心压缩机运转过程中不可避免地存在着因叶轮偏心引起的叶尖间隙力，将叶轮间隙力施加在叶轮所在节点，数值计算后得到不同转速的轴心轨迹图、时域波形图、频谱图和Poincaré截面图（见图7）。

由图7可知，低转速下系统处于混沌状态，转速升高后出现锁频现象，且系统处于概周期和倍周期运动;与无叶轮间隙力相同，随着转速增大，锁频幅值增大，工频幅值减小;转速为8 000 r/min时，叶轮间隙力使系统更加不稳定，当速度达到14 000 r/min时，叶轮力的影响减小，但仍加剧了系统失稳的状态;在叶轮力的影响下，系统振动频率没有发生变化，但其幅值存在细微的波动。

3 结语

本研究采用有限元法建立了悬臂叶轮转子-密封-轴承系统，使用隐式积分法Newmark-β求解得到不同转速、受力情况下的轴心轨迹图、时域波形图、频谱图和Poincaré截面图。分析后发现在固定刚度阻尼支承下，由于偏心量的影响，转子系统随转速增加而逐渐失稳;在轴封部位添加密封力后，高转速下会出现锁频现象，系统的运动主要以概周期运动为主，并且转频相对于没有密封力时有所降低;继续在支承位置添加轴承力后，低转速下的系统稳定状态较差，高转速下锁频频率发生偏移，系统处于倍周期运动状态;在叶轮位置添加叶尖间隙力后，转子系统主要频率成分的幅值都有细微的变动。

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