阵元等功率约束下的MIMO雷达发射加权矩阵优化算法

黄中瑞 史英春 唐 波 秦立龙

(国防科技大学电子对抗学院 合肥 230037)

1 引言

多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷达是近年来提出的一种新体制雷达[1,2]，与传统相控阵雷达相比，在许多方面具有更加优越的性能，因而引起了众多信号处理学者的广泛关注。根据阵元部署位置的不同，MIMO雷达可以分为统计MIMO雷达[3]和相干MIMO雷达[4]。相干MIMO雷达根据收发阵列配置的距离又可分为单基地MIMO雷达[5]和双基地MIMO雷达[6]。本文主要以双基地MIMO雷达为对象进行研究。

在MIMO雷达众多的研究领域中，波形设计[7,8]是非常重要的一个研究方向，同时也是开展参数估计、目标检测等研究的基础。根据应用场合的不同，发射波形设计准则也相差较大，目前常用的优化准则有：基于信息论的发射波形设计[9]、基于最大化输出信干噪比的发射波形设计[10]、MIMO雷达正交波形设计[11]以及基于期望方向图匹配的发射波形设计[12]等。

传统MIMO雷达通常发射理想正交波形，因而其发射功率为各向等值分布，在已知目标分布空域(可以利用先验信息进行预估)时，会造成发射功率在旁瓣空域的损失，制约目标参数估计性能的提升。因此，如何根据目标分布空域信息，设计合适的发射方向图使发射功率更多地聚焦在目标空域是一个关键问题。文献[13]研究了发射方向图匹配下的MIMO雷达协方差矩阵设计问题，建立了阵元等功率约束下的协方差矩阵优化模型，并基于半正定规划算法给出了全局最优解。文献[14]在文献[13]的基础上，进一步研究了协方差矩阵匹配下的发射波形合成问题。考虑到发射波形的恒模特性，原问题具有高度的非凸特性，一般优化方法难以对其进行有效求解。文献[14]利用循环算法(Cyclic Algorithm,CA)对发射波形和辅助半正交矩阵进行联合优化，由于每步优化都是求解两个独立的闭式解问题，因而其计算效率得到了较大的改善。

上述文献虽然能够使发射功率在期望空域进行聚焦，但是波形间的相关性使得合成导向矢量产生了畸变，因而不利于采用高效子空间类算法估计目标的参数(特别是目标的发射角度)。为了解决上述问题，文献[15]研究了基于发射加权矩阵优化的MIMO雷达角度估计算法。通过对正交基波形进行加权使合成信号在期望空域能够满足所需的相关特性，在接收端利用正交基波形进行匹配滤波，从而获取目标回波的相位信息，并基于特定的算法实现了目标角度的快速估计。但文献[15]的缺点是发射阵元的功率不满足均匀特性，造成了发射功率利用率的下降。文献[16]在文献[15]的基础上，进一步提出了一种基于接收角自由搜索的发射加权矩阵设计方法，该方法不仅满足阵元的等功率特性，而且能够使合成导向矢量具有理想的旋转不变特性，但该方法的缺点是：要求阵元数目为偶数，而且不便于扩展到双基地MIMO雷达的参数估计中。文献[17]在文献[15]的基础上，将算法推广到了双基地MIMO雷达中，文献[18]进一步研究了阵元等功率约束下的双基地MIMO雷达发射加权矩阵优化问题，并利用序列锥规划方法对发射加权矩阵其进行了求解，在提高目标角度估计性能的基础上，也同步改善了阵元发射功率的利用率。但该方法最大缺点是计算复杂度非常大，不利于实际工程的应用。

鉴于此，本文基于PDR(Projection Descent and Retraction)算法提出一种新的发射加权矩阵设计方法。该方法基于循环迭代思想构建了发射加权矩阵和尺度因子的联合优化模型。其中，尺度因子的求解是一个无约束问题，可以方便地得到闭式解；发射加权矩阵的求解通过梯度计算、投影、缩放等运算，同样可以简化为一个闭式解问题，因此该方法的计算复杂度非常低。为保证所提方法的性能，从理论上证明了其收敛特性。最后，分别从发射方向图合成和目标角度估计性能两个方面进行仿真分析，验证了本文算法的有效性。

2 MIMO雷达发射加权矩阵优化模型

考虑一双基地MIMO雷达，收发阵列为均匀线性阵列，阵元数目分别为MT和MR，阵元间距为半波长。传统MIMO雷达的发射功率在空间为等功率全向辐射，在已知目标分布空域的前提下，发射功率分散会制约目标处接收信号功率的提高，从而恶化接收端信号的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)。为了同时获得发射功率聚焦和波形分集增益两种优势，本文在传统MIMO雷达模型的基础上，考虑发射加权网络优化问题，具体结构如图1所示。

图1 发射加权网络结构示意图

令y(t)=[y1(t),y2(t),...,yK(t)]T为K个发射基波形，相互之间满足理想正交特性，即

3 MIMO雷达发射加权矩阵优化

3.1 算法描述

这是一个恒模约束下的2次优化问题，目前已经有ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)算法、MM(Majorization Minimization)算法、SCF(Successive Closed Forms)算法以及传统PDR算法等都可对其进行快速求解。约束w恒模虽然能够满足发射阵元的等功率辐射特性，但也会造成搜索可行域的减小，从而恶化发射方向图性能。鉴于此，本文主要考虑阵元等功率约束下的发射加权矩阵求解问题，并采用改进PDR算法对其进行解决(在不引起混淆的情况下，本文仍将其简称为PDR算法)。

为了保证后续计算的有效性，构造式(9)的等价优化模型为

图2 PDR算法示意图

式(16)得到的优化变量并不满足阵元等功率约束条件，因此，需要对其进行缩放操作，具体为

结合上述分析，可以给出基于改进PDR算法的MIMO雷达发射加权矩阵优化如表1所示。

表1 所提算法的具体流程

3.2 收敛性分析

由于优化模型式(9)是一个非凸问题，在理论上无法保证获得全局最优解，因此，本文退而求其次，在3.1节给出了一个求解局部最优解的方法，为了说明本文方法的有效性，需要对所提方法的局部收敛性进行证明，下面对此进行详细分析。

对式(17)进行变换可得

式(30)表明，所提方法的外循环同样满足收敛性条件。综上，本文所提算法的收敛性是可以得到保证的。

3.3 计算复杂度分析

4 仿真分析

考虑某一双基地MIMO雷达，其收发阵列均均匀线性阵列，阵元间距为半波长，发射阵元数目为MT=10 ，接收阵元数目MR=10，发射基波形数目K=6。分别考虑下述实验。

4.1 发射方向图性能分析

假设感兴趣空域为[−10˚,10˚]，空间有两个目标，发 射 角 为 [−3˚,3˚] ，接 收 角 为[−5˚,5˚] ，SNR=−10 dB 。期望空域的导向矢量为a˜n=[1,e−j2πsinθ,e−j3πsinθ,e−j4πsinθ,e−j6πsinθ,e−j9πsinθ]T，加 权 系 数w′=[1,1,...,1]T，发射波形向量(矩阵)的初始值随机产生，内外循环迭代终止条件均为：目标函数的归一化增量小于 10−10。为说明所提方法的有效性，将文献[13,17,18]的算法作为比较对象，并从方向图综合性能以及算法执行时间两个方面进行考量。所有的程序均在相同的个人计算机上运行，具体配置参数为：Intel(R) Core(TM)i5-9400 CPU@2.9 GHz处理器，16 GB内存，64位操作系统。图3给出了不同方法优化得到的发射方向图。

从图3可以看出，4种方法均能在期望空域实现发射功率聚焦。相对传统MIMO雷达，目标处的信号功率提高了约5 dB，为后续目标角度估计奠定了有利基础。通过比较不同的算法可以发现，文献[13]和文献[17]的算法性能较优，这是因为文献[13]仅仅优化了发射加权矩阵的协方差矩阵，并没有附加相应的秩约束，因此优化变量的自由度更高，但该方法需要利用二次优化才能得到满足实际需求的发射加权矩阵。文献[17]仅仅考虑了方向图的性能优化，没有考虑阵元的等功率约束，其优化变量的自由度也相对较大。本文方法与文献[18]优化所得方向图的性能相当，本文方法优化得到的方向图具有更低的旁瓣电平，但是其主瓣波动相对文献[18]更大。另外，与文献算法相比，本文方法的最大优势在于其计算复杂度比较低，在仿真条件相同时，所需计算时间比文献方法低了约两个数量级，具体见表2。

图3 不同算法得到的发射方向图

从表2可以看出，本文方法的计算时间相对其他方法非常短，为在线设计发射方向图提供了有利条件。文献[18]的计算时间比文献[13]和文献[17]要略大一些，主要原因是文献[18]的优化模型相对更加复杂。

表2 不同方法所需的运算时间

图4给出了不同方法得到的发射阵元功率分布图。从中可以发现，由于优化模型没有对阵元的发射功率进行约束，所以文献[17]得到的阵元发射功率差异性较大，在实际工程中适用性将会大打折扣。文献[18]虽然也能近似满足发射阵元的等功率约束，但是需要合理设置每个阵元发射功率的门限上界，这在实际中需要经过不断的调试才能获得，因此其应用灵活性不足。综上分析，本文方法在基于发射加权矩阵优化的方向图设计上具有综合的最优性能。

图4 不同阵元的归一化发射功率

图5和图6给出了采用2维MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)算法得到的空间角度估计图，从中可以看出，在总发射功率一定时，本文方法获得空间谱的峰值在目标处的幅度更大而且形状更为尖锐，这表明本文方法的角度估计性能优于传统MIMO雷达。主要原因是：通过优化发射加权矩阵实现了发射功率在目标空域的聚焦，增大了接收数据的SNR。但是2维MUSIC算法需要在2维空间进行搜索才能完成目标的角度估计，计算复杂度较大，难以在工程中得到应用。由于本文方法在优化发射加权矩阵时，考虑到了合成导向矢量的相位控制，因此可以采用平行因子(PARAllel FACtor，PARAFAC)算法实现目标角度的快速估计，详见4.2节。

图5 传统MIMO雷达的空间谱

图6 本文方法得到的空间谱

4.2 角度估计性能分析

为了进一步验证本文方法在目标角度估计方面的性能，本部分采用PARAFAC算法(详见文献[18])来快速估计目标角度。为提高目标角度估计性能，令感兴趣空域的加权系数为1000，其余空域的加权系数为1，发射 SNR=−5 dB，蒙特卡罗次数为200，其余仿真条件不变。

图7和图8分别给出了本文方法和传统MIMO雷达估计得到的目标角度星座图。从中可以发现，本文方法获得的星座图更为集中，而且离目标真实角度的距离更近。这说明发射功率聚焦使得目标角度的估计性能有了明显提升。为进一步说明本文方法在目标角度估计方面的优势，下面对角度估计均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE，具体定义见文献[17,18])随SNR的变化规律进行分析。

图7 本文方法的角度估计星座图

图8 传统MIMO雷达的角度估计星座图

图9分别给出了空间两个目标发射角和接收角RMSE随SNR的变化关系。从中可以发现，本文方法的估计性能均优于传统MIMO雷达，特别是对于接收角而言，这是因为本文方法同时利用了功率聚焦和波形分集两种优势。对于发射角，在低SNR时，本文方法优于传统MIMO雷达，但在高SNR时，两者性能相差较小，甚至会出现本文算法性能差于传统MIMO雷达的现象，这是因为本文方法是对理想期望导向矢量进行逼近，存在固定的匹配误差，在高SNR下，该匹配误差大于噪声对目标角度估计的影响。但如果从克拉美-罗奥界(Cramer-Rao Bound, CRB)的性能进行比较，本文方法仍然优于传统MIMO雷达。因此，在简化发射加权矩阵优化的同时，如何保持合成导向矢量元素间的理想等比特性，仍需开展更加深入的研究。

图9 目标的角度估计性能

5 结束语

针对传统MIMO雷达发射功率分散致使感兴趣空域内目标角度估计性能恶化的问题，本文提出了一种高效的发射加权矩阵优化方法。该方法首先建立了发射加权矩阵和尺度因子的联合优化模型，然后采用循环优化策略和改进PDR算法对其进行解决，由于每次迭代均能获得相应的闭式解，因此算法的计算复杂度较低，相比现有方法降低了约两个数量级。另外，合理设计发射加权矩阵，能够同时获得发功率聚焦和波形分集两种优势，从而有效改善MIMO雷达的目标角度估计性能，特别是在低SNR时更为明显。最后，仿真分析分别从发射方向图合成和目标角度估计性能两个方面验证了本文方法的有效性。

由于所提方法对期望导向矢量逼近时，仍然存在固定的匹配误差，该误差在高SNR下对角度估计性能的影响高于噪声所产生的影响。因此，在快速设计发射加权矩阵的同时，如何保证合成导向矢量各元素之间(对任意角度)具备理想的等比特性，是一个重要的研究方向。