等效时间采样压缩感知高频信号重建

景宁姚鼎一王志斌张敏娟*张瑞

等效时间采样压缩感知高频信号重建

景宁1，2，姚鼎一1，王志斌2，3，张敏娟1*，张瑞1，3

（1.中北大学 信息与通信工程学院，山西 太原 030051；2.山西省光电信息与仪器工程技术研究中心，山西 太原 030051；3.中北大学 前沿交叉科学研究院，山西 太原 030051）

为在欠采样率条件下实现高频信号的测量与恢复，本文使用自研国产皮秒级等效时间采样光取样示波器对频率10～100 GHz的简谐波信号进行采集和恢复。该示波器中，分别采用粗、细两级延迟进位产生延迟分辨率5 ps、动态范围10 μs的触发序列，驱动高带宽取样器对信号进行取样，取样信号通过50 kHz 模数转换器输出得到测量值，即每间隔20 μs增加5 ps延迟的方式对高频信号进行一次取样，压缩比约为106，实际采样率远低于奈奎斯特定理限制。根据压缩感知原理，通过傅里叶变换及等效时间采样构成测量矩阵，构成该信号测量过程的稀疏化表示，并求解Ll范数最小化问题，恢复得到被测信号波形。结果表明，最高可实现100 GHz的高频信号均方根误差小于5×10-5的欠采样恢复，拓展了该类型示波器测量的动态范围。

光取样示波器；压缩感知；信号重建

1 引　言

高频信号探测与恢复在高速光通信［1-3］、微波光子雷达［4-6］、超级运算［7-8］等领域存在广泛的应用。根据奈奎斯特采样定律，如需确定高频信号的频率、相位等信息，就要在信号的一个周期内进行至少两次采样。对于高频信号的恢复，则需要高速模数转换器（Analog-to-Digital Converter，ADC），现有高速ADC的采样率最高可达到200 GSa/s（泰克DPO7000系列示波器），根据奈奎斯特采样定律，其最高可恢复出100 GHz的波形（泰克DPO7000系列示波器实际带宽最高70 GHz）。对于更高频信号，通过这种ADC采样的方式无法进行探测，且高速ADC的成本非常高，因此，对于高速、高频信号的探测，探索一种低成本、高探测极限的方法尤为重要。

对于周期性、数字、简谐等信号，基于等效时间取样是一种低成本、高带宽的信号测试方法，早在20世纪60年代HP公司就开始了模拟取样示波器的研制工作。目前，Keysight、Tek公司掌握最先进的取样示波器技术，如86100系列、N1000系列、TSO820，可以通过几百k的采样率对50 GHz信号进行等效采样。此类型示波器常用于光/数字通信领域，也被称之为“光取样示波器”、“数字通信分析仪”等。2016年以来，国内中北大学联合中电41所开展了这方面的研究，取得了一定的进展，目前可达到与国际相当的水平。取样示波器对信号进行直接采集并显示，能达到其带宽所限的最高频率，如进行更高频信号的恢复，则需要一定的欠采样恢复算法，目前，国内外的各式取样示波器尚未有该功能报道。

华裔澳大利亚数学家T. Tao等提出的“压缩感知”理论［9-11］，给出了在欠采样（低于奈奎斯特采样率）的情况下，恢复信号的方法。该方法的前提是被测信号是稀疏的，或者经某种变换（如傅里叶变换）可进行稀疏表示。如最近［12］，我们研究了弹光调制信号的稀疏表示，仅需进行5次谐波（贝塞尔展开项）的测量，即可恢复出某气体的单一吸收光谱。对于高频时域信号，一般来说其频率较为单一，经傅里叶变换，可转换为在频域分布的稀疏信号。但对于一般的ADC，其采样时间间隔均等，即便利用压缩感知理论对采集信号进行更高频的恢复，也无法完全确定其频率。如对于频率为和2的信号，其通过ADC欠采样可能得到相同的测量值，因此，该方法难以对频率成倍数关系的信号进行区分。

改变等间隔的采样方式可为高频信号在欠采样条件下恢复提供可行手段。本研究利用自行研制的光取样示波器对高频信号进行采集，其等效时间采样的工作原理使得所采集点之间的时间间隔不等，且采集速率远低于奈奎斯特采样频率，结合压缩感知理论建立等效取样过程的稀疏化表示，并进行方程的求解以恢复高频信号波形。

2 工作原理

本研究中，主要涉及压缩感知及等效时间采样两部分工作。

2.1　压缩感知

其中，ℱ｛·｝为傅里叶变换算子，式（1）的矩阵形式表示为：

其中，代表维傅里叶变换矩阵，稀疏变换过程如图1所示。这里，矩阵的柱体的高度代表矩阵元素的实部、颜色代表其虚部。可见，对于高频信号，可通过傅里叶变换矩阵与其相乘，得到频率域上的稀疏矩阵表示，满足条件（1）。

2.2　等效时间采样（光取样示波器）

光取样示波器常用于通信、特别是光通信领域，以对周期性、序列、数字信号进行测量。与通常使用的实时示波器不同，光取样示波器的工作原理为“等效时间采样”［14-15］，对于数字信号或者周期性信号，如果采样周期与信号周期一致，取样点将等效遍历被测信号，其原理如图2所示。每产生一次触发进行一次信号的取样，触发序列相对于固定的采样周期的起点，依次增加的精密时延，取样值通过采样频率1/的ADC输出。矩阵表示为：

图2　等效时间采样原理

对于一般光取样示波器的ADC实际采样率约为200 kHz，即，～5 μs，延迟约为5 ps。压缩比约为/～106，即<<，通过测量矩阵得到的取样值长度为，实现远低于奈奎斯特采样率的取样。如图3所示，测量矩阵的行数远远小于列数，为以多个值为1的时间间隔逐渐增加的矩阵，及其自/互相关系数（部分）［16］，满足条件（2）。

图3　测量矩阵特性

3 信号采集及恢复

等效时间取样的关键是延迟触发序列、被测信号、取样及采集之间的同步，该过程时序如图4所示，通过时钟恢复及分频得到以频率范围为5 MHz到10 GHz的输入时钟（Input Clock），输入时钟驱动PLL（Phase Lock Loop）以125 MHz（8 ns）时钟工作，并通过FPGA进行周期计数（counter1、counter2）。由于ADC的采样率为50 kHz，计数器每累积达到其采样周期（20 μs），驱动两个级联10 bit、5 ps分辨率的精密延迟芯片（SY89297U）产生5 ps～8 ns精细延迟。当精细延迟达到8 ns后归零，同时计数器进行+1进位，产生8 ns的粗延迟，精密延迟芯片再进行工作。

图4　粗，细两级延迟触发序列产生

通过粗，细两级延迟组合形成分辨率5 ps、动态范围10 μs的延迟序列。利用此延迟序列作为触发，驱动取样器对高频信号进行取样，取样值由ADC转换输出，达到了被测信号、延迟触发序列、取样及采集之间的同步。

3.1　信号的恢复

利用延迟触发序列驱动取样系统进行等效时间采样，即每20 μs进行一次采样，每次采样间隔增加5 ps。结合傅里叶变换公式（3）及等效取样过程公式（4）可以得到测量方程：

3.2　结果与分析

通过上述等效时间欠采样恢复方案，对10～100 GHz波形进行了测量和恢复，其中，50 GHz、100 GHz恢复结果如图5所示，可见，该方法可以非常低的采样率进行工作而恢复出高频信号。可形象的理解为以空间（增加采样点）换时间（降低采样率）。

图5　50 GHz和100 GHz信号恢复数据点及波形

利用均方误差（Mean Square Error，MSE）对10～100 GHz信号恢复误差进行了表征，如图6所示，恢复精度随着信号频率提高而变差。当频率大于50 GHz时误差超过10-5，频率达到100 GHz，误差接近5×105。

图6　MSE与信号频率关系

4 结　论

通过光取样示波器等效时间采样及傅里叶变换矩阵，构建满足压缩感知理论的高频信号采集方程，通过L1-Magic算法对该方程进行求解，结果表明，光取样示波器可以106压缩率对10～100 GHz信号进行采集并有效恢复，由于实际采样率为50 kHz，即实现了在远低于奈奎斯特采样频率的情况下，均方根误差小于5×105的100 GHz信号的恢复。

［1］ IMAI T， KITAO K， TRAN N，. Development of high frequency band over 6 GHz for 5G mobile communication systems［C］. 20159（）1317，2015，，IEEE， 2015： 1-4.

［2］ 李志勇. 基于5G技术的光通信视频同步传输研究［J］. 激光杂志， 2021， 42（8）： 98-103.

LI Z Y. Research on synchronous transmission of optical communication video based on 5G technology［J］.， 2021， 42（8）： 98-103.（in Chinese）

［3］ 刘翠微，余建军. 结构简单的D波段矢量毫米波信号产生的方法［J］. 光学学报， 2021， 41（4）： 0406001.

LIU C W， YU J J. A new scheme of D-band mm-wave vector signal generation with simple structure［J］.， 2021， 41（4）： 0406001.（in Chinese）

［4］ YAN J Y， DENG X， LAN A L，. The digital beam forming technique in AgileDARN high-frequency radar［J］.， 2021， 28： 100595.

［5］ 潘时龙，张亚梅. 微波光子雷达及关键技术［J］. 科技导报， 2017， 35（20）： 36-52.

PAN S L， ZHANG Y M. Microwave photonic radar and key technologies［J］.， 2017， 35（20）： 36-52.（in Chinese）

［6］ 何刚，瞿鹏飞，孙力军. 微波光子技术应用现状及趋势［J］. 半导体光电， 2017， 38（5）： 627-632.

HE G， QU P F， SUN L J. Application status and trend of microwave photonic technology［J］.， 2017， 38（5）： 627-632.（in Chinese）

［7］ RAJ K， SHUBIN I， CUNNINGHAM J E. Chip package to support high-frequency processors： US8982563［P］. 2015-03-17.

［8］ 刘奇，李璞，开超，等. 基于时延光子储备池计算的混沌激光短期预测［J］. 物理学报， 2021， 70（15）： 154209.

LIU Q， LI P， KAI C，. Short-time prediction of chaotic laser using time-delayed photonic reservoir computing［J］.， 2021， 70（15）： 154209.（in Chinese）

［9］ CANDES E J， ROMBERG J， TAO T. Robust uncertainty principles： exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information［J］.， 2006， 52（2）： 489-509.

［10］ DONOHO D L. Compressed sensing［J］.， 2006， 52（4）： 1289-1306.

［11］ DUARTE M F， DAVENPORT M A， TAKHAR D，. Single-pixel imaging via compressive sampling［J］.， 2008， 25（2）： 83-91.

［12］ JING N， YU C， LI K W，. Compressive sensing absorption spectroscopy based on photoelastic modulation and single-pixel detection［J］.， 2021， 21（8）： 9885-9889.

［13］ 陈明惠，王帆，张晨曦，等. 基于压缩感知的频域OCT图像稀疏重构［J］. 光学精密工程， 2020， 28（1）： 189-199.

CHEN M H， WANG F， ZHANG C X，. Sparse reconstruction of frequency domain OCT image based on compressed sensing［J］.， 2020， 28（1）： 189-199.（in Chinese）

［14］ WILLIAMS D， HALE P， REMLEY K A. The sampling oscilloscope as a microwave instrument［J］.， 2007， 8（4）： 59-68.

［15］ SASAKI Y， ZHAO Y J， KUWANA A，. Highly efficient waveform acquisition condition in equivalent-time sampling system［C］. 2018271518，2018，，IEEE， 2018： 197-202.

［16］ JING N， MIDIDODDI C K， WANG C. Compressive sensing detection of RF signals by all-optically generated binary random patterns［C］. 201921113，2019，，IEEE， 2019： 1-4.

High frequency signal reconstruction based on compressive sensing and equivalent-time sampling

JING Ning1，2，YAO Dingyi1，WANG Zhibin2，3，ZHANG Minjuan1*，ZHANG Rui1，3

（1，，030051，；2，030051，；3，，030051，），：7745163

A simple harmonic wave with frequency 10–100 GHz is collected by a domestic equivalence time optical sampling oscilloscope to measure and recover high-frequency signals in undersampling situations. There is a trigger sequence with a 5 ps delay resolution and 10 μs dynamic range in the oscilloscope. The trigger sequence， generated by two steps of coarse and fine delayers， is used to drive the high band-wide sampler， and the sampling value is output by an ADC with a frequency of 50 kHz. In this advancement， the high-frequency signal is sampled with an increasing 5 ps delay every 20 μs. The compress ratio is approximately 106， and the sampling rate is far below the Nyquist law. With compressive sensing theory， the measurement matrix is constructed by Fourier translation and equivalence time sampling sequence and sparsify the signal measurement process. The measurement signal is reconstructed by solving an Ll-norm minimum problem. The results demonstrate that the signal with a frequency of 100 GHz can be undersampled and reconstructed with a mean square error below 5×105， implying that the dynastic range of the sampling oscilloscope should be expanded.

optical sampling oscilloscope； compressive sensing； signal reconstruction

TH73

A

10.37188/OPE.20223010.1240

1004-924X（2022）10-1240-06

2021-12-29；

2022-01-26.

国家自然科学基金项目（No.62105302，No.62105305）；山西省基础研究计划资助项目（No.20210302123068，No.20210302124269）

景宁（1985），男，辽宁辽阳人，博士，副教授，硕士生导师，2015年毕业于吉林大学，主要从事光通信技术研究。E-mail： jingning@nuc.edu.cn

张敏娟（1977），女，山西运城人，博士，副教授，硕士生导师，2000年于太原理工大学获得学士学位，2005年于河海大学获得硕士学位，2012年于中北大学获得博士学位，主要研究方向为光信息获取与数据处理、电路与系统设计的研究。E-mail： zmj7745@163.com